1、26.1.2 反比例函数的图象和性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用第二十六章 反比例函数学习目标1.理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活 运用于坐标系中图形的面积计算中.(重点、难点)2.能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.(重 点、难点)3.体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想 方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运 用能力.(重点、难点)导入新课导入新课 反比例函数的图象是什么？反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？反比例函数的图象是双曲线 当 k 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x
2、 的增大而减小；当 k 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.复习引入问题1 问题2 用待定系数法求反比例函数的解析式一典例精析例1 已知反比例函数的图象经过点 A(2，6).(1)这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？解：因为点 A(2，6)在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.(2)点B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？122445解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A(2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k=12.kyx62k因为点 B，C 的
3、坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.所以反比例函数的解析式为 .12yx练一练已知反比例函数 的图象经过点 A(2，3)(1)求这个函数的表达式；kyx解：反比例函数 的图象经过点 A(2，3)，把点 A 的坐标代入表达式，得 ，kyx32k 解得 k=6.这个函数的表达式为 .6yx(2)判断点 B(1，6)，C(3，2)是否在这个函数的 图象上，并说明理由；解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函
4、数的图象上(3)当 3 x 0，当 x 0 时，y 随 x 的增大而减小，当 3 x 1 时，6 y 2.反比例函数图象和性质的综合二(1)图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？Oxy例2 如图，是反比例函数 图象的一支.根据图象，回答下列问题：5myx解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限.由因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m50，解得m5.(2)在这个函数图象的某一支上任取点 A(x1，y1)和 点B(x2，y2).如果x1x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？解：因为 m5 0，所以在这个函数图象的任一支 上，y 都随
5、 x 的增大而减小，因此当x1x2时，y1y2.练一练 如图，是反比例函数 的图象，则 k 的值可以是 ()1 kyxA1 B3 C1 D0OxyB反比例函数解析式中 k 的几何意义三1.在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：4yx合作探究5123415xyOPP(2，2)Q(4，1)S1的值S2的值 S1与S2的关系猜想 S1，S2 与 k的关系4yx 4 4S1=S2S1=S2=k5432143232451QS1的值 S2的值S1与S2的关系猜想与 k 的关系P(1，4)Q(2，2)2.若在反比例函数 中也 用同样的方
6、法分别取 P，Q 两点，填写表格：4yx4yx4 4S1=S2S1=S2=kyxOPQ由前面的探究过程，可以猜想：若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.xky yxOPS我们就 k 0 的情况给出证明：设点 P 的坐标为(a，b)AB点 P(a，b)在函数 的图象上，kyx ，即 ab=k.kba S矩形 AOBP=PBPA=ab=ab=k；若点 P 在第二象限，则 a0，若点 P 在第四象限，则 a0，bSBSC B.SASBSCC.SA=SB=SC D.SASC0)图像上的任意两点，PA，
7、CD 垂直于 x 轴.设 POA 的面积为 S1，则 S1=；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.4yx2S1S2S3 如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，AOC 的面积 S1、BOD 的面积 S2、POE 的面积 S3 的大小关系为 .S1=S2 S3练一练解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1=S2.PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，SOFE=S1=S2，而 S3SOFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1=S2 0b 0k1 0k2 0b 0合作
8、探究xyOxyOk2 0b 0k1 0k2 0 xyOk1 0 xyO 例6 函数 y=kxk 与 的图象大致是 ()0(kxkyD.xyOC.yA.yxB.xyODOOk0k0k0k0由一次函数增减性得k0由一次函数与y轴交点知k0，则k0 x提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.在同一直角坐标系中，函数 与 y=ax+1(a0)的图象可能是 ()ayx A.yxOB.yxOC.yxOD.yxOB练一练例7 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1y2 时，x 的取值范围为 .23yx0 2 x 32
9、myx解析：y1y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时.观察右图，可知2 x 3.方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.练一练 如图，一次函数 y1=k1x+b(k10)的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当y1y2时，x 的取值范围是 22kyx12yx0A B 1 x 2例8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P(3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.由于这两个函数的图象交于点 P (3，4)，则点 P(3，4)是这两个函数图象上的点，即点 P 的坐标分别满足这两个解析式.解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y=k1
10、x 和 .2kyx所以 ，.143k 243k解得 ，.143k 212k P则这两个函数的解析式分别为 和 ，它们的图象如图所示.43yx 12yx 这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？想一想：反比例函数 的图象与正比例函数 y=3x 的图象的交点坐标为 12yx(2，6)，(2，6)解析：联立两个函数解析式，解方程即可.练一练例9 已知 A(4，)，B(1，2)是一次函数 y=kx+b与反比例函数 图象的两个交点，求一次函数解析式及 m 的值.myx12解：把A(4，)，B(1，2)代入 y=kx+b中，得 124k+b=，12k+b=2，k=，解得 b
11、=，1252所以一次函数的解析式为 y=x+.1252把 B(1，2)代入 中，得 m=12=2.myx当堂练习当堂练习A.4 B.2 C.2 D.不确定1.如图所示，P 是反比例函数 的图象上一点，过点 P 作 PB x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上，ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ()kyxOBAPxyA2.反比例函数 的图象与一次函数 y=2x+1 的 图象的一个交点是(1，k)，则反比例函数的解析 式是_ xky 3yx3.如图，直线 y=k1x+b 与反比例函数 (x0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x+b 的解集是_2kyx2kx1x5OBAxy154
12、.已知反比例函数 的图象经过点 A(2，4).(1)求 k 的值；kyx解：反比例函数 的图象经过点 A(2，4)，把点 A 的坐标代入表达式，得 ，kyx42k 解得 k=8.(2)这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大 如何变化?解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内，y 随 x 的增大而增大.(3)画出该函数的图象；Oxy解：如图所示：(4)点 B(1，8)，C(3，5)是否在该函数的图象上？因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标不满足该解析式，所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上.解：该反比例函数的解析式为 .8yx xyOBA5.
13、如图，直线 y=ax+b 与双曲线 交于两点 A(1，2)，B(m，4)两点，(1)求直线与双曲线的解析式；kyx所以一次函数的解析式为 y=4x2.把A，B两点坐标代入一次函数解析式中，得到a=4，b=2.解：把 B(1，2)代入双曲线解析式中，得 k=2，故其解析式为 .当y=4时，m=.2yx12(2)求不等式 ax+b 的解集.kxxyOBA解：根据图象可知，若 ax+b ，kx则 x1或 x0.126.如图，反比例函数 与一次函数 y=x+2 的图象交于 A，B 两点.(1)求 A，B 两点的坐标；AyOBx8yx 解：8yx ，y=x+2，解得 x=4，y=2 所以A(2，4)，B
14、(4，2).或 x=2，y=4.作ACx轴于C，BDx轴于D，则AC=4，BD=2.(2)求AOB的面积.解：一次函数与x轴的交点为M(2，0)，OM=2.OAyBxMCDSOMB=OMBD2=222=2，SOMA=OMAC2=242=4，SAOB=SOMB+SOMA=2+4=6.课堂小结课堂小结面积问题面积不变性与一次函数的综合判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称反比例函数图象和性质的综合运用导入新课讲授新课当堂练习课堂小结28.1 锐角三角函数第二十八章 锐角三角函数第2课时 余弦函数和正
15、切函数学习目标1.认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函 数的概念.(重点)2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.(重点、难 点)导入新课导入新课问题引入ABC 如图，在 RtABC 中，C90，当锐角 A 确定时，A的对边与斜边的比就随之确定.此时，其他边之间的比是否也确定了呢？讲授新课讲授新课余弦一合作探究 如图所示，ABC 和 DEF 都是直角三角形，其中A=D，C=F=90，则成立吗？为什么？DEDFABACABCDEF我们来试着证明前面的问题：A=D=，C=F=90，B=E，从而 sinB=sinE，因此.ACDFABDEABCDEF 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个
16、锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关 如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即归纳：ABC斜边邻边A的邻边斜边cos A=.ACAB从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角，有 cos =sin(90)从而有 sin =cos(90)练一练1.在 RtABC 中，C90，AB13，AC12，则cosA .12132.求 cos30，cos60，cos45的值 解：cos30=sin(9030)=sin60=；32 cos60=sin(9060)=sin30=12；cos45=sin(9045)=sin45=2.2正切二合作探究 如
17、图所示，ABC 和 DEF 都是直角三角形，其中A=D，C=F=90，则成立吗？为什么？DFEFACBCABCDEF RtABC RtDEF.即 BC DF=AC EF，A=D，C=F=90，.BCACEFDF.BCEFACDFABCDEF 由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 A 的正切，记作 tanA，即归纳：A的对边A的邻边tan A=.ACABABC邻边对边A的正弦、余弦、正切都是A 的三角函数.如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？想一想：1.如图，
18、平面直角坐标系中，若点 P 坐标为(3，4)，则 tan POQ=_.练一练43OCBA2.如图，ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 O 相切与点 C，若 BC=4，AB=5，则 tanA=_.43锐角三角函数三例1 如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.ABC106解：由勾股定理得2222=106=8ACABBC，因此63sin=105BCAAB，84cos=105ACAAB，63tan=.84BCAAC典例精析1.在RtABC中，C=90，AC=12，AB=13.sinA=_，cosA=_，tanA=_，sinB=_，cosB
19、=_，tanB=_.练一练513121351251312131252.在RtABC中，C90，AC=2，BC=3.sinA=_，cosA=_，tanA=_，sinB=_，cosB=_，tanB=_.3 13132 131332233 13132 1313在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值ABC6例2 如图，在 RtABC中，C=90，BC=6，sinA=，求 cosA、tanB 的值35解：sinBCAAB，5sin3BCABA=6=10.又22221068ACABBC，4tan.3ACBBC=4cos5ACAAB=，在直角三角形中，如果已知一 边长及一
20、个锐角的某个三角函 数值，即可求出其它的 所有锐角三角函数值ABC8解：3tan4BCAAC，63cos.105BCBAB 如图，在 RtABC 中，C=90，AC=8，tanA=，求sinA，cosB 的值练一练34338644BCAC ，22228610ABACBC，63sin105BCAAB，1.如图，在 RtABC 中，斜边 AB 的长为 m，A=35，则直角边 BC 的长是 ()sin35mA.cos35mB.cos35mC.cos35mD.A当堂练习当堂练习ABC2.随着锐角 的增大，cos 的值 ()A.增大 B.减小 C.不变 D.不确定B当 090时，cos 的值随着角度的增
21、大(或减小)而减小(或增大)3.已知 A，B 为锐角，(1)若A=B，则 cosA cosB；(2)若 tanA=tanB，则A B.(3)若 tanA tanB=1，则 A 与 B 的关系为：.=4.tan30=，tan60=.333A+B=905.sin70，cos70，tan70的大小关系是 ()A.tan70cos70sin70 B.cos70tan70sin70 C.sin70cos70tan70 D.cos70sin70tan70解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin701，cos701，tan701.又cos70sin20，正弦值随着角的增大而增大，sin70cos70sin2
22、0.故选D.D6.如图，在 RtABC 中，C=90，cosA=，求 sinA、tanA 的值1517解：15cos17ACAAB，88tan.1515BCkAACkABC设 AC=15k，则 AB=17k.2222(17)(15)8BCABACkkk，88sin1717BCkAABk，7.如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB，垂足为 D.若 AD=6，CD=8.求 tanB 的值.解:ACB ADC=90，B+A=90，ACD+A=90，B=ACD，tanB=tanACD=63.84ADCD2222437ADABBD，8.如图，在ABC中，AB=AC=4，BC=6.求cosB 及 tanB 的值.解：过点 A 作 ADBC 于 D.AB=AC，BD=CD=3，在 RtABD 中 tanB=ABCD提示：求锐角的三角函数值的问题，当图形中没有直角三角形时，可以用恰当的方法构造直角三角形.课堂小结课堂小结余弦函数和正切函数在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦A的大小确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关在直角三角形中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做角 A 的正切余弦正切性质
