1、3.103.11 取样与取样定理取样与取样定理*时间取样与空间取样的实例演示时间取样与空间取样的实例演示:本次课讨论的内容为样的类比四、时域取样和频域取内插公式三、连续信号的恢复二、取样定理一、信号的时域取样)(模模拟拟语语音音信信号号输输入入反混迭失真反混迭失真滤波器滤波器取取样样量量化化码码化化器器PCM数数字字语语音音信信号号输输出出比特流的数字信号模拟信号变成目的:pulse code modulation(PCM)Mpeg audio layer3(mp3)计算机声卡的波形音频如:DA/转换器DA/处理器数字信号转换器AD/入输号信拟模出输号信拟模数字信号处理系统简单框图数字信号处理
2、系统简单框图一一.取样的目的及所遇到的问题取样的目的及所遇到的问题样取化量问题问题:1)取样后离散信号的频谱是什么样的？它与未被取样的连续信号的频谱有什么关系？2)连续信号被取样后，是否保留了原信号的所有信息？即在什么条件下，可以从取样的信号还原成原始信号？连续连续离散离散取样取样还原还原(有条件有条件)取样取样时域时域频域频域自然取样自然取样理想取样（冲激取样）理想取样（冲激取样）(矩形取样矩形取样)低通低通(掌握掌握)带通带通(习题习题3-42)(了解了解)注意区别取样函数注意区别取样函数tttSasin)(二二.时域时域 取样取样取样过程可以看成由原信号取样过程可以看成由原信号f(t)和
3、一个开关函数和一个开关函数p(t)的乘积的乘积来描述。来描述。1)矩形脉冲的取样矩形脉冲的取样(自然抽样自然抽样)此时的抽样脉冲此时的抽样脉冲p(t)是矩形。由于是矩形。由于fs(t)=f(t)p(t)取样信号在取样期间脉冲顶部随取样信号在取样期间脉冲顶部随f(t)变化，故这种变化，故这种采样称为采样称为“自然取样自然取样”。)()()(tptftfs时域取样简图时域取样简图连续信连续信号号f(t)取样脉冲取样脉冲p(t)取样信号取样信号量化量化编码编码数字信号数字信号)(tfs)(数据。取样就是周期性的采集*取样信号频谱推导：取样信号频谱推导：令模拟带限信号傅立叶变换为令模拟带限信号傅立叶变
4、换为 ,即即取样脉冲序列的傅立叶变换为取样脉冲序列的傅立叶变换为设取样为均匀抽样，周期为设取样为均匀抽样，周期为Ts，则取样角频率为，则取样角频率为sssTf22由于由于p(t)是周期信号，可知是周期信号，可知p(t)的傅立叶变换为的傅立叶变换为:)(2)(nsnnPp其中(参看p157)2()(122ssTTtjnsnnSaTEdtetpTPsss)(F)()(Ftf)()(Ptp由频域卷积定理得，时域相乘的傅立叶变换等于它们的频谱在频域里相卷积。)()(21)(PFFs把计算出的 代入上式得：)()2()(snsssnFnSaTEF上式表明:信号在时域被抽样后，它的频谱 是连续信号的频谱
5、以取样角频率 为间隔周期地重复而得到的。在重复过程中，幅度被取样脉冲p(t)的傅立叶系数所加权，加权系数取决于取样脉冲序列的形状。(p157 图350)周期性抽样性)(p)(sF)(Fs由以上推导可知，当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时，幅度以Sa函数的规律变化。从 的频谱图可见抽样后的信号频谱包括有原信号的频谱以及无限个经过平移的原信号的频谱，平移的频率为抽样频率及其各次谐波频率。且平移后的频谱幅值随频率而呈Sa函数分布。)(Fsw1抽样前频谱抽样后频谱)(F)(sFsETsmmm(1)如果取样脉冲宽度与系统中各时间常数相比十分小的如果取样脉冲宽度与系统中各时间常数相比十分小的时候，这个冲激函数的假
6、定将是一个很好的近似，它将使时候，这个冲激函数的假定将是一个很好的近似，它将使分析简化。分析简化。(2)通过冲激取样的方法来表明数字信号在数字信号处理通过冲激取样的方法来表明数字信号在数字信号处理中有着广泛的应用。中有着广泛的应用。(点抽样；均匀抽样点抽样；均匀抽样)mms取样率的选择*mmsf21T2s或结语：取样率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍结语：取样率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍。冲冲激激信信号号矩矩形形脉脉冲冲时时若若0数数：表表示示为为一一系系列列的的冲冲激激函函）冲激抽样）冲激抽样(参看参看p152例例310)若取样脉冲是冲激序列，此时称为若取样脉冲是冲激序列，此时称为
7、“冲激取样冲激取样”或或“理想抽样理想抽样”。设。设Ts为取样间隔，则取样脉冲为为取样间隔，则取样脉冲为)()()(nsTnTtttp由于由于 T(t)的傅立叶系数为的傅立叶系数为:221)(1sssTTstjnwTsnTdtetTP所以冲激取样信号的频谱为：所以冲激取样信号的频谱为：nsssnFTF)(1)(周期单位冲激序列的周期单位冲激序列的FTntjnntjnnnTeTeFnTtt111.)()(1)(12)(11nTtfFTn)()()(11nTntFTF)(t0t)(0F1)1(0)(tT1TtnF00)(F1112121112111TFSFT上式表明：由于冲激序列的傅立叶系数上式表
8、明：由于冲激序列的傅立叶系数Pn为常数，为常数，所以所以 是以是以 为周期等幅地重复，如下图所示：为周期等幅地重复，如下图所示：抽样前信号频谱抽样前信号频谱抽样后信号频谱抽样后信号频谱下面对矩形脉冲抽样和冲激抽样进行比较和下面对矩形脉冲抽样和冲激抽样进行比较和小结：小结：)(F)(sFmmsssT1)(Fs时域理想取样的傅立叶变换时域理想取样的傅立叶变换)(1)(snssnFTF)(tf)(FFT 相卷积相卷积21FT)()(nsTnTttnssnp)()(FT相乘)(2)(snnnPp2)(122ssTTtjnsnnSaTEdtetpTPsss关于非理想取样关于非理想取样)(*)(21)(p
9、FFs)(2)(snsssnFnSaTEF)(1)(snssnFTF理想取样理想取样非理想取样非理想取样)()()(nsTnTtttp)()(snnTtGtpnssnp)()()(2)(snnnPp2ssnnSaTEPsnTP1)(1)(snssnFTF)(2)(snsssnFnSaTEF)(*)(21)(pFFs)(*)(21)(pFFs理想取样自然取样.2.21.2.21.msmsmmsmdSpaceNyquistfTdrateSamplingNyquistfcfTfba至少取样两次，即周期间隔内，分量的全部信息，一个为了保留信号最高频率人为取的。信号本身固有的，性质不同。分量电平的样的重
10、要差别在于频谱矩形脉冲取样和冲激取*结语结语)()()()(.tfjFjFkTfeS唯一唯一唯一唯一低通滤波器f.不满足抽样定理时产生频率不满足抽样定理时产生频率混叠现象混叠现象sT)(sF0)(tf0tsT1ssmm)(1F00ts)(tfsTssT1)(1F0sssT1ms2抽样定理的工程应用)j(F10许多实际工程信号不满足带限条件)j(Hmm10)(tf)(1tf)(th滤波器抗混叠)j(1Fmm10时域抽样定理一个频谱受限的信号 ，如果频谱只占据的范围，则信号 可以用等间隔的抽样值唯一表示。而抽样间隔必须不大于 （其中 ），或者说，最低抽样频率为)(tfmm)(tf2mf2mmf12
11、mf混叠误差与截断误差比较混叠误差与截断误差比较)j(F10T1)j(sFmssm0.)j(sFT1mssm0.)j(1Fmm10三、频域抽样=11F()()()()()()()nFf tnFF 111112F()()()nntnTnT 111111F()()()TntnTt 11111111111=F=F*F()()()*()()nnftFFf ttnTf tnT频域抽样定理：频域抽样定理：若信号 是时间受限信号，它集中在 的时间范围内，若在频域中以不大于 的频率间隔对 的频谱 进行抽样，则抽样后的频谱 可以唯一地表示原信号。mmtt()f t()f t12mt F 1F例题3-12 大致画出图3-53所示周期矩形信号冲激抽样后的信号的频谱解：02()FE Sa101=()()nftftnT1101111122=()()()()()nnFFE SannESan 1()()()sTftftt11112=()()ssmssmnsFFmTEnSamnT 111111F()()()TntnTt 1111111111F=F*F()()()*()()nnFFf ttnTf tnT
