1、数乘向量1.向量的数乘运算定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做数乘向量，记作a。规定：（1）当0且a0时，|a|=|a|，且当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反。（2）当=0或a=0时，a=0。【思考】（1）定义中“是一个向量”告诉了我们什么信息？提示：数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又有方向。（2）若把|a|=|a|写成|a|=|a|可以吗？为什么？提示：不可以，当0，所以3a与a同向。因为-20，所以-2a与a反向。（2）。因为|4a|=|4|a|，|-4a|=|-4|a|=4|a|，故二者相等。（3）。当0时，a与-a的方向相同。（4）。若b=0
2、时不成立。2.点C在直线AB上，且 ，则 等于（）【解析】选D。如图，所以AC 3AB BC 11A2AB BAB CAB D 2AB33 AC 3AB BC 2AB.3.已知|a|=1，|b|=3，若两向量方向相反，则向量a与向量b的关系为b=_a。【解析】由于|a|=1，|b|=3，则|b|=3|a|，又两向量反向，故b=-3a。答案：-3类型一数乘向量的定义【典例】设a是非零向量，是非零实数，则以下结论正确的有_。|-a|a|；a与2a方向相同；|-2a|=2|a|。【思维引】根据数乘向量的概念解决。【解析】当01时，|-a|0，即x 。答案：x1212【加练固】存在两个非零向量a，b，
3、满足b=-3a，则有（）A.a与b方向相同B.a与b方向相反C.|a|=|3b|D.|a|=|b|【解析】选B。因为-30，所以a与-3a方向相反。且|-3a|=3|a|，即|b|=3|a|，故选B。类型二数乘向量的运算【典例】下列各式化简正确的是_。-32a=-5a；a3（-2）=-3a；-2 =2 ；0b=0。12AB BA【思维引】根据数乘向量的运算律解决。【解析】因为-32a=-6a，a3（-2）=-3a，-2 =-2 =2 ，0b=0。所以，错误，正确。答案：12AB BA AB【内化悟】数乘向量的运算可以与以前我们学过的什么运算相类比？提示：可类比数乘单项式运算。【类题通】a中的实
4、数叫做向量a的系数，数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘，作为新向量的系数。【习练破】化简下列各式。（1）4 a。（2）-21()81(3).2 a【解析】（1）4（2）-2 =3a。11().82aa1(3)2 a类型三数乘向量的应用角度1判断向量共线【典例】已知a=2e，b=-4e，判断a，b是否平行，求 的值；若ab，说出它们是同向还是反向。|ab【思维引】利用数乘向量的定义解决。【解析】因为b=-4e=-2（2e）=-2a，所以ab，且 ，即 =1 2。向量a，b反向。2|ab|a b【素养探】本题主要考查向量共线条件的应用，突出考查了数学运算的核心素养。本题若把条件改为“a=2e，b
5、=3e，”其他不变，试求解。【解析】因为b=3e=a，所以ab，且 即 =2 3。向量a，b同向。33(2)22e3|2ab|ab角度2判断三点共线【典例】已知 =e，=-3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，说出点A是线段BC的几等分点。AB BC【思维引】利用数乘向量的定义解决。【解析】因为 =-3e=-3，所以 ，且有公共点B，所以A，B，C三点共线，又因为BC=3AB，且向量 反向，如图，所以点A是线段BC的三等分点。BC AB AB BC AB,BC 【类题通】数乘向量的应用（1）如果存在实数，使得b=a，则ba。（2）如果存在实数，使得 ，则 ，且AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线。ABAC AB AC 【习练破】分别指出下列各题中A，B，C三点是否共线，如果共线，指出线段AB与BC的长度之比。11 AC3BC.2 ACAB.3 （）（）【解析】（1）因为 ，所以 ，又有公共的点C，所以A，B，C三点共线，且AB=2BC，即AB BC=2 1。（2）因为 ，所以 ，又有公共点A，所以A，B，C三点共线，且AB=BC，即AB BC=3 4。AC3BC AC BC 1ACAB3 AC AB 34
