1、1/6/20231第七章 状态空间分析法1/6/20232n时间响应n状态转移矩阵 n状态转移矩阵（矩阵指数）的运算n系统的能控性和能观测性n对偶原理n能控性和能观测性与传递函数的关系1/6/202337.1 引言 用状态空间法对线性系统进行定量和定性的分析。定量分析给出系统对给定输入响应的解析表达式，讨论状态转移矩阵的性质和计算方法。定性分析讨论线性系统的能控性和能观测性及稳定性。7.2 时间响应与状态转移矩阵一、状态方程的求解（时间响应）及状态转移矩阵的性质：线性定常连续系统的状态方程为：，给定初值 和输入 ，要求确定状态变量的未来的变化。即求出 -时间响应。uBxAx)0(x)(tu)(
2、tx1/6/20234两端拉氏变换得：，整理得：)()()0()(sbUsaXxssX)()0()(suasbasxsX拉氏反变换得：ttaatdbuexetx0)()()0()(这里用到了拉氏变换的卷积性质:若tdftftftftfsFsFsF0212121)()()(*)()(),()()(则式中，kkattkatataate!3!213322回忆标量方程：（初值为 ）的求解：)()()(tbutaxtx)0(x1/6/20235同样，对于状态方程，两边求拉氏变换得：)()0()()(),()()0()(sUBxsXAsIsUBsXAxsXs两边左乘 得：1)(AsI)()()0()()(
3、11sUBAsIxAsIsX)()()0()()(1111sUBAsILxAsILtx参考右边的标量式：32211xaxaxax上式右边是等比级数之和（初值=，）。其和为x1xaq ax1我们也可以将 写成上述形式：1)(AsIkksAsAsAsIAsI3221)(1/6/20236那麽，t AkkektAtAtAt AIAsIL!3!2)(332211ttAt AduBexetx0)()()0()(它由两部分组成：一部分是由初始状态 引起的自由解，也叫零输入解，即是齐次方程 的解，。另一部分是由输入 引起的强迫解。也叫零状态解，即 时的解。)0(x)()(txAtx)0()(xetxt A0
4、)0(x)(tu若初始时刻为 ，可以不加证明的说明如下：0ttttAttAduBexetx00)()0()()()(我们称 为状态转移矩阵，或叫矩阵指数。它是维方阵。)(00)(ttAettnnttduBtxtttx0)()()0()()(0方程 称为状态转移方程。1/6/20237 表明了系统从初始状态 到任意状态 的转移特征。它只取决于状态阵 而与输入 无关。)(0tt)(0tx)(NtxA)(tu讨论齐次方程 ，的解：)()(00txtxtt)()(txAtx)()()(00txtttx，则有：)()()(0022txtttx)(0tx)(12tt)(02tt)(2tx)(01tt)(1
5、tx如上图，若将 看作 的初值，则有：)()()()()()(001121122txtttttxtttx)(1tx)(2tx所以，它表示了随着时间 的推移，状态的转移过程。状态可以在时间轴上分段。)()()(011202ttttttt1/6/20238转移矩阵的性质：q对于任意的 方阵 ，恒有 ，式中，为标量。可以用定义证明之。nnA)(tAAt Aeeet,q ，用定义证明。IeeAttA0)(q矩阵指数 总是非奇异的，即其逆存在，且 。证明：t Aet At Aee1)(IeeeteeeAAtt AtAAt A0)(，有，令t At Aee1)(同样，)()()(010)()(1)(000
6、tttteeettAttAttA1/6/20239q对于矩阵指数 ，有：t AeAeeAdtdet At At A，可以用定义证明。用途：对于齐次方程 ，有：)(|)(,00txtxxAxtt)()()(00txtttx)()()()()()(0000txttAtxAtxtttx)()(00ttAttAIAAtt)0()0(,0有令由此性质可以看出:已知矩阵指数 可求 ，方法为：A0|)(0ttttA1/6/202310q对方阵 ，当nnnnBA,tBt AtBAeeeABBA)(时，有tBt AtBAeeeABBA)(时，q若有n阶方阵 ，及n阶非奇异阵 ，且 ，则：。APBPAP11PeP
7、etBt A上面性质告诉我们：若求 较复杂，而求 简单时，可用此法。比如可以令 t AetBe)()(约当阵或对角阵JBB1/6/202311状态和矩阵指数的关系：当没有输入时（），有：0)(tu)()()(00txtttxq给定 及一组 ，可求出 。)(t)(0tx)(txq给定两组 及 ，可求出 。)(t)(0tx)(tx例7-2-1已知某二阶系统齐次状态方程为：，其解为：)()(txAtxttttttteeteetxxeetxx2)(11)0(,2)(12)0(时，时，试求矩阵指数 。)(t解：设 ，则：22211211)(t)0()0()()(212221121121xxtxtx1/6
8、/2023121121222221121122211211ttttttteeteeee及即由上述四个方程可以解出21,21,jiij也可以写成下列形式：11122222211211ttttttteeeteee则：122211211111222ttttttteeeteee1/6/202313例7-2-2：已知：，求 。11)0(,22222222xeeeeeeeeettttttttt A)(tx解：ttttttttttt Aeeeeeeeeeextxetx222222112222)0()()0()(1/6/202314二、矩阵指数的计算：q直接级数求和法：，适用于数值运算。0!kkkt AkAt
9、eq拉氏变换法：11)()(AsIett AL例7-2-3：若 ，求：3210At Ae解：,321ssAI s)2)(1(321|ssssAI s,213)(*ssAI s。ssssAI s213)2)(1(1)(11/6/202315ttttttttt AeeeeeeeessssssssLe2222122222211221221112112q 标准型法（特征值，特征向量法）：这个方法是根据 的性质而得到的：若 ，则：，可以分为两步求解：t AeBPAP11PePetBt A1/6/202316b、如何求解 或 。tet Jea、取适当的变换阵 ，使 （对角阵）或 （约当阵）。当 有互异特征
10、根时，可化为 ；当 有相同特征根时，只能化为 ；关于 的求法已在上面介绍过了。PPAP1JPAP1AAAJP下面根据四种情况分别说明：、有互异特征根，则 ，若对角阵为：PAP1ttttnneeee000000,0000002121则：A1/6/202317证明：tttkknkkkknnkktneeetktktkttttttItktttIe21!1!1!1!21!21!21!1!31!2121222222212133221PePett A：有根据矩阵指数的性质，1/6/202318、有全重特征根，则 ，若约当阵为：JPAP11222121000001000!2100)!2(!210)!1(!21
11、0010001PePetttntttnttteeJt Jt Anntt J，所以，则，：A1/6/202319、当 中有m个重特征根 ，n-m个互异根 时，可化为：1nmm,21AA111PeeePetttJt Anm则：,111nmJPAP1111111J式中：1/6/202320 中有 个重根 ，个重根 ，其余互异根 时。、A1m2m12nmm121nmmJJPAP121121112111PeeeePetttJtJt Anmm依次类推。1/6/202321例7-2-4：设 ,求3210At Ae解：的特征方程：A0321,0即AI解得：2,121同理，当 时，求得：22212P转换阵：11
12、12,1|,211121PPPPP11,32101211121112111PPPPPPP取即：求特征向量：当 时，有 ，为对应的特征向量。11111PPA1P1/6/20232211121PPP那麽tttttttttttt AeeeeeeeeeooePePe2222212222111221111/6/202323例7-2-5：设 求,452100010At Ae2,1,04521001,0321解得：AI所以 不能选范德蒙阵。P解：是可控标准型，我们以前讲过，当特征根互异时，转换成对角阵的转换阵 是范德蒙矩阵。我们先求特征根。AP1/6/202324求 时的特征向量：设为 121)2(1)1(
13、1,PP111452100010,0)()1(1312111312111)1(11PPPPPPPPAI：得由同理，由 ，得：。求 时的特征向量：，得 )1(1)2(11)(PPAITP)101()2(1230)(33PAI由TP4213411201111P转换阵1/6/20232512110000101,21011PetePPePeJPAPttt Jt A：则1/6/202326q凯莱哈密尔顿法（待定系数法）：凯莱哈密尔顿定理：设 阶方阵 的特征多项式为：nA。：。oIaAaAaAoAfaaaafnnnnnnnn0111012211)(,)(即有成立则。，。：的线性组合来表示都可由也就是说由此
14、知121121,),(AAAAAAAAfAnnnnnnn。：，1)()()(!1110nAtAtItetAkt AIent Akkt A可表示为因此1/6/202327当 有互异的特征根 时，有：An,1tttnnnnnnnneeettt211121222211211110111)()()(上述定理可由凯莱-哈密而顿定理证明（略）。当 有重特征根时，较繁，略去。A1/6/202328例7-2-6：设 ，求 。t Ae3210A解：21032121，：，得由AItttttttteeeeeeeett2222110211122111)()(：则AeeIeeettttt A)()2(221/6/202
15、329q 信号流图法：为了避免矩阵求逆的运算，可以根据状态方程，画出信号流图，再用梅逊公式求出矩阵指数 。)(t 因 只与 阵有关，因此讨论 的解：)(tA)0()()(xttx)()(txAtx，其拉氏变换为：)0()()(xssx以二阶系统为例说明：)0()()0()()()0()()0()()()0()0()()()()()(222121221211112122211211xsxssxxsxssxxxsssssx上式中，表示以 为输入，为输出的传递函数。在信号流图上可以用梅逊公式求 和 之间的传递函数 ，即可得出 ，进而求出 。)(sij)0(jx)(sxi)0(jx)(sxi)(sij
16、)(s)()(1sLt1/6/202330例7-2-7：状态方程为：)0(1)1.5.2(1121221xxLRxLxuCxCx初值见例解：两边求拉氏变换得：)()(1)0()()(1)(1)0()(2122211sxLRsxLxssxsuCsxCxssx)()(1)0()()(1)0()(,0)(2122211sxsLRsxsLsxsxsxCssxsxsu则有令1/6/202331233)0()()(231)31(1)0()(31,231,1,)0()(2111121111112111111sssxsxsssssxsxsssppsxsx故：式中，：)(),0(:)(1111sxxs输出为输入
17、为求信号流图为：令21,1,3CLR1s1s1123)(1tx)(2tx)(1tx)(2tx 1sx)0(1sx)0(2)(2sx)(1sxssxssxsxsxsxssxsx)(3)()0()()(2)0()(21222111/6/202332)(),0(:)(1212sxxs输出为输入为求232)0()()(231121)0()(1,2,231,)0()(2211221221212212221ssxsxsssssxsxspsspsxsx，故：式中：)(),0(:)(2121sxxs输出为输入为求231)0()()(1,)0()(212213133312ssxsxssppsxsx：式中1s1s1123)(1tx)(2tx)(1tx)(2tx 1sx)0(1sx)0(2)(2sx)(1sx1/6/202333)(),0(:)(2222sxxs输出为输入为求23)0()()(1,1,)0()(22222444422sssxsxsppsxsx：式中ttttttttt AeeeeeeeesLesssss222212222112112222)(231123)(：所以有1/6/202334小结n时间响应状态转移方程n状态转移矩阵及其性质n状态转移矩阵（矩阵指数）的运算
