1、第一讲坐标系一平面直角坐标系1.1.平面直角坐标系平面直角坐标系(1)(1)数轴数轴:规定了原点规定了原点,_,_和单位长度的直线叫数轴和单位长度的直线叫数轴.数轴数轴上的点与实数之间可以建立上的点与实数之间可以建立_关系关系.(2)(2)平面直角坐标系平面直角坐标系:在同一个平面上互相在同一个平面上互相_且有公共原点且有公共原点的两条的两条_构成平面直角坐标系构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系简称为直角坐标系.通常通常,两条数轴分别置于水平位置与竖直位置两条数轴分别置于水平位置与竖直位置,取取_与与_的方的方正方向正方向一一对应一一对应垂直垂直数轴数轴向右向右向上向上向分别为两条数轴的正方
2、向向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做水平的数轴叫做x x轴或轴或_,_,竖竖直的数轴叫做直的数轴叫做y y轴或轴或_,x_,x轴或轴或y y轴统称为坐标轴轴统称为坐标轴,它们的公它们的公共原点共原点O O称为直角坐标系的称为直角坐标系的_._.平面直角坐标系上的点与有平面直角坐标系上的点与有序实数对序实数对(x,y(x,y)之间可以建立之间可以建立_关系关系.横轴横轴纵轴纵轴原点原点一一对应一一对应(3)(3)距离公式与中点坐标公式距离公式与中点坐标公式:设平面直角坐标系中设平面直角坐标系中,点点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2),)
3、,线段线段P P1 1P P2 2的中点为的中点为P,P,填表填表:两点间的距离公式两点间的距离公式中点中点P P的坐标公式的坐标公式|P|P1 1P P2 2|=|=221212(xx)(yy)+1212xxyy(,)22+2.2.平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换设点设点P(x,yP(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换是平面直角坐标系中的任意一点，在变换:的作用下，点的作用下，点P(x,yP(x,y)对应到点对应到点P(x,yP(x,y)，称，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换简称伸缩变换.xx0yy0 ，1.1.
4、平面直角坐标系内的点的坐标符号有什么特点？平面直角坐标系内的点的坐标符号有什么特点？提示：提示：解决有关点的位置的关键是掌握各象限点的符号特征，解决有关点的位置的关键是掌握各象限点的符号特征，第一到第四象限点的坐标符号分别为第一到第四象限点的坐标符号分别为(，)，(，)，(，)，(，)x x轴上的点的坐标为轴上的点的坐标为(x(x，0)0)；y y轴上的轴上的点的坐标为点的坐标为(0(0，y)y)，原点，原点O O的坐标为的坐标为(0(0，0).0).2.2.将圆将圆x x2 2+y+y2 2=1=1上的任意一点按照上的任意一点按照:进行变换后得到曲线的方程是什么？曲线形状是什么？进行变换后得
5、到曲线的方程是什么？曲线形状是什么？提示：提示：设点设点P(x,yP(x,y)是圆是圆x x2 2+y+y2 2=1=1上任意一点，在变换上任意一点，在变换 的作用下，点的作用下，点P(x,yP(x,y)对应到点对应到点 P(x,yP(x,y)，故，故 代入代入x x2 2+y+y2 2=1=1，得，得 当当=时，表示圆心为时，表示圆心为O O，半径为，半径为的圆；的圆；当当时，表示中心为时，表示中心为O O的椭圆的椭圆.xx0yy0 ，xx0:yy0 ，1xx1yy，2222xy1.3.3.已知点已知点A(2A(2，-4)-4)，点，点B(-2B(-2，y)y)，若，若 则则y=_.y=_.
6、【解析【解析】所以所以16+(y+4)16+(y+4)2 2=25,=25,解得解得y=-1y=-1或或y=-7.y=-7.答案：答案：-1-1或或-7-7AB5=，()()22AB224y5=+-=，4.4.在同一平面直角坐标系中，将曲线在同一平面直角坐标系中，将曲线 按伸缩变换按伸缩变换 变换为变换为_._.【解析【解析】由由 得得代入曲线代入曲线 得得y=cosy=cos x,x,即即y=cosy=cos x.x.答案：答案：y=cosy=cos x x1ycos 2x3=x2xy3y=，x2x,y3y=1xx,21yy.3=1ycos 2x3=，1.1.确定点的位置的方法确定点的位置的
7、方法(1)(1)在数轴上确定一个点，只用一个数据即可在数轴上确定一个点，只用一个数据即可.实数与数轴上实数与数轴上的点是一一对应的，所以一个实数就能确定数轴上一个点的的点是一一对应的，所以一个实数就能确定数轴上一个点的位置例如，位置例如，x=3x=3就惟一的对应点就惟一的对应点A A，x=x=3 3就惟一的对应点就惟一的对应点AA，如图，如图1 1(2)(2)要确定平面直角坐标系内的一点，需要一个有序实数对要确定平面直角坐标系内的一点，需要一个有序实数对(x(x，y).y).对于平面内的一点对于平面内的一点P P，如图，如图2 2，过点，过点P P分别向分别向x x轴，轴，y y轴作垂轴作垂线
8、，垂足在线，垂足在x x轴，轴，y y轴上对应的数轴上对应的数x x，y y分别叫做点分别叫做点P P的横坐标，的横坐标，纵坐标，有序实数对纵坐标，有序实数对(x(x，y)y)叫做点叫做点P P的坐标点的坐标点P(xP(x，y)y)在各在各个象限内的符号如图个象限内的符号如图3 3所示所示.2.2.对于点的坐标伸缩变换的理解对于点的坐标伸缩变换的理解设平面直角坐标系中，变换设平面直角坐标系中，变换将点将点P(x,yP(x,y)变换到点变换到点P(x,yP(x,y).).当当11时，为横向拉伸变换；当时，为横向拉伸变换；当01011时，为纵向拉伸变换；当时，为纵向拉伸变换；当0011时，为纵向压
9、缩变换时，为纵向压缩变换.类型类型 一一 坐标法解决平面几何问题坐标法解决平面几何问题【典型例题【典型例题】1.1.已知等边已知等边ABCABC的边长为的边长为a,Pa,P是是ABCABC所在平面上的任意一点，所在平面上的任意一点，则则PAPA2 2+PBPB2 2+PCPC2 2的最小值为的最小值为_._.2.2.已知已知 ABCDABCD中，求证：中，求证：|AC|AC|2 2+|BD|+|BD|2 2=2(|AB|=2(|AB|2 2+|AD|+|AD|2 2).).【解题探究【解题探究】1.1.两点间的距离公式是什么？两点间的距离公式是什么？2.2.建立平面直角坐标系，如何设建立平面直
10、角坐标系，如何设 ABCDABCD各个顶点的坐标？各个顶点的坐标？探究提示：探究提示：1.1.平面直角坐标系中，设平面直角坐标系中，设P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2)，则，则2.2.以平行四边形的一个顶点为原点，一边所在直线为横轴建以平行四边形的一个顶点为原点，一边所在直线为横轴建立平面直角坐标系，设出两个顶点的坐标，表示第四个顶点立平面直角坐标系，设出两个顶点的坐标，表示第四个顶点的坐标的坐标.22121212|PP|(xx)(yy).=-+-【解析【解析】1.1.方法一：以方法一：以BCBC所在的直线为所在的直线为x x轴，轴，BCB
11、C的垂直平分线的垂直平分线为为y y轴，轴，建立平面直角坐标系，如图，建立平面直角坐标系，如图，则则设设P(x,yP(x,y),),则则PAPA2 2+PBPB2 2+PCPC2 23aaA(0,a),B(,0),C(,0).222-22222222222223aax(ya)(x)y(x)y2225a33x3y3ay3x3(ya)aa,46=+-+-+=+-+=+-+当且仅当当且仅当x=0,x=0,时，等号成立时，等号成立.所以所求的最小值为所以所求的最小值为a a2 2.方法二：因为本题是一道填空题，又最值往往在特殊位置取方法二：因为本题是一道填空题，又最值往往在特殊位置取得，所以经观察可知
12、点得，所以经观察可知点P P的最特殊位置是的最特殊位置是ABCABC的中心，此的中心，此时时PAPA=PBPB=PCPC=(PAPA2 2+PBPB2 2+PCPC2 2)minmin=a=a2 2.答案：答案：a a2 23ya6=3a,323(a)332.2.方法一：解析法方法一：解析法以以A A为坐标原点为坐标原点O O，ABAB所在的直线为所在的直线为x x轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系xOyxOy，则则A(0,0)A(0,0)，设设B(a,0)B(a,0)，C(b,cC(b,c)，则则ACAC的中点的中点 由对称性知由对称性知D(b-a,cD(b-a,c),),所以所以
13、|AB|AB|2 2=a=a2 2,|AD|,|AD|2 2=(b-a)=(b-a)2 2+c+c2 2,b cE(,)2 2，|AC|AC|2 2=b=b2 2+c+c2 2,|BD|,|BD|2 2=(b-2a)=(b-2a)2 2+c+c2 2,|AC|AC|2 2+|BD|+|BD|2 2=4a=4a2 2+2b+2b2 2+2c+2c2 2-4ab-4ab=2(2a=2(2a2 2+b+b2 2+c+c2 2-2ab)-2ab)，|AB|AB|2 2+|AD|+|AD|2 2=2a=2a2 2+b+b2 2+c+c2 2-2ab,-2ab,所以所以|AC|AC|2 2+|BD|+|B
14、D|2 2=2(|AB|=2(|AB|2 2+|AD|+|AD|2 2).).方法二：向量法方法二：向量法在在 ABCDABCD中，中，两边平方得两边平方得同理得同理得以上两式相加，得以上两式相加，得即即|AC|AC|2 2+|BD|+|BD|2 2=2(|AB|=2(|AB|2 2+|AD|+|AD|2 2).).ACABAD=+，2222ACACABAD2AB AD,=+2222BDBDBABC2BA BC,=+222222ACBD2(ABAD)2BC(ABBA)2(ABAD)+=+=+，【拓展提升【拓展提升】建立平面直角坐标系的技巧建立平面直角坐标系的技巧(1)(1)如果平面几何图形有对
15、称中心，可以选对称中心为坐标原如果平面几何图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点点.(2)(2)如果平面几何图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴如果平面几何图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴.(3)(3)尽量使平面几何图形上的特殊点在坐标轴上尽量使平面几何图形上的特殊点在坐标轴上.【变式训练【变式训练】已知已知A(-1,0)A(-1,0)，B(1,0)B(1,0)，圆，圆C C：(x-3)(x-3)2 2(y-4)(y-4)2 2=4=4，在圆上是否存在点，在圆上是否存在点P,P,使使|PA|PA|2 2+|PB|+|PB|2 2取得最大值和最小值？取得最大值和最小值？若存在，求出点若存在
16、，求出点P P的坐标以及相应的最值；若不存在，请说明的坐标以及相应的最值；若不存在，请说明理由理由.【解析【解析】假设圆假设圆C C：(x-3)(x-3)2 2(y-4)(y-4)2 2=4=4上存在一点上存在一点P,P,分别使分别使|PA|PA|2 2+|PB|+|PB|2 2 取得最大值和最小值，则由三角形的中线与三边取得最大值和最小值，则由三角形的中线与三边长度的关系，得长度的关系，得2(|PA|2(|PA|2 2+|PB|+|PB|2 2)=4|PO|)=4|PO|2 2+|AB|+|AB|2 2=4|PO|=4|PO|2 2+4,+4,所以所以|PA|PA|2 2+|PB|+|PB|
17、2 2=2|PO|=2|PO|2 2+2.+2.可见，当可见，当|PO|PO|2 2 取得最大值和最小值时，相应地分别使取得最大值和最小值时，相应地分别使|PA|PA|2 2+|PB|+|PB|2 2 取得最大值和最小值取得最大值和最小值.由于由于|OC|=5|OC|=5，圆的半径为，圆的半径为2 2，根据点与圆的位置关系知，经过，根据点与圆的位置关系知，经过原点和圆心的直线与圆的两个交点原点和圆心的直线与圆的两个交点P P1 1，P P2 2分别使分别使|PO|PO|取得最小取得最小值值5-2=35-2=3和最大值和最大值5+2=75+2=7，分别使，分别使|PO|PO|2 2取得最小值取得
18、最小值9 9和最大值和最大值4949，所以，所以|PA|PA|2 2+|PB|+|PB|2 2的最小值为的最小值为2020，最大值为，最大值为100.100.由由 消去消去y y整理，整理，得得25x25x2 2150 x+9150 x+921=021=0，即即(5x(5x9)(5x9)(5x21)=0,21)=0,解得解得 或或所以所以 为所求的点为所求的点.224yx3(x3)(y4)4,=+=，119x512y5，=2221x528y5=，129 1221 28P(,),P(,)5 555类型类型 二二 坐标法解决实际应用问题坐标法解决实际应用问题 【典型例题【典型例题】1.1.如图，某
19、学校的东北方有一块空地，如图，某学校的东北方有一块空地，其中两面是不能动的围墙，在边界其中两面是不能动的围墙，在边界OABOAB内是不能动的一些体育设施现准备在内是不能动的一些体育设施现准备在此建一栋教学楼，使楼的底面为一矩形，此建一栋教学楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有且靠围墙的方向须留有5 5米宽的空地，则米宽的空地，则教学楼的底面积的最大值为教学楼的底面积的最大值为_平方米平方米.2.2.某工程队要在平面内挖一个半圆形的地基，如图，已知挖某工程队要在平面内挖一个半圆形的地基，如图，已知挖出的土只能沿道路出的土只能沿道路APAP，BPBP运到运到P P处，已知处，已知PAPA1
20、00100米，米，PBPB150150米，米，APB APB 6060，试说明怎样运土才能最省工？，试说明怎样运土才能最省工？【解题探究【解题探究】1.1.如何建立矩形面积的目标函数？如何建立矩形面积的目标函数？2.2.如何确定运土路径远近相等的分界线？如何确定运土路径远近相等的分界线？探究提示：探究提示：1.1.以围墙的邻边所在直线为坐标轴建立直角坐标系，求出直以围墙的邻边所在直线为坐标轴建立直角坐标系，求出直线的方程，得到面积的目标函数求最大值线的方程，得到面积的目标函数求最大值.2.2.抽象为数学问题，半圆中的点分为三类：抽象为数学问题，半圆中的点分为三类：(1)(1)沿沿APAP到到P
21、 P较近较近.(2)(2)沿沿BPBP到到P P较近较近.(3)(3)沿沿APAP，BPBP到到P P同样远近同样远近.显然，第三类点是第一、二类点的分界点，设显然，第三类点是第一、二类点的分界点，设M M是分界线上的是分界线上的任意一点，则有任意一点，则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，于是于是|MA|MA|MB|=|PB|MB|=|PB|PA|=150|PA|=150100=50.100=50.发现第三类点发现第三类点M M满足性质：点满足性质：点M M到点到点A A与到点与到点B B的距离之差等于的距离之差等于常数常数5050，由双曲线定义知，
22、点，由双曲线定义知，点M M在以在以A A，B B为焦点的双曲线的右为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程支上，故问题转化为求此双曲线的方程.【解析【解析】1.1.如图建立直角坐标系，可知如图建立直角坐标系，可知ABAB所在直线的方程为所在直线的方程为 即即x xy y20.20.设设G(xG(x，y)y)，由，由y y2020 x x可知可知G(xG(x，2020 x)x)所以所以S=S=39395 5(20(20 x)x)2525(5+x)(5+x)=(14+x)(20=(14+x)(20 x)x)=x x2 2+6x+20+6x+2014=14=(x(x3)3)2 2+28
23、9(0 x20).+289(0 x20).由此可知，当由此可知，当x x3 3时，时，S S有最大值有最大值289289平方米平方米答案：答案：289289xy12020+=，2.2.以以ABAB所在直线为所在直线为x x轴，线段轴，线段ABAB的中点为原点建立直角坐标系的中点为原点建立直角坐标系xOyxOy，设，设M(xM(x，y)y)是沿是沿APAP，BPBP运土同样远的点，则运土同样远的点，则|MA|+|PA|=|MB|+|PB|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，所以所以|MA|MA|MB|=|PB|MB|=|PB|PA|=50.|PA|=50.在在PABPAB中，由余弦定理得中，由
24、余弦定理得|AB|AB|2 2=|PA|=|PA|2 2+|PB|+|PB|2 22|PA|PB|cos 602|PA|PB|cos 60=17 500=17 500，则则5050|AB|.|AB|.由双曲线定义知由双曲线定义知M M点在以点在以A A，B B为焦点的双曲线的右支上，为焦点的双曲线的右支上，设此双曲线方程为设此双曲线方程为因为因为 解得解得所以所以M M点的轨迹是点的轨迹是 在半圆内的一段双曲在半圆内的一段双曲线弧线弧.于是运土时将双曲线弧及其左侧的土沿于是运土时将双曲线弧及其左侧的土沿APAP运到运到P P处，右侧的土处，右侧的土沿沿BPBP运到运到P P处最省工处最省工.(
25、)2222xy1 a0b0.ab=，22222a504c17 500cab=+，22a625b3 750.=，22xy1(x25)6253 750=【拓展提升【拓展提升】运用解析法解决实际问题的步骤运用解析法解决实际问题的步骤(1)(1)建系建系建立平面直角坐标系建系原则是利于运用已知建立平面直角坐标系建系原则是利于运用已知条件，使表达式简明，运算简便因此，要充分利用已知点条件，使表达式简明，运算简便因此，要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴和已知直线作为原点和坐标轴.(2)(2)设点设点选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程
26、坐标和曲线的方程.(3)(3)运算运算通过运算，得到所需要的结果通过运算，得到所需要的结果【变式训练【变式训练】有一种商品，有一种商品，A A，B B两地都有出售，且价格相两地都有出售，且价格相同某地居民从两地之一购得商品后运回的费用为：同某地居民从两地之一购得商品后运回的费用为：A A地每公地每公里的费用是里的费用是B B地每公里费用的地每公里费用的3 3倍已知倍已知A A，B B两地的距离是两地的距离是1010公里，顾客选择公里，顾客选择A A地或地或B B地购买这件商品的标准是包括运费和地购买这件商品的标准是包括运费和价格的总费用较低价格的总费用较低求求P P地居民选择地居民选择A A地
27、或地或B B地购货总费用相等时，点地购货总费用相等时，点P P所在曲线的所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点物地点?【解题指南【解题指南】建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系,求出分界线方程即可求出分界线方程即可.【解析【解析】如图所示，以如图所示，以A A，B B所在的直线为所在的直线为x x轴，线段轴，线段ABAB的中点的中点为原点建立平面直角坐标系为原点建立平面直角坐标系.因为因为AB=10AB=10，所以，所以A(-5,0)A(-5,0)，B(5,0).B(5,0).设设P(x,yP(x,y)，当，当P
28、 P到到A,BA,B所在地购物费用相等时有：所在地购物费用相等时有：价格价格+A+A地运费地运费=价格价格+B+B地运费，地运费，设去设去B B地费用每公里为地费用每公里为a a，则去，则去A A地费用每公里为地费用每公里为3a3a，所以所以化简整理，得化简整理，得所以，所以，P P地居民选择地居民选择A A地或地或B B地购货总费用相等时，点地购货总费用相等时，点P P所在曲所在曲线为以线为以 为圆心，以为圆心，以 为半径的圆为半径的圆.(1)(1)当当P P点在以点在以 为圆心，以为圆心，以 为半径的圆上时，居民为半径的圆上时，居民到到A A地或地或B B地购货总费用相等地购货总费用相等.
29、22223a(x5)ya(x5)y+=+，2222515(x)y().44+=25(0)4-，15425(0)4-，154(2)(2)当当P P点在上述圆内时，点在上述圆内时，因为因为所以所以9(x+5)9(x+5)2 2+9y+9y2 2(x(x5)5)2 2+y+y2 2=所以所以故此时到故此时到A A地购物最合算地购物最合算.(3)(3)当当P P点在圆外时，同理可知，此时到点在圆外时，同理可知，此时到B B地购物最合算地购物最合算.2222515(x)y()44+，22225158(x)y()0.44+22223(x5)y(x5)y+，类型类型 三三 伸缩变换及其应用伸缩变换及其应用
30、【典型例题【典型例题】1.1.将椭圆将椭圆 按按变换后的曲线围成图形的面积为变换后的曲线围成图形的面积为_._.2.2.已知椭圆已知椭圆C C：P P，Q Q为椭圆为椭圆C C上的两点，上的两点，O O为原点，为原点，直线直线OPOP，OQOQ的斜率的乘积为的斜率的乘积为 求求|OP|OP|2 2+|OQ|+|OQ|2 2的值的值.22xy1259+=1xx5:1yy3 ，22xy1164+=，1,4【解题探究【解题探究】1.1.如何求椭圆变换后的曲线方程？如何求椭圆变换后的曲线方程？2.2.如何设直线如何设直线OPOP，OQOQ的方程？如何通过伸缩变换转化为圆的的方程？如何通过伸缩变换转化为
31、圆的问题？问题？探究提示：探究提示：1.1.设椭圆上的点的坐标以及变换后对应点的坐标，利用代入设椭圆上的点的坐标以及变换后对应点的坐标，利用代入法求变换后的曲线的方程，再计算面积法求变换后的曲线的方程，再计算面积.2.2.可以设直线可以设直线OPOP的斜率；确定点的坐标的伸缩变换公式，将的斜率；确定点的坐标的伸缩变换公式，将椭圆转化为圆的问题解决，注意可逆变换的应用椭圆转化为圆的问题解决，注意可逆变换的应用.【解析【解析】1.1.设椭圆设椭圆 上任意一点的坐标为上任意一点的坐标为P(x,yP(x,y)，按按变换后的对应点的坐标为变换后的对应点的坐标为P(x,yP(x,y)，由由 得得 代入椭圆
32、方程，代入椭圆方程，得得 即即xx2 2+y+y2 2=1=1，圆的半径为，圆的半径为1 1，所以圆，所以圆的面积为的面积为.答案：答案：22xy1259+=1xx5:1yy3 ，x5x:y3y，22(5x)(3y)1259+=，2.2.方法一：参数法方法一：参数法设直线设直线OPOP的方程为的方程为y=kx(k0)y=kx(k0)，代入椭圆代入椭圆C C：x x2 2+4y+4y2 216=016=0，得，得x x2 2=所以所以由于直线由于直线OPOP，OQOQ的斜率的乘积为的斜率的乘积为故直线故直线OQOQ的方程为的方程为2164k1+，2222216k16OPxy.4k1+=+=+1,
33、4-()1yx k04k=，用用 代换代换k k，得，得所以所以14k22222116()1664k44kOQ14k14()14k+=+，22222(16k16)(64k4)OPOQ4k1+=+2220(4k1)20.4k1+=+方法二：伸缩变换法方法二：伸缩变换法设设P(xP(x1 1,y,y1 1)，Q(xQ(x2 2,y,y2 2)在椭圆上在椭圆上,根据椭圆方程根据椭圆方程 令令得到圆得到圆O:xO:x2 2+y+y2 2=4.=4.由题意，得由题意，得因为对应点因为对应点P(xP(x1 1,y,y1 1)，Q(xQ(x2 2,y,y2 2)在圆在圆O O上，满足上，满足22xy1164
34、+=，xx,:2yy.12OPOQ12y y1kk.x x4=1212OPOQ1212y y4y ykk1x xx x=，所以所以OPOQOPOQ，如图，由全等三角形的性质，易得，如图，由全等三角形的性质，易得所以所以22221221x y x y.=，2222221122OPOQxyxy+=+2222112222222211221222114xy4xy(xy)(xy)3(xx)443(xy)441220.=+=+=+=+=【互动探究互动探究】1.1.本题本题1 1若将椭圆若将椭圆 按按变换后的圆的面积为变换后的圆的面积为99，求，求和和的值的值.2.2.本题本题2 2中，椭圆中，椭圆 如何求
35、椭圆内所有斜率为如何求椭圆内所有斜率为2 2的弦的中点的轨迹方程？的弦的中点的轨迹方程？22xy1259+=xx0:yy0 ，22xyC:1164+=，【解析【解析】1.1.设椭圆设椭圆 上任意一点的坐标为上任意一点的坐标为P(x,yP(x,y)，按按变换后的对应点的坐标为变换后的对应点的坐标为P(x,yP(x,y)，由由 得得代入椭圆方程，得代入椭圆方程，得依题意，得依题意，得25252 2=9=92 2=9=9，解得解得22xy1259+=xx:yy ，1xx:1yy，2222xy1259，3,1.5 2.2.方法一：伸缩变换法方法一：伸缩变换法根据根据 令令得到圆得到圆O:xO:x2 2
36、+y+y2 2=4.=4.设椭圆内斜率为设椭圆内斜率为2 2的弦所在直线的方程为的弦所在直线的方程为y=2x+by=2x+b，在变换，在变换作作用下得到直线用下得到直线y=4x+by=4x+b，显然，圆，显然，圆O O的这些平行弦的中点在的这些平行弦的中点在直线直线l:上，代入圆上，代入圆O O的方程，解得的方程，解得 按照变换按照变换直线直线l:变换前的方程为变换前的方程为l:且且 得得 所以椭圆内所有斜率为所以椭圆内所有斜率为2 2的的弦的中点的轨迹方程为弦的中点的轨迹方程为22xy1164+=，xx,:2yy.=j=1yx4=8x17=，1yx4=1yx8=，x8x217=，16x17=
37、，116 1716 17yx(x).81717=016)0，得得22xy1164+=，2 17b2 17.设椭圆内斜率为设椭圆内斜率为2 2的弦的端点坐标为的弦的端点坐标为P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2)，中点坐标为中点坐标为P(x,yP(x,y)，由题意，得，由题意，得 消去消去b b，得，得由由得得所以椭圆内所有斜率为所以椭圆内所有斜率为2 2的弦的中点的轨迹方程为的弦的中点的轨迹方程为12xx8bx217+=，by2xb17=+=，1yx8=，2 17b2 17，16 178b16 17x171717=，116 1716 17yx(
38、x).81717=xx,ayyb=，(2)(2)一般情况下，解决直线与椭圆的位置关系等问题时，我一般情况下，解决直线与椭圆的位置关系等问题时，我们需要联立方程组求解，或者利用根与系数的关系求解得到们需要联立方程组求解，或者利用根与系数的关系求解得到x x1 1+x+x2 2，x x1 1x x2 2的值，这种方法较为烦琐，计算量较大，这时，的值，这种方法较为烦琐，计算量较大，这时，可把椭圆变成圆，利用圆的一些重要性质来解决一些复杂问可把椭圆变成圆，利用圆的一些重要性质来解决一些复杂问题题.(3)(3)由于曲线的伸缩变换具有可逆性，再由直线与圆的位置关由于曲线的伸缩变换具有可逆性，再由直线与圆的
39、位置关系就可以转化为直线与椭圆的位置关系上来了系就可以转化为直线与椭圆的位置关系上来了.比如，容易得到过圆比如，容易得到过圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2上一点上一点P(xP(x0 0,y,y0 0)的圆的切线方程的圆的切线方程为为x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2.(4)(4)伸缩变换在解决与椭圆有关的角度和弦长问题时，一般通伸缩变换在解决与椭圆有关的角度和弦长问题时，一般通过变换公式建立变换前后点的坐标的联系过变换公式建立变换前后点的坐标的联系.【易错误区【易错误区】不能准确应用伸缩变换公式而致误不能准确应用伸缩变换公式而致误 【典例【典例】将曲线将曲线 按照按照
40、变换为曲线变换为曲线 则曲线则曲线y=cosy=cos 4x 4x在在变换后的曲变换后的曲线的最小正周期为线的最小正周期为_，最大值为，最大值为_._.y3sin(2x)3p=+xx0:yy0 ，ysin(x)3p=+，【解析【解析】由由 得得将曲线将曲线 按照按照 变换为曲线的方程为变换为曲线的方程为由题意，得由题意，得3=1,3=1,故故则曲线则曲线y=cosy=cos 4x 4x在在变换后的曲线的方程为变换后的曲线的方程为所以变换后的曲线的最小正周期为所以变换后的曲线的最小正周期为，最大值为，最大值为 .答案：答案：xx0:yy0=ll j=mm ，1xx0:1yy0=l lj=m m，
41、y3sin(2x)3p=+xx0:yy0=ll j=mm ，2y3 sin(x)3p=m+l，21=l，.12,3l=m=1ycos 2x3=，1313【误区警示【误区警示】【防范措施【防范措施】1.1.明确变换前后点的坐标表示明确变换前后点的坐标表示曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的现的,解题时需要区分变换前的点解题时需要区分变换前的点P P的坐标的坐标(x,y(x,y)与变换后的点与变换后的点PP的坐标的坐标(x,y(x,y),),再利用伸缩变换公式建立联系即可再利用伸缩变换公式建立联系即可.2.2.将伸缩变换公式进
42、行灵活变形将伸缩变换公式进行灵活变形若由曲线若由曲线f(x,yf(x,y)=0)=0求经过伸缩变换公式求经过伸缩变换公式xx0:yy0=ll j=mm ，变换后的曲线方程变换后的曲线方程,需将需将变形为变形为代入代入f(x,yf(x,y)=0)=0即得即得f(x,yf(x,y)=0)=0，如本例将，如本例将变形后代入变形后代入f(x,yf(x,y)=0)=0，再由相等函数求得参数的值；，再由相等函数求得参数的值；若由伸缩变换公式若由伸缩变换公式 以及变换后的曲线方程以及变换后的曲线方程f(x,yf(x,y)=0,)=0,求变换前的曲线方程，直接将求变换前的曲线方程，直接将代入代入f(x,yf(
43、x,y)=0)=0即得即得f(x,yf(x,y)=0.)=0.1xx01yy0=l l=m m，xx0:yy0=ll j=mm ，【类题试解【类题试解】将曲线将曲线 按照按照变换后的曲线的最小正周期与最大值分别为变换后的曲线的最小正周期与最大值分别为()()A.A.，B.4B.4，C.2C.2，3 D.43 D.4，6 6 y2sin(x)3p=+x2x:y3y=j=，2332【解析【解析】选选D.D.由由 得得代入代入 得得即即 所以变换后的曲线的最小正周期为所以变换后的曲线的最小正周期为44，最大值为，最大值为6.6.x2x:y3y=j=，1xx,2:1yy,3=j=y2sin(x)3p=
44、+，11y2sin(x)323p=+，1y6sin(x)23p=+，1.1.下列各点中与点下列各点中与点A(1A(1，1)1)，B(2B(2，3)3)三点共线的是三点共线的是()()A.(0A.(0，1)B.(11)B.(1，0)0)C.(C.(1 1，0)0)D.(0D.(0，1)1)【解析【解析】选选D.D.直线直线ABAB的方程为的方程为y=2xy=2x1,1,验证知选验证知选D.D.2.2.以以A(1,2)A(1,2)，B(3,4)B(3,4)，C(3,2)C(3,2)为顶点的三角形是为顶点的三角形是()()A.A.直角三角形直角三角形 B.B.等边三角形等边三角形C.C.锐角三角形锐
45、角三角形 D.D.等腰直角三角形等腰直角三角形 【解析【解析】选选D.D.因为因为所以所以ABCABC为等腰直角三角形为等腰直角三角形.22AB(1 3)(2 4)2 2=+=，2222222AC(1 3)(2 2)2BC(3 3)(4 2)2ACBCABACB90=+=+=+=，3.3.将曲线将曲线 按按 变换后得到曲线的最变换后得到曲线的最小正周期与最大值分别为小正周期与最大值分别为()()A.A.，2 B.22 B.2，2 2C.C.，D.2D.2，【解析【解析】选选D.D.将曲线将曲线 按按 变换后得变换后得到曲线方程为到曲线方程为 故最小正周期与最大值分别为故最小正周期与最大值分别为
46、22，.ysin(2x)4p=+x2x:2yy=j=，1212ysin(2x)4p=+x2x,:2yy=j=1ysin(x)24p=+，124.4.将曲线将曲线y=y=4x4x2 2按按 变换后得到曲线的焦点坐标变换后得到曲线的焦点坐标为为_._.【解析【解析】将曲线将曲线y=y=4x4x2 2按按 变换后得到曲线方程变换后得到曲线方程为为xx2 2=4y4y，所以焦点坐标为，所以焦点坐标为(0,(0,1).1).答案：答案：(0,(0,1)1)x2x,:4yy=j=x2x,:4yy=j=5.5.已知已知A(A(2,3),B(0,1),2,3),B(0,1),则线段则线段ABAB的垂直平分线的
47、方程为的垂直平分线的方程为_._.【解析【解析】由由A(A(2,3),B(0,1),2,3),B(0,1),得线段得线段ABAB的中点为的中点为(1,2)1,2)，k kABAB=1 1，所以线段，所以线段ABAB的垂直平分线的斜率为的垂直平分线的斜率为1 1，所以所求方程为所以所求方程为y=x+3y=x+3，即，即x xy+3=0.y+3=0.答案：答案：x xy+3=0y+3=06.6.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换变换 后的图形后的图形.(1)3x+5y(1)3x+5y2=0.(2)x2=0.(2)x2 2+y+y
48、2 2=1.=1.【解析【解析】(1)(1)由伸缩变换公式由伸缩变换公式 得得代入代入3x+5y3x+5y2=02=0，得，得x+yx+y2=02=0，这是过这是过(2(2，0)0)且斜率为且斜率为-1-1的直线的直线.x3x,y5y=x3xy5y.=，1xx,31yy,5=(2)(2)将将 代入代入x x2 2+y+y2 2=1=1，得，得这是以这是以F F1 1(0,(0,4),F4),F2 2(0,4)(0,4)为焦点，长轴长为为焦点，长轴长为1010的椭圆的椭圆.1xx,31yy5=22xy1925+=，ppt课件下载站()专注免费ppt课件下载致力提供ppt课件免费下载,教案,试卷,教学论文.doc等教学资源服务教师群号 46332927(小学)56954784(中学)QQ 904007915
