1、第一节第一节 导数概念导数概念一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的连续性与可导性关系一、引例1、直线运动的速度 设动点于时刻t在直线上的位置的坐标为s s=f(t),这段时间的平均速度；为00000)()(tttttftfttss.)()(lim0000时的瞬时速度为ttttftfvtt2、切线问题 设有曲线C及C上的一点M，在点M外另取C上一点N，作割线MN.当N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线.割线MN与x轴的夹角为 ；切线MT与x轴的夹角为 ；当 时，.0 xx,)()(tan0000的斜率为割线MNxxxfx
2、fxxyy.)()(limtan000的斜率为切线MTkxxxfxfxx导数的定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处取得增量 (点 仍在该邻域内)时,相应的函数y取得增量 ;如果 与 之比当 时的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在x0点处的导数，记为 ,即xxx0)()(00 xfxxfyxy0 x)(0 xf,)()(limlim)(00000 xxfxxfxyxfxx也可记作 或.|d)(d|dd,|000 xxxxxxxxfxyy二、导数的定义 上面的导数定义也可取不同的形式，常见的有：,)()(lim)(,)(
3、)(lim)(00000000 xxxfxfxfhxfhxfxfxxh和 此为在x0点处的导数，得到的是导数值.如果函数f(x)在x0处有导数，则称函数f(x)在 x0处可导，否则称函数f(x)在x0处不可导.记作 或 .如果函数y=f(x)在开区间I内每点处都可导，就称函数f(x)在开区间I内可导.此时，对于任一 ，都对应着f(x)的一个导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数y=f(x)的导函数.xxfxyxfyd)(d dd)(,，Ix由导数定义求导数的几个步骤：(1)求出对应于自变量改变量 的函数改变量x),()(xfxxfy(3)求 时 的极限，即0 xxy.)()(l
4、im)(0 xxfxxfxfyx,)()(xxfxxfxy(2)作出比值根据导数定义求函数的导数：例如 求函数f(x)=C的导数.xxfxxfx fx)()(lim)(:0解,0lim0 xCCx常数的导数等于零.0,C即.)()(1处的导数在为正整数求函数例axnxxfnaxafxfa fax)()(lim)(解：axaxnnaxlim)(lim121nnnaxaaxx.1nna把以上结果中的a换成x得：,)(1nnnxx一般，对于幂函数有：.)(1xx,2121)(221121 21xxx例.)1()(211 1xxx.sin)(3的导数求函数例xxfxxfxxfx fx)()(lim)(
5、0解：xxxxxsin)sin(lim0 2)sin2cos(21lim0 xxxxx.cos22sin)2cos(lim0 xxxxxx,cos)(sinxx 即正弦函数的导数是余弦函数.余弦函数的导数是负的正弦函数.同理可得,sin)(cosxx.)1,0()(4的导数求函数例aaaxfx因此时且当则令,00,)1(log,1xxaaxxxfxxfx fx)()(lim)(0解：xaaxxxx0lim,1lim0 xaaxxx10)1(log1lima)1(loglim1lim00axxxa,ln)(aaaxx即,lnlog1)1(limlog110aeaa.e)(e xx.)1,0(lo
6、g)(5的导数求函数例aaxxfaxxfxxfx fx)()(lim)(0解：xxxxaax)(log)(loglim0)1(log1lim)(log1lim00 xxxxxxxxxaxaxxxxxxax)1(loglim10 xxxaxxx)1(limlog10.ln1elog1axxa即.1)(ln,ln1)(logxxaxxa例6 用定义讨论函数 f(x)=,0 0,0 1sinxxxx在点x=0处的连续性与可导性.),0(01sinlim)(lim00fxxxfxx解：所以f(x)在点x=0处连续.,1sinlim1sinlim0)0()(lim000 xxxxxfxfxxx不存在，所
7、以f(x)在点x=0处不可导.设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义，如果 存在，则称之为f(x)在点x0处的左导数，记作 ；如果 存在，则称之为f(x)在点x0处的右导数，记作 .xxfxxfx)()(lim000 xxfxxfx)()(lim000)(0 x f)(0 xfx左导数和右导数统称为单侧导数.左、右导数的定义：函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是：左导数 和右导数 都存在且相等.)(0 x f)(0 x f例7 求函数f(x)=|x|在x=0处的导数.,|lim0|lim )0()0(lim)0(000 xxxxxfxffxxx解：,1|lim,1|00 xxxxxx故
8、时，当,1|lim,1|00 xxxxxx故时，当.0|)()0()0(lim0处不可导在即函数不存在，xxxfxfxfx处切线的斜率，即在点曲线在几何上表示处的导数在点函数)(,()()()(0000 xfxMxfyxfxxfy.tan)(0 xf三、导数的几何意义曲线y=f(x)在点M处的切线方程为),)(000 xxxfyy曲线y=f(x)在点M处的法线方程为).()(1000 xxxfyy.)2,21(1 8 法线方程处的切线方程和在点求等边双曲线例xy 0,=44 )21(42 yxxy，即切线方程为解：，所求切线的斜率为211|xyk,1)1(2xxy又,4|12121xxk,41
9、1 12kk法线的斜率为.01582 )21(412 yxxy，即法线方程为平行？线上哪一点处的切线与直问曲线例13 923xyxy,3 13ykxy的斜率为解：,23)(21 23 23xxyxy的导数为,8 4 323 ,21 yxxky得，即须使要使其切线与直线平行在(4,8)点处曲线的切线与直线平行.如果函数y=f(x)在点x处可导，则它在x点处一定连续.,0,)(时的无穷小为当其中xxfxy.)(处连续在点xxfy 四、函数可导性与连续性的关系证明：),(lim00 xfxyx,00,)(yxxxxfy时，当例如 函数 f(x)=|x|在x=0 连续但不可导.又如 函数在 在x=0
10、连续，但3xy,limlim,)0()0(lim3203100 xxxxfxfxxx所以 y在x=0处不可导.可导连续(可导一定连续),连续可导？(连续不一定可导),可导的函数一定连续，连续的函数一定有极限，所以f(x)在x0处可导就一定有极限.)(,)(lim)(lim,)(lim(1)0有极限称为函数存在和xfnfxfxfnxxx.)()()(lim(2)000处连续在称为函数xxxfxfxfxx .)()()(lim(3)0000处可导在称为函数存在，xxxfxxxfxfxx例10 讨论函数在点x=0，x=1及x=2处的连续性和可导性.,2 421,21 1,10 20,12xxxxxx
11、xxf(x)=,1)1(lim)(lim 0(1)00 xxfxxx点处在解：),(lim)(lim00 xfxfxx,02lim)(lim00 xxfxx.0)(,)(lim0不连续，也不可导在点不存在xxfxfx(2)在x=1处.1)(,2)1()(lim1处连续在 xxffxfx,22lim)(lim11xxfxx,2)1(,2)1(lim)(lim211fxxfxx且,2)(lim)(lim)(lim111xfxfxfxxx,22lim2)1(2lim )1()1(lim)1(000 xxxxxfxffxxx,2 1)1(lim )1()1(lim)1(200 xxxfxffxx.1)
12、(,2)1()1()1(处可导在函数xxffff,2)2(lim)(2lim020 xxxxxx(3)在点x=2处,2)(,)2(5)(lim2处连续在 xxffxfx.5 1)2(lim )2()2(lim)2(200 xxxfxffxxxxxx20)(4lim.4)4(lim0 xx,5)1(lim)(lim222xxfxx,5)2(5)421(lim)(lim22fxxfxx且xxxfxffxx54)2(21lim )2()2(lim)2(00,2121lim0 xxx.2)(,)2(),2()2(点处不可导在不存在xxffff.2,1,0)(处连续但不可导在处连续且可导在处不连续也不可导在的结论为：xxxxf
