1、 曲线的凹凸性与拐点函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题.如图4-9所示的函数y=f(x)的图形在区间(a,b)内虽然一直是上升的.图图 4-9 4-9 曲线的凹凸性与拐点但却有不同的弯曲状况.从左向右，曲线先是向上弯曲，通过点P后，扭转了弯曲的方向，而向下弯曲.因此，研究函数图形时，考察它的弯曲方向及扭转弯曲方向的点是很必要的.首先给出如下定义.曲线的凹凸性与拐点定义定义2 2设函数f(x)在区间I内连续，若对I上任意两点x1，x2，恒有则称f(x)在I上的图形是凹的；若恒有则称f(x)在I上的图形是凸的.曲线的凹凸性与拐点曲线的
2、凹凸具有明显的几何意义，对于凹曲线，当x逐渐增大时，其上每一点的切线的斜率是逐渐增大的，即导函数f(x)是单调增加的(见图4-10)；图图 4-10 4-10 曲线的凹凸性与拐点而对于凸曲线，当x逐渐增大时，其上每点的切线的斜率是逐渐减小的，即导函数f(x)是单调减少的(见图4-11).于是有下述判断曲线凹凸性的定理.图图 4-11 4-11 曲线的凹凸性与拐点定理定理1212(曲线凹凸性的判定定理)设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，则(1)若在(a,b)内，f(x)0，则f(x)在a,b上的图形是凹的.(2)若在(a,b)内，f(x)0,所以在(,0和1,+)内,曲线y=x4-2x3+1是凹的;在(0,1)内,y0,所以在0,1内,曲线y=x4-2x3+1是凸的.点(0,1)和(1,0)是这曲线的拐点.
