1、 第 - 1 - 页 共 12 页 - 1 - 仿真模拟卷(一) 数学(理) (时间：120 分钟 分值：150 分) 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 Ax|x25x60，Bx|x3k1，kZ，则 AB 等于 A.2，3，4 B.1，2，3 C.2，5 D.1，4 2.在复平面内，与复数 z 2 1 i i 所对应的点关于实轴对称的点为 A，则 A 对应的复数为 A.1i B.1i C.1i D.1i 3.等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 2S3a3a718，则 a1 A.1 B.2
2、C.3D.4 4.函数 f(x)在0，)上单调递减，且为偶函数。若 f(2)1，则满足 f(x3)1 的 x 的取 值范围是 A.1，5 B.1，3 C.3，5 D.2，2 5.九章算术中有如下问题： “今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何?”其大意是： “已知直角三角形两直角边长分别为 8 步和 15 步， 问其内切圆的直径为多少步?” 现若向此三 角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A. 3 10 B. 3 20 C.1 0 3 1 D.1 0 3 2 6.已知 logx33，logy76， 1 7 7z ，则实数 x，y，z 的大小关系是 A.xzy B.zxy C.
3、xyz D.zy0)个单位长度，所得图像关于原点对称，则 最小时，tan A. 3 3 B. 3 3 C.3 D.3 10.抛物线 y28x 的焦点为 F，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若 x1x24 2 3 3 AB，则AFB 的最大值为 A. 3 B. 3 4 C. 5 6 D. 2 3 11.已知函数 f(x) 2 2 1x (xR)，若等比数列an满足 a1a20191，则 f(a1)f(a2)f(a3) f(a2019) A.2019 B. 2019 2 C.2 D. 1 2 12.已知 f(x)ln(x21)，g(x)( 1 2 )xm，若对任意 x1
4、0，3，存在 x21，2，使得 f(x1) g(x2)，则实数 m 的取值范围是 A. 1 4 ，) B.(， 1 4 C. 1 2 ，) D.(， 1 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 第 - 3 - 页 共 12 页 - 3 - 13.已知|a|1，|b|2，a，b 的夹角为 120 ，则|2ab| 。 14.已知实数 x，y 满足 260 0 2 xy xy x ，则目标函数 zxy 的最大值为 。 15.已知双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab ，其渐近线与圆(x2)2y22 相交，且渐近线被 圆截得的两条弦长都为 2，则双曲线的离心
5、率为 。 16.已知三棱锥 PABC 的外接球半径为 2，PA平面 ABC，ABBC，PAAC，则该三棱锥 体积的最大值为 。 三解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分。 17.(12 分)如图，在ABC 中，已知点 D 在边 BC 上，且DAC90，sinBAC 2 2 3 ， AB32，AD3。 (1)求 BD 的长； (2)求 cosC 的值。 18.(12 分)随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷。为调查某款订餐软 件的
6、商家的服务情况，统计了 10 次订餐的“送达时间” ，得到茎叶图如图所示(时间：分钟)。 (1)请计算“送达时间”的平均数与方差； (2)根据茎叶图可得下表： 第 - 4 - 页 共 12 页 - 4 - 在答题卡上写出 A，B，C，D 的值； (3)在(2)的情况下，以频率代替概率，现有 3 个客户应用此软件订餐，求出在 35 分钟以内(包 括 35 分钟)收到餐品的人数 X 的分布列，并求出数学期望。 19.(12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是梯形，AB/CD，AB2CD22， AD3，PC3，PAB 是正三角形，E 为 AB 的中点，平面 PAB平面 PCE。
7、(1)求证：CE平面 PAB； (2)在棱 PD 上是否存在点 F， 使得二面角 PABF 的余弦值为 3 38 19 ?若存在， 求出 PF PD 的 值；若不存在，请说明理由。 20.(12 分)已知 x1 是函数 f(x)ax2 2 x xlnx 的极大值点。 (1)求实数 a 的值； (2)求证：函数 f(x)存在唯一的极小值点 x0，且 0f(x0) 3 4 。(参考数据：ln20.69) 21.(12 分)已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 F1，F2，其焦距为 23， 点 E 在椭圆 C 上，EF1EF2，直线 EF1的斜率为 b c (c
8、 为半焦距)。 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设圆 O：x2y22 的切线交椭圆 C 于 A，B 两点(O 为坐标原点)，求证：OAOB； (3)在(2)的条件下，求|OA|OB|的最大值。 (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 计分。 22.选修 44：坐标系与参数方程(10 分) 已知直线 l： 33 xt yt (t 为参数)，曲线 C1： cos sin x y ( 为参数)。 (1)设 l 与 C1相交于 A，B 两点，求|AB|； 第 - 5 - 页 共 12 页 - 5 - (2)若把曲线 C1上各点的横坐标缩短为原
9、来的 1 2 ，纵坐标缩短为原来的 3 2 ，得到曲线 C2，设 点 P 是曲线 C2上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值。 23.选修 45：不等式选讲(10 分) 已知函数 f(x)|2x1|4x5|的最小值为 M。 (1)求 M； (2)若正实数 a，b，c 满足 abcM，求证： 222222 7 abacc ba b c 。 第 - 6 - 页 共 12 页 - 6 - 第 - 7 - 页 共 12 页 - 7 - 第 - 8 - 页 共 12 页 - 8 - 第 - 9 - 页 共 12 页 - 9 - 第 - 10 - 页 共 12 页 - 10 - 第 - 11 - 页 共 12 页 - 11 - 第 - 12 - 页 共 12 页 - 12 -
