1、学习目标1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线 定理.（重点）2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.(重点）问题 平行四边形的性质和判定有哪些？导入新课导入新课复习引入ABCD边：角：对角线：BODACABCD,ADBCAB=CD,AD=BCABCD,AD=BCBAD=BCD，ABC=ADCAO=CO,DO=BO判定性质我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧.思考 如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？讲授新课讲授新课三角形的中位线定理一概念
2、学习定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE.则线段DE就称为ABC的中位线.问题1 一个三角形有几条中位线？你能在ABC中画出它所有的中位线吗？DEF有三条，如图，ABC的中位线是DE、DF、EF.问题2 三角形的中位线与中线有什么区别？中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段.问题3：如图，DE是ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？DE两条线段的关系位置关系数量关系分析：DE与BC的关系猜想：DEBC？12DEBC 度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论问题4：
3、平行角平行四边形或线段相等一条线段是另一条线段的一半倍长短线分析1：DE猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半 问题3：如何证明你的猜想？分析2：DE互相平分构造平行四边形倍长DE证明：DE延长DE到F，使EF=DE连接AF、CF、DC AE=EC，DE=EF，四边形ADCF是平行四边形F四边形BCFD是平行四边形，CF AD,/CF BD,/12DEDF 又 ，DF BC/DEBC，12DEBC 证一证1.2DEBCDEBC，DE证明：延长DE到F，使EF=DEF四边形BCFD是平行四边形ADECFEADE=F连接FCAED=CEF，AE=CE，证法2：，AD=CF,BD
4、 CF/12DEDF又 ，DF BC/DEBC，12DEBCCF AD,/三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半DEABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，则DEBC，DE=BC12三角形中位线定理：符号语言：归纳总结DEF重要发现：中位线DE、EF、DF把ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE和BDEF，四边形BFED和CFDE，四边形ADFE和DFCE.顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.由此你知道怎样分蛋糕了吗典例精析 例1 如图，在ABC中，D、E分别为AC
5、、BC的中点，AF平分CAB，交DE于点F.若DF3，求AC的长解：D、E分别为AC、BC的中点，DEAB，23.又AF平分CAB，13，12，ADDF3，AC2AD2DF6.123 例2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，ABD=20，BDC=70，求PMN的度数解：M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，PN，PM分别是CDB与DAB的中位线，PM=AB，PN=DC，PMAB，PNDC，AB=CD，PM=PN，PMN是等腰三角形，PMAB，PNDC，MPD=ABD=20，BPN=BDC=70，MPN=MPD+(180NPB)=130，PMN=(1
6、80130)2=251212 例3 如图，在ABC中，ABAC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BDAB，求证：CD2CE.证明：取AC的中点F，连接BF.BDAB，BF为ADC的中位线，DC2BF.E为AB的中点，ABAC，BECF，ABCACB.BCCB，EBCFCB,CEBF，CD2CE.F 恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键归纳练一练1.如图，ABC中，D、E分别是AB、AC中点（1）若DE=5，则BC=（2）若B=65，则ADE=（3）若DE+BC=12，则BC=106582.如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC
7、的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离为_mNM40例4 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点求证：四边形EFGH是平行四边形四边形问题连接对角线三角形问题（三角形中位线定理）三角形的中位线的与平行四边形的综合运用二分析：证明:连接AC.E,F,G,H分别为各边的中点,EFHG,EF=HG.EFAC,HGAC,四边形EFGH是平行四边形.顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.归纳【变式题】如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点求证：四边形EFGH为平行四边形.证明：如图，连接BD.E、F、G、H分别为四边形AB
8、CD四边之中点，EH是ABD的中位线，FG是BCD的中位线，EHBD且EH=BD，FGBD且FG=BD，EHFG且EH=FG，四边形EFGH为平行四边形.1212证明：D、E分别为AB、AC的中点，DE为ABC的中位线，DE BC，DE=BC.CF=BC，DE=FC；1212例5 如图，等边ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF（1）求证：DE=CF；12例5 如图，等边ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF（2）求EF的长解：DEFC，DE=FC，四边形DEFC是平行四边形，DC=EF
9、，D为AB的中点，等边ABC的边长是2，AD=BD=1，CDAB，BC=2，EF=DC=312练一练1.如图，在ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为 （）A.8 B.10 C.12 D.16 D2.如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求DOE的周长解：ABCD的周长为36，BC+CD=18点E是CD的中点，OE是BCD的中位线，DE=CD，OE=BC，DOE的周长为OD+OE+DE=（BD+BC+CD）=15，即DOE的周长为15121212当堂练习当堂练习2.如图，在 ABCD中，
10、AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于 （）A.2 B.3 C.4 D.5 1.如图，在ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点若EF的长为2，则BC的长为 （）A.1 B.2 C.4 D.8 第2题图第1题图CC3.如图，点 D、E、F 分别是 ABC 的三边AB、BC、AC的中点.（1）若ADF=50，则B=；（2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，则 DEF的周长为 .5015ABCDFE4.在ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、BD、AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是 .ABDCEFGH115.如图，在ABC中，AB=6cm，AC
11、=10cm，AD平分BAC，BDAD于点D，BD的延长线交AC于 点F，E为BC的中点，求DE的长解：AD平分BAC，BDAD，AB=AF=6，BD=DF，CF=AC-AF=4，BD=DF，E为BC的中点，DE=CF=2126.如图，E为 ABCD中DC边的延长线上一点，且CEDC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论解：ABOF，AB2OF.证明如下：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，OAOC，BAFCEF，ABFECF.CEDC，ABCE,ABFECF(ASA)，BFCF.OAOC，OF是ABC
12、的中位线，ABOF，AB2OF.7.如图，在四边形ABCD中，ACBD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长解：取BC边的中点G，连接EG、FGE，F分别为AB，CD的中点，EG是ABC的中位线，FG是BCD的中位线，又BD=12，AC=16，ACBD，EG=8，FG=6，EGFG，EGAC,FGBD,G课堂小结课堂小结三角形的中位线三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半三角形的中位线定理三角形的中位线定理的应用学习目标1.掌握二次根式的混合运算的运算法则.（重点）2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.（难点）导入新课导入新课问题1 单项式与多项式、多
13、项式与多项式的乘法法则法则分别是什么?问题2 多项式与单项式的除法法则是什么?m(a+b+c)=ma+mb+mc；(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb复习引入(ma+mb+mc)m=a+b+c分配律 单多 转化 前面两个问题的思路是：思考 若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？单单 讲授新课讲授新课 二次根式的混合运算及应用一 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.例1 计算：18+3624 23 62 2（）（）；（）（）；解：18+3686+36（）（）4 3+3 2.24 2
14、3 62 24 22 23 62 2（）（）323.2 二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.归纳3(23)(25).（）23(23)(25)25 2+3 215（）（）解：132 2.此处类比“多项式多项式”即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.(1)32327+63（）；06(2)20163+312.2（）-633 336 解：(1)原式3 3.(2)原式1+2 333 32.【变式题】计算：有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.归纳例2 甲、乙两
15、个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横断面设计为上底宽 ，下底宽 ，高 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方(即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积路基的长度)为多少立方米呢？62m42m6m4 2m6m6 2m典例精析解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为：14 26 265002 23 2650025 2650035000 3 m.答：这段路基的土石方为35000 3m.计算：3 1 6 2 2 2+2 1 28-()()；().().3=6228 -3=6 228 -.3=2 323=32 -3 1 6 28()()-2
16、2+2 1 2 ()()-=2 2 2+222 -=2 2 2+2 2 -.=2 -：解解练一练问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些?平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.利用乘法公式进行二次根式的运算二问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?整式的乘法公式就是多项式多项式前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用哟例3 计算：21(53)(53);(2)(32).（）2253（）（）解：1(53)(53)（）532.2(2)(32)223232+2（）34 3+474 3.典例精析(
17、3)3 248184 3;32(4).aa babaabab 解：30.3 24 33 24 3(3)3 248184 3223 24 3.baabaababababaab32(4)aa babaabab 进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.归纳【变式题】计算：2018201812 232 23;（）（）（）20172019322-3232.2（）（）（）解：(1)原式20182 232 2+3=（）（）20181=（）1.=(2)原式201723 2-323 2322（）（）（）201
18、717+4 33（）7+4 337+3 3.计算：2(1)2 2-1(2)2-35723.；(2)2-35723 2(1)2 2-1 ：解解 练一练2-32357 57 222 21 22 21 94 2.57.先用乘法交换律，再用乘法公式化简.求代数式的值三 例3 已知 试求x2+2xy+y2的值.3 1,3 1,xy解：x2+2xy+y2=（x+y)2把 代入上式得3 1,3 1,xy原式=23+1+31（）（）22 312.（）32,32xy解:，x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy(x+y)2-2xy32,32xy32322 3,xy 3232321,xy 212 32 110.【
19、变式题】已知 ，求x3y+xy3.用整体代入法求代数式值的方法：求关于x,y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求x+y,xy,x-y,等的值，然后将所求代数式适当变形成知含x+y,xy,x-y,等式子，再代入求值.归纳xyxy在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如:575777357拓展探究思考 如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如：等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？21,32根据整式的乘法公式在二次根式中也适用，你能想到什么好方法吗？例4 计算:141;2.3251（）（）解:1321132.323232（）
20、4514514251.4515151（）分母形如 的式子，分子、分母同乘以 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.归纳m an bm an b【变式题】已知 ,求 .11,5252ab222ab解:15252,525252a15252,525252b222222ababab2525225252220222 5.解决二次根式的化简求值问题时，先化简已知条件，再用乘法公式变形、代入求值即可.归纳已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值.10解：31043,103.ab22ab练一练6 1010.223(103)3103310310610当堂练习当堂练习1.下列计算中正确的是（）1
21、A.3(3)33B.(12-27)31 1C.32222D.3(23)62 3B2.计算：22+324.（）5 3.设 则a b(填“”“”“”或 “=”）.,1103103ab，=4.计算：;11(1)3222(2)23 2-3 ；(1)3222 解：4 222 5 22 5.11(2)23 2-3 2-32323 2-323 2-3 423 2-3 2244.2-3 (3)333-3 ；(4)3102-5 ;22=33 =93=6解：原式.201(5)313+1+-2+83（）（）（）.29+1+2 2解：原式6+2 2.5.在一个边长为 cm的正方形内部，挖去一个边长为 cm的正方形，求
22、剩余部分的面积.(6 155 5)(6 155 5)解：由题意得22(6 155 5)(6 155 5)即剩余部分的面积是2600 3cm.(6 155 5)(6 155 5)(6 155 5)(6 155 5)212 15 10 5600 3(cm).6.(1)已知 ，求 的值；31x 223xx解：x2-2x-3=(x-3)(x+1)31331 1 32321.(2)已知 ，求 的值.5151,22xy22xxyy解：51515,22xy51511,22xy2222514.xxyyxyxy 6.阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：2
23、31方法一：2231231231;31313131方法二：313123 131.313131能力提升：535325353.535353(1)请用两种不同的方法化简：(2)化简：2;5322253253253;53535353解：(1)1111.4264862018201614264862018201621111(2)42648620182016120182.2课堂小结课堂小结二次根式混合运算乘法公式化简求值分 母 有 理 化化简已知条件和所求代数式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
