1、2023-1-5第16章 一些特殊流动N-S方程精确解库埃特流动和泊肃叶流动2023-1-516.1 引言4平行流：流线是直的，且互相平行4本章内容：N-S方程精确解，包括4 库埃特和泊肃叶流4基本概念：表面摩擦(skin fraction)4 热传导(heat transfer)4 恢复因子(recovery factor)4 雷诺比拟(Renolds analogy)2023-1-5 库埃特流动2023-1-5nwpu16.2 COUETTE FLOW(库埃特流):GENERRAL DISCUSSION 边界条件4At y=D:u=ue,T=Te。4上界流体和与动平板间的摩擦剪力e4热传导
2、qe4平行流线（Paralel streamline）4At y=0:u=0,T=Tw。4下界流体和与动平板间的摩擦剪力w4热传导qw2023-1-5nwpuy方向的热流量 qy=-k dT/dy (15.2)流动方向从温度高的壁面流向温度低的冷壁：热量传输从流体到壁面热壁：热量传输从壁面到流体温度场：1.平板上下温度一般不同,产生温度梯度2.动能由摩擦消耗变成内能,内能的变化由温度升高显示出来（粘性耗散）2023-1-5nwpu无穷长平行流动特点任何特性沿x方向不变,(任何量如果变化,就会变到无穷大或者无穷小)v=w=0 u/x=T/x=p/x=0考虑定常流，应用到粘性流动方程组：2023-
3、1-5nwpu得到：x-momentum equation:/y(u/y)=0 (16.1)y-momentum equation:p/y=0 (16.2)Energy equation:/y(kT/y)+/y(uu/y)=0 (16.3)2023-1-5nwpu方程16.1到16.3 是严格的由ns方程得来(16.2)p/y=0代表垂直方向没有梯度,和以前的结果 p/x=0联系说明整个流场内部没有压力梯度.以前I和II章讲的无粘流都需要压力梯度来推动流动,现在讨论的粘性流动系另外一种可以对流体施加外力的流动库埃塔流动中运动平板对流体产生的剪力维持流体流动2023-1-5nwpu16.3 不可
4、压流体库埃特流动下面先讲不可压流体（可压缩的不同，在16.4讲）库埃特流动中由于在x方向没有变化,只有y方向的变化所以偏微分方程变成常微方程 d/dy(du/dy)=0然而实际上大多数粘性流动总是表达为偏微分方程,所以为了教学目的我们还继续采用偏微分符号./y(u/y)=0 (16.1)2023-1-5动量方程,都是常数.为常数（不可压）,都是温度函数，T为常数时,为常数.d/dy(du/dy)=0对为常数时,上式可以化为:2u/y2=0.积分得到u=ay+b2023-1-5nwpu代入边界条件At y=0,u=0;=b=0.At y=D,u=ue;=a=ue/D.所以 u=ue(y/D).x
5、向速度线性分布 剪力e=du/dy.代入 u/y=ue/D.所以e=(ue/D)剪应力在全场为常值2023-1-52023-1-5nwpu两个重要的趋势：4由e=(ue/D)可知，4Ue增加,剪力增加。4板间距增加,剪力减小以上论述限于牛顿流体:4符合牛顿内摩擦定律的流体称牛顿流体。4大部分航空气动问题属于牛顿流体。4非牛顿流体,血液,有机化合物.。2023-1-5nwpu能量方程4傅立叶热传导定律，qy=-k dT/dy (15.2)4/y(kT/y)+/y(uu/y)=0 (16.3)4T变化不大时,变化不大,都看成是常数4即使很小的温度变化，也会引起明显的热通量4为简化研究，认为温度T沿
6、y方向变化，但忽略,随温度的很小变化,认为其为常数2023-1-54At y=0:T=Tw。4At Y=D:T=Te4(k/)2T/y2+/y(uu/y)=0。4应用焓h=CpT，Cp定压比热，常数压力时Cp k/(Cp)2h/y2+/y(uu/y)=04代入普朗特数的定义Pr=Cp./k得:41/Pr 2h/y2+/y(uu/y)=042h/y2+Pr/2/y(u2/y)=04注意：上述公式反映了普朗特数Pr的含义2023-1-5nwpu对于库艾特流能量方程积分得到4h+Pr/2 u2=ay+b。4代入边条4 y=0，T=Tw。4 y=D，T=Te 得到4b=hw4a=he-hw+(Pr/2
7、)ue2/D2222()02rhPuyy2023-1-5nwpu将a,b代入h+Pr/2 u2=ay+b得4代入u的结果，u=ue(y/D)22()22rrwewePyPhhhhuuD22()22rrweweePyPyhhhhuuDD2023-1-5热流量4qy=-k T/y=-k/cp h/y4因h=hw+he-hw+(Pr/2)ue2 y/D 4 -(Pr/2)ue2(y/D)24微分得4 h/y=he-hw+(Pr/2)ue2/D -Pr ue2y/D24qy=-(he-hw)/Pr+1/2ue2/D4 +ue2y/D22023-1-54因ue2y/D2=uey/D=u，故4qy=-(h
8、e-hw)/Pr+1/2ue2/D+u4 式中 u即为粘性耗散4若忽略 u（ue很小时 u很小），上式为 qy=-(he-hw)/(PrD)4壁面时仅考虑热流量的绝对值 qw=-k/cp|h/y|w4下壁面y=0 qw=|(he-hw)/Pr+1/2ue2/D|4上壁面y=D h/y=he-hw+(Pr/2)ue2/D-Pr ue2y/D =he-hw-(Pr/2)ue2/D qw=|(he-hw)/Pr-1/2ue2/D|2023-1-5分三种情况讨论热流量、焓、温度 (1)忽略粘性耗散4qy=-(he-hw)/(PrD)4h=hw+he-hw y/D4T=Tw+Te-Tw y/D4下壁面y
9、=0 qw=|(he-hw)/Pr/D|4上壁面y=D qw=|(he-hw)/Pr/D|或qw=k|(Te-Tw)/D|2023-1-5忽略粘性耗散温度型沿Y轴线性分布2023-1-5（2）等壁面温度4条件Te=Tw,he=hw4h=hw+Pr/2ue2(y/D)4 -(Pr/2)ue2(y/D)24T=Tw+Pr/(2cp)ue2(y/D)-(y/D)24Y=D/2,Tmax=Tw+Pr/(8cp)ue24前面已知qy=-(he-hw)/Pr+1/2ue2/D +ue2y/D24下壁面y=0 qw=-/2ue2/D4上壁面y=D qw=/2ue2/D4变形后qw=/2ue2/D=（ue/2
10、)4结论2023-1-5等壁面温度的温度型 热量传输由粘性耗散产生2023-1-5（3）绝热壁 （以下壁为例）4qw=|(he-hw)/Pr+1/2ue2/D|4下壁面t=0,qw=/2ue2/D4t0,qw/2ue2/D4绝热壁 qw=0(h/y)w=0.(T/y)w=0 he-haw+(Pr/2)ue2=0 绝热壁焓haw=he+(Pr/2)ue2 绝热壁温度Taw=Te+(Pr/(2cp)ue22023-1-5热流密度变化下璧温度变化最后达到平衡态4此时he-haw+(Pr/2)ue2=04绝热壁时hw=haw绝热壁焓4因此流体焓h=haw+he-haw+(Pr/2)ue2 y/D -(
11、Pr/2)ue2(y/D)2=haw-(Pr/2)ue2(y/D)24流体温度T=Taw-(Pr/2cp)ue2(y/D)24y=0,(T/y)w=02023-1-5下璧绝热壁的温度型2023-1-5恢复因子 recovery Factor总焓h0=he+(1/2)ue2绝热壁面焓haw=he+(Pr/2)ue2绝热壁面温度Taw=Te+Pr/(2cp)ue2通用化haw=he+r ue2/2Taw=Te+r ue2/(2cp)r称为恢复因子r=(haw-he)/(h0-he)=(Taw-Te)/(T0-Te)2023-1-5雷诺类推reynolds analogy4表面摩擦系数Cf=w/(1
12、/2eue2)=(ue/D)/(1/2eue2)=2/(eueD)=2/Re4传热系数cH=qw/(eue(haw-he)qw=(he-hw)/Pr+1/2ue2/D =/Pr(he-hw)+1/2Prue2/D 又 haw=he+(Pr/2)ue2 =/Pr hae-hw/D cH=/Pr haw-hw/D/(eue(haw-he)=1/(PrRe)故cH/Cf=Pr-1/2雷诺类推=传热系数/表面摩擦系数对不可压流，仅为Pr的函数2023-1-516.4 可压库埃特流动4定义4速度变化很大，温度变化必须考虑，T=T(y)4,k是温度函数，故为y的函数4压力像不可压库埃特流一样全场为常数4=
13、p/(RT),故=（T）2023-1-5流动控制方程4动量方程 （u/y）/y=/y=04能量方程 （k T/y）/y+（u u/y）/y=0 改写为（应用了动量方程）（k T/y）/y+u/y=0 非线性常微分方程，无解析解，仅能求数值解 2023-1-5按常微分方程的记法并利用=（T）d/d y=(d/dT)(dT/d y)d(k dT/d y）/dy+(du/dT)(dT/d y)=0边界条件y=0,T=Tw;y=D,T=Te两点边界值问题整理后方程组为 （u/y）/y=/y=0d(k dT/d y）/dy+(du/dT)(dT/d y)=0=（ue/D）边界条件y=0,T=Tw;y=D
14、,T=Te2023-1-5数值解法打靶法4假设,如=（ue/D）、u(y)不可压解为初值4边界条件y=0,T=Tw;y=D,T=Te变为4 边界条件y=0,T=Tw;y=0,(dT/d y)w已知4 通常为不可压流解4 求解4 d(k dT/d y）/dy+(du/dT)(dT/d y)=04直到y=D,检查T=Te?,否则重假设(dT/d y)w，回到2步计算，重复直到T=Te4 得到了T=T(y)2023-1-54T=T(y)_=(y)4du/dy=/，利用1步的和4 边界条件y=0,u=0求解上式4直到y=D,检查u=ue？，否则，另假设进行5步，反复直到u=ue4用6步得到的，重新进行
15、2-7,得到最终收敛的（大循环）2023-1-5时间相关有限差分法二维非定常流N-S方程2023-1-54能量方程2023-1-5MacCormack法4网格划分4流入边界条件，x=0,用不可压流的解给u,v,p,T4初始条件，t=0,u,v,p,T.用不可压流解或均匀值2023-1-5预测-校正法，以x轴动量方程为例预测步2023-1-5校正步用向后查分2023-1-5重复预测-校正在下一时间步，得到结果2023-1-5上述格式为显示有限差分法，存在稳定性限制4格式的稳定性4CFL数，稳定性条件4tx=x/(u+a),ty=y/(v+a)4全场取最小值2023-1-5可压库埃特流结果冷壁，速
16、度和温度型4速度型影响小，温度型影响大2023-1-5绝热壁4速度型影响和温度型影响比冷壁大2023-1-5解析分析一些量随温度的变化 Pr近似常数2023-1-5能量方程恢复因子2023-1-5对于可压库埃特流，为常数4积分得h/Pr+u2/2-bu=c，积分时Pr为常数4按边界条件，y=0,h=hw,u=02023-1-54按边界条件，y=D,h=he,u=ue得4代入b,c则2023-1-5可压库埃特流，恢复因子可压库埃特流，恢复因子r=Pr2023-1-5雷诺类推？2023-1-52023-1-52023-1-5对于常数Pr数，雷诺类推与不可压流相同2023-1-5泊肃叶流动4两静止平板，压力驱动2023-1-5控制方程2023-1-5速度分布2023-1-52023-1-5剪应力2023-1-5实验结果完全发展流概念2023-1-5总结库埃特流2023-1-5泊肃叶流动
