1、对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的概念、计算与应用计算与应用 一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的性质二、对坐标的曲线积分的性质三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算四、两类曲线积分之间的联系四、两类曲线积分之间的联系一、对坐标的曲线积分的概念1.1.引例引例:变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功xOyABL.,),(),(),(,所作的功所作的功力力变变计算在上述移动过程中计算在上述移动过程中的作用的作用质点受到力质点受到力中中在移动过程在移动过程移动到点移动到点面曲线弧面曲线弧沿光滑的平沿光滑的平设一个质点从点设一个质点从点Fjy
2、xQiyxPyxFBLA xOyL则则沿沿直直线线移移动动到到质质点点从从是是常常力力如如果果,BAF.ABFW 变力沿曲线做功要利用微元法分析变力沿曲线做功要利用微元法分析.),(iiF ),(ii 分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1jyixMMiiii ,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取0MA 1M2M1 iMiMnMB ,),(1iiiiiMMFW 求和求和.),(),(1 niiiiiiiyQxP 取极限取极限.),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1,)
3、,(1iiiiiMMFW 2.2.定义定义记作记作或称第二类曲线积分）或称第二类曲线积分）曲线积分曲线积分的的上对坐标上对坐标在有向曲线弧在有向曲线弧此极限为函数此极限为函数则称则称的极限存在的极限存在时时的最大值的最大值如果当各小弧段长度如果当各小弧段长度上任意取定的点上任意取定的点为为点点设设个有向小弧段个有向小弧段分成分成把把的点的点上上用用上有界上有界在在函数函数滑曲线弧滑曲线弧的一条有向光的一条有向光到点到点面内从点面内从点为为设设,(),(,),(,0.),(,).,;,2,1(),(,),(),(.),(),(,111101111222111xLyxPxPMMyyyxxxBMAM
4、niMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyLniiiiiiiiiiiiiiniinnn .),(limd),(10iiniiLxPxyxP 类似地定义类似地定义.),(limd),(10iiniiLyQyyxQ ,),(),(叫叫做做被被积积函函数数其其中中yxQyxP.叫积分弧段叫积分弧段L.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当LyxQyxP组合形式为组合形式为.d),(d),(LyyxQxyxP3.3.推广推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧.),(limd),(10iiiniixPxzyxP .ddd zRyQxP.)
5、,(limd),(10iiiniiyQyzyxQ .),(limd),(10iiiniizRzzyxR 4.4.向量表示形式向量表示形式.d),(LryxF LyyxQxyxPWd),(d),(所以功所以功 ,),(),(),(jyxQiyxPyxF 因因为为力力 ,ddd j yi xr 位位移移 ,),(),(),(),(kzyxRjzyxQizyxPzyxA 同同理理力力 ,dddd kzj yi xr 位位移移 ddd()d.P xQ yR zA x,y,zr 因因此此二、对坐标的曲线积分的性质二、对坐标的曲线积分的性质性质性质1 1 ,则则为为常常数数、设设 .d),(d),(d),
6、(),(2121 LLLryxFryxFryxFyxF 性质性质2 2则则和和有向曲线弧有向曲线弧可分成两段光滑的可分成两段光滑的如果有向曲线弧如果有向曲线弧,21LLL.d),(d),(d),(21 LLLryxFryxFryxF则则曲线弧曲线弧方向相反的有向方向相反的有向是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设,LLL 性质性质3 3.d),(d),(-LLryxFryxF即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.证证 ,个个小小段段分分成成将将nL ,个小段个小段也分成也分成相应地相应地nL 当每小段曲线弧的方向改变时当每小段曲线弧的方向改变时,其在坐标轴上的投影
7、的绝对值不变但符号改变其在坐标轴上的投影的绝对值不变但符号改变,故结论成立故结论成立.三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算,d),(d),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 LyyxQxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理证证ttttPxyxPLd)()(),
8、(d),(ttttQtttPyyxQxyxPLd)()(),()()(),(d),(d),(且且根据定义根据定义 LxyxPd),(niiiixP10),(lim ,iitx 对应参数对应参数设分点设分点 ,),(iii 对应参数对应参数点点由于由于1 iiixxx)()(1 iitt iit )(先证先证 LxyxPd),(所以所以ttttPd)()(),(iiniiitP )()(,)(lim10 iiniiitP )()(,)(lim10 连连续续所所以以)(t 因为因为L 为光滑弧为光滑弧,同理可证同理可证 LyyxQd),(.d)()(),(ttttQ 特殊情形特殊情形.)(:)1(
9、baxxyyL，终点为，终点为起点为起点为.d)()(,)(,ddxxyxyxQxyxPyQxPbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终终点点为为起起点点为为.d),()(),(ddyyyxQyxyyxPyQxPdcL 则则.,:的的终终点点上上限限对对应应的的起起点点定定积积分分的的下下限限始始终终对对应应注注意意LL.,)()()(:)3(终终点点起起点点空空间间光光滑滑曲曲线线ttztytx tttttRttttQttttPzRyQxPd)()(),(),()()(),(),()()(),(),(ddd .)1,1()1,1(,d2的的一一段段定定向向弧弧到到点点上上从从点点为为抛抛
10、物物线线其其中中计计算算BAxyLxxyL .的定积分的定积分化为对化为对 xAOB.01:,:xxyxxAO.10:,:xxyxxOB OBAOLxxyxxyxxyddd 1001dd)(xxxxxx.54d21023 xx例例1解解.的的定定积积分分化化为为对对 y.11:,:2 yyyyxL 1122d)(dyyyyxxyL 114d2yyAOB解二解二.54.)0,()0,()2(;)1(,d2的的直直线线段段轴轴到到点点沿沿从从点点的的上上半半圆圆周周针针方方向向绕绕行行、圆圆心心为为原原点点、按按逆逆时时半半径径为为为为其其中中计计算算aBxaAaLxyL AB.0:,sin,co
11、s:)1(ayaxL d)sin(sin022 aaI.34dsin3033aa 例例2解解.:,0,:)2(aaxyxxL LxyId2.0d0 aax注意被积函数相同注意被积函数相同,起起点和终点也相同点和终点也相同,但是由但是由于积分路径不同于积分路径不同,导致积导致积分结果不同分结果不同.AB.,)0,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(.,2),(22处处处再沿直线行进到处再沿直线行进到然后从然后从处处处沿直线行进到处沿直线行进到质点从质点从处处行进到行进到处沿抛物线处沿抛物线质点从质点从的功的功求下述情形下场力所作求下述情形下场力所作在场力作用下运动在场力作用下运动一质
12、点一质点设有一平面力场设有一平面力场BAAOBxyOjxxyiyxF OAB.10:,:)1(2 xxyL LyxxxyWdd22 1022d)22(xxxxx.1d4103 xx例例3解解.10:,1:,10:,0:,)2(yxABxyOAABOAL ABOAyxxxyyxxxyWdd2dd222.1d010 y注意注意被积函数相同被积函数相同,起点和起点和终点也相同终点也相同,虽然积分路径不虽然积分路径不同同,但是积分结果相同但是积分结果相同.OAB 102102d)1012(d)002(yyxxx例例4 4.)0,0,0()1,2,3(,dd3d223ABBAzyxyzyxx的直线段的直
13、线段到点到点点点是从是从其中其中计算计算 解解直线段直线段AB的方程是的方程是;123zyx 化为参数方程得化为参数方程得,2,3tztytx 所以所以zyxyzyxxdd3d223 ttttttd2)3(2)2(33)3(01222 tt d87013 .01变到变到从从t.487 .)0,4,3()5,4,3()0,0,2(,ddd的一条定向折线的一条定向折线再到点再到点到点到点为从点为从点其中其中计算计算CBAzxyzxy ABC.BCAB )5,4,1()0,0,2()5,4,3(ABs504012:zyxlAB.10:,5 ,4,2 ttztytx例例5解解ABC.10:,5,4,2
14、:ttztytxlAB ABzxyzxyddd 10d5)2(454tttt.249.01:,5,4,3:,ttzyxlBC类类似似地地 01d530504tt.15 .21915249ddd zxyzxy所以所以 BCzxyzxyddd.),0(1)0,(.,),(2222WFbBbyaxaAFOMFFyxM所作的功所作的功求力求力向移动到点向移动到点按逆时针方按逆时针方沿椭圆沿椭圆此质点由点此质点由点点点的方向恒指向原的方向恒指向原的距离成正比的距离成正比到原点到原点大小与大小与的的的作用的作用处受到力处受到力设一个质点在设一个质点在 解解,j yi xOM .0),(是是比比例例常常数数
15、其其中中 kj yi xkF于是于是rFWABd .|22yxOM 由假设有由假设有ykyxkxABdd yyxxkABdd 例例6 6利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程:,sin,costbytaxW 2022dcossin)(tttbak,2,0,分分别别对对应应参参数数终终点点起起点点BA于是于是tttbttakd)cossinsincos(2202 ).(222bak 四、两类曲线积分之间的联系四、两类曲线积分之间的联系,)()(tytxL ：设有向平面曲线弧为设有向平面曲线弧为,),(为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点yxL LLsQPyQxPd)coscos(d
16、d 则则其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt ,),(为为处处的的切切线线向向量量的的方方向向角角上上点点zyx sRQPzRyQxPd)coscoscos(ddd 则则 stAd rAd,d sAt可用向量表示可用向量表示，其其中中,RQPA ,cos,cos,cos td,d,dddzyxstr 有向曲线元；有向曲线元；.上的投影上的投影在向量在向量为向量为向量tAAt处的单位切向量处的单位切向量上点上点),(zyx.0,ddd,dddd2222222的交线并定向的交线并定向与平面与平面为球面为球面其中其中的上界的上界并由此估计并由此估计证明证明 zyxazyxzyyxxzsRQPzRyQxP),(RQPF 设设,的的单单位位切切向向量量是是有有向向曲曲线线弧弧 的联系得的联系得则由两类曲线积分之间则由两类曲线积分之间 sFzRyQxPdddd sFd 证证例例9 9sRQPsFdd222 zyyxxzddd由由此此可可得得 syxzd222.2d2asa
