1、导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 28.1 锐角三角函数 第二十八章 锐角三角函数 第1课时 正弦函 数 九年级数学下（RJ） 教学课件 学习目标 1. 理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形 的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变). (重点) 2. 能根据正弦概念正确进行计算. (重点、难点) 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房 沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面 绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡脚 (A )为 30，为 使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？ 情境引入 导入新课导入新课 讲授新课讲授新课 已知直角三角形的边长求正弦值
2、 一 从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？ 能否结合数学图形把它描述出来？ A B C 35m ? 合作探究 A B C 35m 如图，在 RtABC 中，C=90，A=30， BC = 35 m，求AB. 根据“在直角三角形中，30角所对的 边等于斜边的一半”. 即 可得 AB = 2BC =70 (m). 也就是说， 需要准备 70 m 长的水管. 1 2 BC AB ， 如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备 多长的水管？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30， 那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对 边与斜边的比都等于 . 归纳： 1 2 RtABC 中，如果C=90，
3、A = 45，那 么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？ 因为A=45，则AC=BC，由勾股定理得 AB2=AC2+BC2=2BC2. 思考： 所以 2ABBC，因此 2 . 22 BCBC ABBC 在直角三角形中，如果一个锐角等于45，那 么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与 斜边的比都等于 . 归纳： 2 2 当A 是任意一个确定的锐 角时，它的对边与斜边的比 是否也是一个固定值呢？ 任意画 RtABC 和 RtABC，使得CC 90，AA，那么 与 有什么关 系？你能解释一下吗？ A B C A B C BC AB BC A B 因为CC90，AA，所以 RtABC RtABC
4、. 所以 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度 数一定时，不管三角形的大小如何，A 的对边 与斜边的比也是一个固定值 ABBC A BBC BCBC ABAB 如图，在 RtABC 中，C90，我们把锐 角 A 的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作 sin A 即 例如，当A30时，我们有 ； 2 1 30sinsin A 当A45时，我们有 . 2 2 45sinsin A A B C c a b 对边 斜边 归纳： A的对边 斜边 sin A = . a c 例1 如图，在 RtABC 中，C=90，求 sinA 和 sinB 的值. A B C 4 3 图 ？ A B C 13 5
5、图 ？ 典例精析 解：如图，在 RtABC 中，由勾股定理得 2222 =435.ABACBC 因此 3 sin 5 BC A AB ， 4 sin. 5 AC B AB 如图，在RtABC中，由勾股定理得 2222 =13512.ACABBC 因此 5 sin 13 BC A AB ， 12 sin. 13 AC B AB sinA = ( ) BC AB sinA = ( ) BC AC 1. 判断对错 A 10m 6m B C 练一练 sinB = ( ) BC AB sinA =0.6 m ( ) sinB =0.8 m ( ) 2. 在 RtABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大
6、100 倍，sinA 的值 ( ) A. 扩大100倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定 C 1 100 例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连 接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 的正弦值. 解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA . A (0，3) 在RtAPO中，由勾股定理得 2222 345.OPOAAP 因此 4 sin. 5 AP OP 方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数 值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三 角形，再结合勾股定理求解. 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sin 等于 ( ) O x y P (a，
7、b) A. B. C. D. a b b a 22 a ab 22 b ab 练一练 D 已知锐角的正弦值求直角三角形的边长 二 例3 如图，在 RtABC 中，C=90， ， BC = 3，求 sinB 及 RtABC 的面积. 1 sin 3 A A B C 提示：已知 sinA 及A的对 边 BC 的长度，可以求出斜 边 AB 的长. 然后再利用勾 股定理，求出 BC 的长度， 进而求出 sinB 及 RtABC 的面积. 解： 1 sin 3 A ， 1 3 BC AB ， AB = 3BC =33=9. 2222 =936 2.ACABBC 6 22 2 sin. 93 AC B A
8、B 11 =6 23=9 2. 22 ABC SAC BC 在 RtABC 中，C = 90，sinA = k，sinB = h， AB = c，则 BC = ck， AC = ch. 在 RtABC 中，C = 90，sinA = k，sinB = h， BC=a，则 AB = a k ，AC = ah k ， 归纳： 1. 在RtABC中，C=90，sinA= ，BC=6，则 AB 的长为 ( ) D 3 5 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2. 在ABC中，C=90，如果 sinA = ，AB=6， 那么BC=_. 1 3 2 练一练 例4 在 ABC 中，C=90，AC=24
9、cm，sinA= ， 求这个三角形的周长 7 25 解：设BC=7x，则AB=25x，在 RtABC中，由勾 股定理得 2222 2524 .ACABBCBCx 即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm. 故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm. 所以 ABC 的周长为 AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm). 方法总结：已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般 需结合方程思想和勾股定理，解决问题. 当堂练习当堂练习 1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，则 锐角 A 的正弦值 ( ) A. 扩大 2 倍 B.不变 C. 缩小
10、 D. 无法确定 B 1 2 2. 如图， sinA的值为 ( ) 7 A C B 3 30 A. B. C. D. 1 2 3 7 3 2 C 2 10 7 3. 在 RtABC 中，C = 90 ，若 sinA = ，则 A= ， B= . 2 2 45 45 4. 如图，在正方形网格中有 ABC，则 sinABC 的值为 . 10 10 解析： AB ，BC ， AC ， AB2 BC2AC2， ACB90，sinABC 2018 2 210 . 1020 AC AB 5. 如图，点 D (0，3)，O (0，0)，C (4，0)在 A 上， BD是 A 的一条弦，则 sinOBD =_
11、. 解析：连接 CD，可得出 OBD = OCD，根据点 D (0，3)，C (4，0)，得 OD = 3，OC = 4，由 勾股定理得出 CD = 5，再在直角 三角形中得出利用三角函数求出 sinOCD 即可 3 5 O x y A C B D 6. 如图，在 ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ，求 ABC 的面积. D 5 5 C B A 4 5 解：作BDAC于点D， sinA = ， 4 5 4 sin54 5 BDABA ， 2222 543.ADABBD 又 ABC 为等腰，BDAC， AC=2AD=6， SABC=ACBD2=12. 7. 如图，在 ABC 中，ACB=90，CDAB. (1) sinB 可以由哪两条线段之比表示? A C B D 解： A =A，ADC =ACB = 90， ACD ABC，ACD = B， sin sin. ACCDAD BACD ABBCAC (2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sinB 的值. 解： 由题 (1)知 2222 534.ADACCD 4 sinsin. 5 AD BACD AC 课堂小结课堂小结 正弦函数 正弦函数的概念 正弦函数的应用 已知边长求正弦值 已知正弦值求边长 A的对边 斜边 sin A =
