1、(测量平差课件）第6章第2讲（误差椭圆）知识回顾知识回顾点位误差点位误差:222PPyxP22PPyxP222uSP)(202yyxxPQQ)2sinsincos(22202xyyyxxQQQyyxxxyQQQtg220 xyyyxxQQQK224)()(21202KQQEyyxx)(21202KQQFyyxx点位误差的计算公式点位误差的计算公式:222PPyxP四、以位差极大值四、以位差极大值E E和极小值和极小值F F表示的任意方向表示的任意方向 上的位差上的位差 2sinsincos22xyyyxxQQQQEE)22sin()(sin)(cos222222ExyEyEx6.2 6.2 点
2、位误差点位误差 )2sinsin2sincos2cos2(sin)2sin2sin21sincoscos(sin)2sin2sin21sinsincos(cos222222222222EEExyEEEyEEExExyEyxExyEyExExyEyEx2cos22sin)(2sin21)2sincossin(sin)2sinsincos(cos2222222222222222sincosFE 22222sincosFE 方法二：方法二：192.1314.0314.0236.1XXQ10 497.1300sin314.0150sin192.1150cos236.1)1502sin(150sin15
3、0cos2222202xyyyxxQQQ13137150E497.113sin899.013cos529.1sincos2222222FEdm22.1例例2:2:数据同例数据同例11，试计算方位角为，试计算方位角为150150o o时的位差。时的位差。方法一：方法一：6.3 6.3 误差曲线误差曲线 0.5 1 1.5 2 2.530210602409027012030015033018004.0,3.0,2.0 xyxyQQQDP)2sinsincos(22202xyyyxxQQQ10 以不同的以不同的 和和 为极坐标为极坐标的点的轨迹，构成一闭合的点的轨迹，构成一闭合曲线，该曲线称为点位误
4、曲线，该曲线称为点位误差曲线。差曲线。一、概念一、概念 0.5 1 1.5 2 2.53021060240902701203001503301800DPEE 22222sincosFE xyyyxxQQQK224)()(21202KQQEyyxx)(21202KQQFyyxxyyxxxyQQQtg2204.0,3.0,2.0 xyxyQQQ)2sinsincos(22202xyyyxxQQQ10 2.14.2FE951279537或E6.3 6.3 误差曲线误差曲线 0.5 1 1.5 2 2.53021060240902701203001503301800DPEDEF（1 1）显然，任意方向
5、）显然，任意方向 上的极径（向径）就是上的极径（向径）就是该方向上的位差。该方向上的位差。（2 2）整个曲线把各方）整个曲线把各方向的位差的大小直观、向的位差的大小直观、清楚地描述出来。清楚地描述出来。（3 3）该图形关于）该图形关于E E轴和轴和F F轴对称。轴对称。二、误差曲线的特点二、误差曲线的特点6.3 6.3 误差曲线误差曲线-2.5-2-1.5-1-0.50.511.522.50-2-1.5-1-0.50.511.52xyBAPabcdfgPCC三、误差曲线的应用三、误差曲线的应用点点 P P 的平面坐标平差值的平面坐标平差值在各个方向的位差：在各个方向的位差：相对已知点的边长和坐
6、标相对已知点的边长和坐标方位角的中误差：方位角的中误差：e0.2 Papx7.1 Pbpy4.2 PcE2.1 PdFPfPBSPgPAu PCPCuSPgSPAPCPePAS 0.5 1 1.5 2 2.53021060240902701203001503301800E误差椭圆：误差椭圆：点位误差曲线的点位误差曲线的内切椭圆即误差椭圆。它是内切椭圆即误差椭圆。它是误差曲线的近似曲线误差曲线的近似曲线误差椭圆参数：误差椭圆参数：E E、F F、P对于给定的方向角，通过误对于给定的方向角，通过误差椭圆的图形，可以精确量差椭圆的图形，可以精确量取该方向的位差。取该方向的位差。6.4 6.4 误差椭
7、圆误差椭圆E E cEmEdFmF-2.5-2-1.5-1-0.50.511.522.50-2-1.5-1-0.50.511.52xyEFExEyPPDME图解任意方向位差的方法：图解任意方向位差的方法：自椭圆作自椭圆作 方向的正交切线方向的正交切线MDMD，M M 为切点，为切点，D D 为垂点，为垂点，则：则：PD 22222sincosFE 6.4 6.4 误差椭圆误差椭圆2MEFEFExEyb1M,M x ya椭圆参数方程M 点为椭圆上一点椭圆方程P6.4 6.4 误差椭圆误差椭圆cosEx sinFy 12222FyEx1)sin()cos(2222FFEEEEFExEy3MDMD
8、的斜率为：的斜率为：,M x y1CosincosyxCDOCODcossin2sincos22222xyyxOD椭圆方程椭圆方程12222FyExyExFdxdyk22又又MD 与与OD垂直：垂直：tan1ktan122yExF0cossin22FyEx将上式平方并两端同乘以将上式平方并两端同乘以 ，并移项得并移项得22FE22222222cossincossin2EFyFExxyCEEFExEy3MDC,M x y1CosincosyxCDOCODcossin2sincos22222xyyxOD22222222cossincossin2EFyFExxy代入上式得：代入上式得：2222222
9、222222cossinsincosEFyFExyxOD)sincos()sincos(222222222222FEFyFEEx)sincos)(22222222FEFyEx因为因为M(x,y)M(x,y)是椭圆上的点，故其是椭圆上的点，故其坐标满足椭圆方程坐标满足椭圆方程12222FyEx22222sincosFEOD2OD同学们可以考虑，如何在误差同学们可以考虑，如何在误差椭圆上量取：椭圆上量取：纵、横坐标中误差；纵、横坐标中误差；位差极大值和位差极小值；位差极大值和位差极小值；边长中误差；边长中误差；方位角中误差。方位角中误差。6.4 6.4 误差椭圆误差椭圆几种特例（）0 xQ 4yQ
10、 4xQ 0yQ 4xQ 4yQ xy-2-1.5-1-0.50.511.52-2-1.5-1-0.50.511.520.1xQ 4yQ 0 xyQ不相关：4xyQ完全相关：4xQ 4yQ 6.4 6.4 误差椭圆误差椭圆0.10 由点位误差曲线和点位误差椭圆可由点位误差曲线和点位误差椭圆可以从图上量出以从图上量出已知点已知点与与待定点待定点之间的边之间的边长中误差，以及方位角中误差。长中误差，以及方位角中误差。任意两个待定点之间相对位任意两个待定点之间相对位置的精度如何确定？置的精度如何确定？例例11三角网中通过平差已求得待定点三角网中通过平差已求得待定点 和和 点点的坐标协因数阵为的坐标协
11、因数阵为单位为单位为 。单位权中误差。单位权中误差 ，两点的坐标，两点的坐标方位角为方位角为 。计算两点的误差椭圆参数，并说。计算两点的误差椭圆参数，并说明由此误差椭圆不能求出两点间的相对精度。明由此误差椭圆不能求出两点间的相对精度。33.00 1P2P6.413096 2)(sdm0.08380.00450.02970.01700.00450.08410.03610.06790.02970.03610.24440.13160.01700.06790.13160.1422XXQ33.00 解解：（1 1）点的误差椭圆元素点的误差椭圆元素2823.04)(11111122yxyyxxQQQK57
12、53.21022.0)1316.0(2221111110yyxxyxQQQtg321243234642486468200或；或01316.011yxQ3230432124或E0057.0)(210364.0)(211111111120212021KQQFKQQEyyxxyyxxdmFdmE08.0,19.0111P0.08380.00450.02970.01700.00450.08410.03610.06790.02970.03610.24440.13160.01700.06790.13160.1422XXQ（2 2）同理，可求出）同理，可求出 点的误差椭圆参数点的误差椭圆参数2P052245
13、0440或EdmFdmE09.010.022，（3 3）误差椭圆绘制）误差椭圆绘制23304321240或EdmFdmE08.0,19.011P1P2（1 1）点的误差椭圆元素点的误差椭圆元素1P（4 4）两点的相对精度）两点的相对精度从图上看：从图上看：对对 点：点：对对 点：点：bPaP21022832124309611212E0294.0sincos1222112221212FEdm17.012852315044180309622121E0082.0sincos2122221222221FEdm09.02121121P2P用点位误差椭圆不用点位误差椭圆不能够求出两点之间能够求出两点之间的
14、相对精度。的相对精度。abP1P2ikkiikkixxxyyykiikiikkikiikkikiikkyxyxyxyxyxyyyyyyyyxxxxxxxxQQQQQQQQQQQQQ226.5 6.5 相对误差椭圆相对误差椭圆)4)(21)4)(212222202222020yxyyxxyyxxyxyyxxyyxxyyxxyxQQQQQFQQQQQEQQQtg相对误差椭圆相对误差椭圆参数的计算参数的计算P1P2gfOe相对误差椭圆一般画在两点的中间部分。相对误差椭圆一般画在两点的中间部分。OePPS21OgPPu21 21212121PPPPuSOgSPPPP平差后的边长中误差：平差后的边长中误
15、差：平差后的边的横向误差：平差后的边的横向误差：平差后的方位角的中误差：平差后的方位角的中误差：6.5 6.5 相对误差椭圆相对误差椭圆 例例22在某三角网中插入在某三角网中插入 和和 两个待定点两个待定点,经平经平差计算差计算,得的单位权中误差得的单位权中误差 和参数的协因数和参数的协因数阵为阵为 试求试求 、两点的误差椭圆以及两点的误差椭圆以及 、两点的相两点的相对误差椭圆。对误差椭圆。8.00 1P2P0.00270.00030.00080005.00.00030.00210006.00.00100.00080006.00.00240002.00005.00.00100.00020.00
16、16XXQ2)(sdm2P1P2P1P解解：（1 1）点的误差椭圆参数的计算点的误差椭圆参数的计算111111022yyxxyxQQQtg)4)(21)4)(2111111111111111111111222021222021yxyyxxyyxxyxyyxxyyxxQQQQQFQQQQQE1P5476,032.0,040.0111EdmFdmE8.00 0.00270.00030.00080005.00.00030.00210006.00.00100.00080006.00.00240002.00005.00.00100.00020.0016XXQ2)(sdm（2 2）点的误差椭圆参数的计算点
17、的误差椭圆参数的计算222222022yyxxyxQQQtg)4)(21)4)(2122222222222222222222222022222022yxyyxxyyxxyxyyxxyyxxQQQQQFQQQQQE2P0367,036.0,042.0222EdmFdmE8.00 0.00270.00030.00080005.00.00030.00210006.00.00100.00080006.00.00240002.00005.00.00100.00020.0016XXQ2)(sdm（3 3）和和 点的相对误差椭圆参数的计算点的相对误差椭圆参数的计算2P1P0006.00006.00005.0
18、0003.00002.00035.00008.020027.00024.020017.00010.020021.00016.0212212211212211212211yxyxyxyxyxyyyyyyyyxxxxxxxxQQQQQQQQQQQQQ05106,031.0,049.0121212EdmFdmE8.00 0.00270.00030.00080005.00.00030.00210006.00.00100.00080006.00.00240002.00005.00.00100.00020.0016XXQ2)(sdm（4 4）误差椭圆绘制）误差椭圆绘制0367,036.0,042.0222EdmFdmE05106,031.0,049.0121212EdmFdmEgfOe5476,032.0,040.0111EdmFdmEP1P2在工程测量中，误差椭圆和误在工程测量中，误差椭圆和误差曲线有着广泛的应用。差曲线有着广泛的应用。
