1、3.1 探索勾股定理（探索勾股定理（1）思考思考 如图，从电线杆离地面如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那，那么需要多长的钢索？么需要多长的钢索？想一想，你需要想一想，你需要求哪些线段长度，这求哪些线段长度，这些长度能确定吗？些长度能确定吗？ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2(1)观察图观察图1-1 正方形正方形A中含有中含有 .个小方格，即个小方格，即A的面的面积是积是 个单位面积个单位面积.正方形正方形B的面积是
2、的面积是 个单位面积个单位面积.正方形正方形C的面积是的面积是 个单位面积个单位面积.99918你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流.（2）做一做做一做CABABC 正方形周边上正方形周边上的格点数的格点数a=12正方形内部的正方形内部的格点数格点数b=13利用皮克公式利用皮克公式112Sab所以，正方形所以，正方形C的的面积为：面积为：（单位面积）（单位面积）112 13 1182 图图1-1图图1-2方法方法1ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2cS正方形143 3182 分割成若干个直角分割
3、成若干个直角边为整数的三角形边为整数的三角形（单位面积）（单位面积）方法方法2ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2cS正方形216218(单位面积单位面积)把把C看成边长为看成边长为6的的正方形面积的一半正方形面积的一半方法方法3ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2(2)在图在图1-2中，正方中，正方形形A，B，C中各含有中各含有多少个小方格？它们多少个小方格？它们的面积各是多少？的面积各是多少？(3)你能发现图你能发现图1-1中中三个正方形三个正方形A，B，C的面积之间
4、有什么关的面积之间有什么关系吗？系吗？SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积边上的正方形的面积（3）ABC图图1-3ABC图图1-4(1)观察图观察图1-3、图图1-4，并填，并填写下表：写下表：A的面积的面积（单位面积）（单位面积）B的面积的面积（单位面积）（单位面积）C的面积的面积（单位面积）（单位面积）图图1-3图图1-4169254913你是怎样得你是怎样得到表中的结到表中的结果的？与同果的？与同伴交流交流伴交流交流.做一做做一做ABC图图1-3ABC图图1-4分割成若干个直角边为整数的三角形分割成若干个直角边为
5、整数的三角形cS正方形25144 3 12 (面积单位面积单位)ABC图图1-3ABC图图1-4(2)三个正方三个正方形形A，B，C的面积之间的面积之间有什么关系？有什么关系？SA+SB=SC即：两条直角边上的正方形面积之和等于即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积斜边上的正方形的面积ABC图图1-3ABC图图1-4(1)你能用三角形你能用三角形的边长表示正方的边长表示正方形的面积吗？形的面积吗？(2)你能发现直角你能发现直角三角形三边长度三角形三边长度之间存在什么关之间存在什么关系吗？与同伴进系吗？与同伴进行交流行交流.(3)分别以分别以5厘米、厘米、12厘米为直角边作出
6、一个厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度直角三角形，并测量斜边的长度.(2)中的规律中的规律对这个三角形仍然成立吗？对这个三角形仍然成立吗？议一议议一议勾股定理（勾股定理（gou-gu theorem)如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜斜边为边为c，那么，那么222abc即即 直角三角形两直角边的平方和等于斜直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方边的平方.abc勾勾股股弦弦在西方又称毕达在西方又称毕达哥拉斯定理耶！哥拉斯定理耶！结论结论 小明的妈妈买了一部小明的妈妈买了一部29英寸英寸(74厘米厘米)的的电视机电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏
7、小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有幕只有58厘米长和厘米长和46厘米宽，他觉得一定是厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了售货员搞错了.你能解释这是为什么吗？你能解释这是为什么吗？我们通常所说的我们通常所说的29英寸或英寸或74厘米的电视厘米的电视机，是指其荧屏对角机，是指其荧屏对角线的长度线的长度27454762258465480售货员没搞错售货员没搞错荧屏对角线大约为荧屏对角线大约为74厘米厘米做一做做一做说说这节课你有什么收获？说说这节课你有什么收获？内容总结：探索直角三角形两直角边的平方和内容总结：探索直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；利用勾股定理解决实际问题等于斜边的平方；利用勾
8、股定理解决实际问题.方法总结：方法总结：数方格看图找关系，利用面积不变的方法；数方格看图找关系，利用面积不变的方法；用直角三角形三边表示三个正方形面积用直角三角形三边表示三个正方形面积观观察归纳发现勾股定理察归纳发现勾股定理任意画一个直角三角形，任意画一个直角三角形，再验证自己的发现再验证自己的发现.小结小结延伸拓展1、情境引入中的、情境引入中的“围地围地”问题问题.2、如图，一艘船在、如图，一艘船在A处要到达小岛处要到达小岛B处，但处，但AB之间有暗礁，之间有暗礁，为了行船安全，船先向正西方向行驶了为了行船安全，船先向正西方向行驶了400海里，再向正南方海里，再向正南方向行驶了向行驶了300
9、海里便到达了小岛海里便到达了小岛B，请你计算，请你计算A与与B之间的直之间的直线距离是多少线距离是多少.3、高速公路上有、高速公路上有A、B两站相距两站相距25 km，C、D为两个小集镇，为两个小集镇，DAAB与与A，CBAB与与B,已知已知DA15 km，CB10 km，现在要在公路现在要在公路AB边上建设一个土特产收购站边上建设一个土特产收购站E，使得，使得C、D两两镇到镇到E站的距离相等，则站的距离相等，则E站应建在距站应建在距A站多少千米处？站多少千米处？B BA ADDB BA AE EC C一、课后习题一、课后习题二、准备二、准备4 4张全等的直角三角形纸片张全等的直角三角形纸片a
10、bc作业作业 我国数学家华罗庚曾经建议，要探知其他星球我国数学家华罗庚曾经建议，要探知其他星球上有没有上有没有“人人”，我们可以发射下面的图形，如，我们可以发射下面的图形，如果他们是果他们是“文明人文明人”，必定认识这种，必定认识这种“语言语言”.勾股定理勾股定理：bcaABC 直角三角形中，两直角三角形中，两直角边直角边a、b的平方和等的平方和等于斜边于斜边c的平方的平方即即+=2a2b2c 在中国古代大约是战国时期西汉的在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作数学著作周髀算经周髀算经中记录着中记录着商高商高同同周公的一段对话周公的一段对话.商高说：商高说：“故折矩，故折矩，勾广三，股修四，径
11、隅五勾广三，股修四，径隅五.”商高这段话商高这段话的意思就是说：当直角三角形的两条直的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为角边分别为3 3（短边）和（短边）和4 4（长边）时，（长边）时，径隅（就是弦）则为径隅（就是弦）则为5.5.以后人们就简单以后人们就简单地把这个事实说成地把这个事实说成“勾三股四弦五勾三股四弦五”.故故称之为称之为“勾股定理勾股定理”或或“商高定理商高定理”.在西方，希腊数学家欧几里德（在西方，希腊数学家欧几里德（EuclidEuclid，是公元前三百年左右的人）在编著是公元前三百年左右的人）在编著几何原本几何原本时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，时，认为这个
12、定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了以后就流传开了.毕达哥拉斯（毕达哥拉斯（PythagorasPythagoras）是古希腊数）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年生五百多年 相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此，又有此，又有“百牛定理百牛定理”之称之称.公元公元1945年，人们惊奇地发年，人们惊奇地发现了一份古巴比伦人的数学手稿，现了一
13、份古巴比伦人的数学手稿，据考证，其年代远在商高和毕达据考证，其年代远在商高和毕达哥拉斯之前，大致在公元前哥拉斯之前，大致在公元前18世世纪纪.手稿中难以令人置信地列出手稿中难以令人置信地列出了了15组勾股数，如下表组勾股数，如下表：序号序号勾股数勾股数序号序号勾股数勾股数1119、120、1699481、600、76923367、3456、4825104961、6480、816134601、4800、66491145、60、75412709、13500、18541121679、2400、2929565、72、9713161、240、2896319、360、481141771、2700、3229
14、72291、2700、35411556、90、1068799、960、1249 这些数，即使在今天也远不是人人这些数，即使在今天也远不是人人都很熟悉，天晓得古巴比伦人当时是怎都很熟悉，天晓得古巴比伦人当时是怎样弄到这些数的！如果考古学家坚信自样弄到这些数的！如果考古学家坚信自己没有弄错历史年代的话，那么上面的己没有弄错历史年代的话，那么上面的史实表明：在世界的其他地方还不知道史实表明：在世界的其他地方还不知道3、4、5的关系的时期，古巴比伦人就的关系的时期，古巴比伦人就已经有了一个相当灿烂的文化已经有了一个相当灿烂的文化.这无疑给这无疑给人类早期的文明史，又增添了一个千古人类早期的文明史，又增添了一个千古之迷！之迷！怎样寻找勾股数：怎样寻找勾股数：1、牢记几组常用的勾股数、牢记几组常用的勾股数2、利用公式来推导、利用公式来推导x=m2-n2 y=2mn z=m2+n2(m、n是任意两个正整数，且是任意两个正整数，且mn)
