1、理科数学第 1页共 6 页 岳阳市 2020 届高三教学质量检测试卷（二） 数学（理科）数学（理科） 分值：150 分时量：120 分钟 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 把答案填在答题卡上对应题号后的框内， 答在试卷上无效。只有一项是符合题目要求的， 把答案填在答题卡上对应题号后的框内， 答在试卷上无效。 1已知复数(1)(3)(zii i=+为虚数单位）,则 的虚部为 A2 B 2iC4D4i 2已知集合
2、10Ax x=+ ， |Bx xa=，若ABR=U，则实数a的值可以为 A 2 B 1 C 0D 2 3若 2 log 3a =， 4 log 7b =， 4 0.7c = ，则实数, ,a b c的大小关系为 AcbaBbacCcabDabc 4已知数列 n a为等差数列， n S为其前n项和，3 536 =+aaa，则= 7 S A42B21C7D3 5已知向量1a = r ，若( )()abab+ rr rr ，则实数m的值为 A 1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 6九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍， 下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈
3、，问：积几 何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底 面宽 3 丈，长 4 丈，上棱长 2 丈，高 2 丈，问：它的体积 是多少?”已知 l 丈为 10 尺，该楔体的三视图如图所示， 其中网格纸上小正方形边长为 1，则该楔体的体积为 A10000 立方尺 B11000 立方尺 C12000 立方尺 D13000 立方尺 z ），, 2 1 (mb = r 理科数学第 2页共 6 页 7在区间 1,1上随机取一个数k，使直线 (3)yk x=+与圆 22 1xy+=相交的概率为 A 1 2 B 1 3 C 2 4 D 2 3 8. 5 )22)(12( xx 的展开式中 x 8的项的
4、系数为 A120B80C60D40 9已知 )( xf为函数( )()f x xR的导函数，满足(1)1f=，且( )1fx ，对任意0a ，0b ，若经过点 ( ,( )a f a，( ,( )bf b的一次函数与 x 轴的交点为( ,0)c，且cba、互不相等，则称 c 为 a，b 关于函数( )f x 的平均数，记为( , ) f Ma b当( )f x =_(0)x 时， ( , ) f Ma b为 a，b 的几何平均数 ab.（只需写出一个符合要求的函数即可） 16 农历五月初五是端午节， 民间有吃粽子的习惯， 粽子又称粽籺， 俗称“粽子”， 古称“角 黍”，是端午节大家都会品尝的食
5、品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗 人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚线 折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六 面体内有一球，则该球体积的最大值为（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必题为必 考题考题,每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。为选考题，考生根据要求作答。 理科数学第 4页共 6 页 （一）
6、必考题（一）必考题 17（本小题满分 12 分） 等差数列 n a的公差为 2, 842 aaa、分别等于等比数列 n b的第 2 项、第 3 项、 第 4 项. （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若数列 n c满足 1 2 2 1 1 + =+ n n n b a c a c a c L,求数列 n c的前 2020 项的和 18（本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 111 ABCA BC中，,D E分别是 1 ,AB BB的中点， 1 2 2 2 AAACCBAB=. （1）证明： 1 BC P平面 1 ACD； （2）求二面角 1 DACE的余弦值. 19（本小题满分
7、 12 分） 设直线l与抛物线yx2 2 =交于A，B两点，与椭圆1 24 22 =+ yx 交于C，D两点， 设直线OA，OB，OC，OD（O为坐标原点） 的斜率分别为 1 k， 2 k， 3 k， 4 k， 若OBOA . （1）证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标； （2）是否存在常数，满足)( 4321 kkkk+=+？并说明理由. 20（本小题满分 12 分） 新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，电子购物平台成为人们的热门选择.为提高市场销 售业绩，某公司设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点运作一 年后，对“采用促销”和“没有采用促销”的营销网点各选取了 50 个，对比
8、上一年度的销售 情况， 分别统计了它们的年销售总额， 并按年销售总额增长的百分点分成 5 组： 5,0)， 0,5)，5,10)，10,15)，15,20，分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并 规定年销售总额增长 10 个百分点及以上的营销网点为“精英店” 理科数学第 5页共 6 页 “采用促销”的销售网点 “没有采用促销”的销售网点 （1）请根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为“精英店与采用 促销活动有关”； 采用促销没有采用促销合计 精英店 非精英店 合计5050100 （2）某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价 i x（单位：元）和日销 量
9、i y（单位：件）（1,2,10i =L）的一组数据后决定选择 2 yabx=+作为回归模型进 行拟合具体数据如下表，表中的 2 ii wx=（1,2,10i =L） xyw() 10 2 1 i i xx = () 10 2 1 i i ww = ()() 10 1 ii i xxyy = ()() 10 1 ii i wwyy = 45 8 395 52413 54.621.62.3-7.2 根据上表数据计算a，b的值； 已知该公司产品的成本为 10 元/件，促销费用平均 5 元/件，根据所求出的回归模型， 分析售价x定为多少时日利润 z 可以达到最大 附： 2 2 () ()()()()
10、 n adbc K a b c d a c b d = + 0.1000.0500.0100.001 k2.7063.8416.63510.828 附：对应一组数据() () ()() 112233 , nn u vu vu vu v，其回归直线vu=+的斜 () 2 P Kk 理科数学第 6页共 6 页 率和截距的最小二乘法估计分别为 ()() () 10 1 10 2 1 ii i i i vvuu uu = = = ， vu= 21.（本小题满分 12 分） 若函数( ) xx f xeaemx =()mR为奇函数，且 0 xx=时( )f x有极小值 0 ()f x （1）求实数a的值
11、与实数m的取值范围； （2）若 0 2 ()f x e 恒成立，求实数m的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22,23 题中任选一题作答如题中任选一题作答如果多做果多做，则按所做则按所做的的 第一题第一题计计分分 22【选修 4- 4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在新中国成立 70 周年国庆阅兵典礼中， 众多群众在脸上贴着一颗红心， 以此表达对 祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型 曲线.如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的 曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为sin1=（0,20），M为 该曲线上的任意一点. （1）当OM= 2 3 时，求M点的极坐标; （2）将射线OM绕原点O逆时针旋转 2 与该曲线相交于 点N，求MN的最大值. 23【选修 4- 5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 若函数 2 1 ( )(1) 4 f xx=+ （1）证明：( ) |( )2| 2f xf x+； （2）若存在xR,且1x ,使得| 1|)( )(4 1 2 +mmxf xf 成立，求m的取值范围
