1、 当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内，系统的响应可能出现下列情况：1)系统的自由响应是有界的；2)系统的自由响应是无界的；3)系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定稳定的、不稳定不稳定的和渐进渐进稳定稳定的。显然，如果系统不稳定，则系统的响应是无界的，系统的输出将显然，如果系统不稳定，则系统的响应是无界的，系统的输出将逐渐增加直到损坏系统，或者进入振荡状态。因此，系统稳定是保证逐渐增加直到损坏系统，或者进入振荡状态。因此，系统稳定是保证系统能正常工作的首要条件。系统能正常工作的首要条件。稳定性稳定性是控制系统最基本的性
2、质。是控制系统最基本的性质。李雅普诺夫用李雅普诺夫用范数范数作为状态空间作为状态空间“尺度尺度”的度量。的度量。1.向量的范数向量的范数 定义定义：n维向量空间维向量空间 的范数定义为的范数定义为:(4.1)2.矩阵的范数矩阵的范数 定义定义：mxn矩阵矩阵A的范数定义为的范数定义为:(4.2)Tnxxxx2122221nxxxxnmmnmmnaaaaaaA2111211 (4.3)4.1.2 平衡状态平衡状态 系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系统到达某状态，并且维持在此状态而不再发生变化的，统到达某状态，并且维持在此状态而不再发生变化的，这样
3、的状态称为系统的这样的状态称为系统的平衡状态平衡状态。根据平衡状态的定义可知根据平衡状态的定义可知,连续系统连续系统 的平衡状的平衡状态态 是满足平衡方程是满足平衡方程 即即 的系统状态。离散的系统状态。离散系统系统 的平衡状态，是对所有的的平衡状态，是对所有的k，都满足，都满足平衡方程平衡方程 的系统状态。的系统状态。njmiijaA112)(xfxex0 x 0)(exf)()1(kxfkx),(kxfxee 首先讨论线性系统 的平衡状态。由于平衡状态为 ，因此，当A为非奇异矩阵时，系统只有一个平衡状态 ；当A为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可能有一个平衡状态，对于非
4、线性系统，可能有一个平衡状态，也可能有多个平衡状态也可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以由平衡方程解得。下面举例说明。Axx 0eAx0ex 例例4.1 求下列非线性系统的平衡状态求下列非线性系统的平衡状态 解解 由平衡状态定义，平衡状态由平衡状态定义，平衡状态 应应满足满足:得非线性系统有得非线性系统有三个平衡状态三个平衡状态：,.3221211xxxxxxeexx1Tex201ex03221eeexxxTex001Tex102Tex103 1.稳定稳定 定义定义:如果对于任意给定的每个实数如果对于任意给定的每个实数 ,都都对应存在着另一实数对应存在着另一实数 ,使得从满足不等使得从满足不
5、等式式 的任意初态的任意初态 出发的系统响出发的系统响应应,在所有的时间内都满足在所有的时间内都满足 则称系统则称系统的平衡状态的平衡状态 是是稳定稳定的的.若若 与与 的选取无的选取无关关,则称平衡状态则称平衡状态 是是一致稳定一致稳定的的.00),(0t),(00txxe0 xexxex0texl2.渐近稳定渐近稳定 定义定义：若平衡状态：若平衡状态 是李雅普诺夫意义下稳定是李雅普诺夫意义下稳定的，并且当的，并且当 时，时，,即即 ，则称平衡状态是则称平衡状态是渐进稳定渐进稳定的。的。3.大范围（渐近）稳定大范围（渐近）稳定 定义定义：如果对任意大的：如果对任意大的 ，系统总是稳定的，系统
6、总是稳定的，则称系统是大范围（渐进）稳定的。如果系统则称系统是大范围（渐进）稳定的。如果系统总是渐进稳定的，则称系统是总是渐进稳定的，则称系统是大范围渐进稳定大范围渐进稳定的。的。xetextx)(0)(limetxtx 4.不稳定不稳定 定义定义：如果对于某一实数：如果对于某一实数 ，不论，不论 取多取多小，由小，由 内出发的轨迹，至少有一条轨迹越内出发的轨迹，至少有一条轨迹越出出 ，则称平衡状态为，则称平衡状态为不稳定不稳定.上述定义对于离散系统也是适用的，只是上述定义对于离散系统也是适用的，只是将连续时间将连续时间t理解为离散时间理解为离散时间k。注意注意:稳定性讨论的是系统没有输入（包
7、括稳定性讨论的是系统没有输入（包括参考输入和扰动）作用或者输入作用消失以后参考输入和扰动）作用或者输入作用消失以后的自由运动状态。所以，通常通过分析系统的的自由运动状态。所以，通常通过分析系统的零输入响应零输入响应，或者，或者脉冲响应脉冲响应来分析系统的稳定来分析系统的稳定性。性。0)(s)(s 1.SISO线性定常连续系统稳定的条件线性定常连续系统稳定的条件 设描述设描述SISO线性定常连续系统的微分方程为线性定常连续系统的微分方程为:(4.4)则系统的特征方程为则系统的特征方程为:(4.5)ubububyayayayammnnnn01)(01)1(1)(0)(0111asasasasDnn
8、nn 设特征方程设特征方程(4.5)有有k个实根个实根 ，r对共轭复对共轭复根根 ，则系统的脉冲响应为，则系统的脉冲响应为:(4.6)从上式可以看出：从上式可以看出：1）若）若 ，均为负实部，则有均为负实部，则有 ，因此，因此，当所有特征根的实部都为负时，系统是当所有特征根的实部都为负时，系统是稳定稳定的；的；2）若）若 ，中有一个或者几个为正，则中有一个或者几个为正，则有有 ，因此，当特征根中有一个或者几，因此，当特征根中有一个或者几个为正实部时，系统是个为正实部时，系统是不稳定不稳定的；的；idiijridiidiitkititBtAeeCtyii11)sincos()(ii0)(limt
9、ytii)(limtytl3）若）若 中有一个或者几个为零中有一个或者几个为零,而其它而其它 ，均为负，则有均为负，则有 为常数。若为常数。若 中有一个中有一个或者几个为零，而其它或者几个为零，而其它 、均为负，则均为负，则y(t)y(t)的稳态分量则为正弦函数。因此，当特征根中的稳态分量则为正弦函数。因此，当特征根中有一个或者几个为零，而其它极点均为负实部有一个或者几个为零，而其它极点均为负实部时，系统是一种临界情况，称为时，系统是一种临界情况，称为临界稳定临界稳定的。的。临界稳定在李氏稳定性意义下是稳定的，但在临界稳定在李氏稳定性意义下是稳定的，但在工程上是不允许系统工作在临界稳定状态的，
10、工程上是不允许系统工作在临界稳定状态的，所以，临所以，临界稳定在工程上是不稳定的。界稳定在工程上是不稳定的。结论结论：线性定常连续系统稳定的充分必要条：线性定常连续系统稳定的充分必要条件是，件是，系统的全部特征根或闭环极点都具有负系统的全部特征根或闭环极点都具有负实部，或者说都位于复平面左半部。实部，或者说都位于复平面左半部。l iii)(limtytiii 2.MIMO线性定常连续系统稳定的条件线性定常连续系统稳定的条件 描述描述MIMO线性定常连续系统的状态方程为：线性定常连续系统的状态方程为：（4.7）设设A有相异特征值有相异特征值 ，则存在非奇异线性变，则存在非奇异线性变换换 ，使，使
11、 为对角矩阵，即为对角矩阵，即:非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为:BuAxxn,1xPx A)(11ndiagAPPA)0()()0()(1xeediagxetxtttAn 由于由于 ，所以，原状态方程的，所以，原状态方程的零输入解为零输入解为:(4.8)可见可见 (4.9)将上式展开将上式展开,的每个元素都是的每个元素都是 的线的线性组合，所以可写成矩阵多项式性组合，所以可写成矩阵多项式:xPx1)0()0(1xPx)0()0()(1xexPPetxAttA11)(1PeePdiagPPeetttAAtnAtettnee,1tntnitiAtnie
12、ReReRe111 所以所以 (4.10)从上式可见，当从上式可见，当A A的所有特征值位于的所有特征值位于复平面左复平面左半平面半平面，即，即 ，则对任意，则对任意x(0)x(0)，有，有 ，系统，系统渐进稳定渐进稳定。只要有一只要有一个特征值的个特征值的实部大于零实部大于零，对于，对于 ，系统系统不稳定不稳定。当有特征值的当有特征值的实部等于零实部等于零，而其，而其它特征值的它特征值的实部小于零实部小于零，则随着时间的增加，则随着时间的增加，x(t)趋于常值或者为正弦波，系统是趋于常值或者为正弦波，系统是李雅普诺李雅普诺夫意义下稳定夫意义下稳定的，或者称为的，或者称为临界稳定临界稳定的。的
13、。)0()0()(11xeReRxetxtntAtn0)Re(ini,1 0)(limtxt0)0(x)(limtxt 当当A具有重特征值时具有重特征值时,x(t)含有含有 诸诸项，稳定性结论同上。项，稳定性结论同上。结论结论：MIMO线性定常连续系统稳定的线性定常连续系统稳定的充分必要条件是，充分必要条件是，系统矩阵系统矩阵A的全部特征的全部特征值具有负实部，或者说都位于复平面左值具有负实部，或者说都位于复平面左半部半部。,2ttette 1.SISO线性定常离散系统稳定性条件线性定常离散系统稳定性条件 设线性定常离散系统的脉冲传递函数为设线性定常离散系统的脉冲传递函数为 ，则系统输出的则系
14、统输出的Z变换为变换为：(4.11)现在讨论系统在现在讨论系统在单位脉冲序列离散信单位脉冲序列离散信(R(z)=1)作用下的输出响应序列。作用下的输出响应序列。)(z)()()()()()(zRzzRzNzMzY （1）有个互异的单极点有个互异的单极点 ，。Y(z)可以展成可以展成:相应的脉冲响应序列为相应的脉冲响应序列为:(4.12)如果所有的如果所有的极点极点在在单位圆内单位圆内,即即 ，则则 ，所以所以，系统是系统是渐近稳定渐近稳定的的。)(zipni,2,1niiipzzAzY1)(nikiipAky1)()(0k1ipni,2,1 0)(limkyk 如果其中有如果其中有一个极点一个
15、极点在在单位圆上单位圆上，设，设 ，而其余极点均在单位圆内，则而其余极点均在单位圆内，则 ，所，所以，系统是以，系统是李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定的，又称的，又称临临界稳定界稳定。如果如果有一个或一个以上的极点有一个或一个以上的极点在在单位圆外单位圆外,则则 ，所以，系统是，所以，系统是不稳定不稳定的。的。11p1)(limAkyk)(limkyk （2）有一对共轭复数极点有一对共轭复数极点 对应这一对复数极点的脉冲响应序列是对应这一对复数极点的脉冲响应序列是:由于特征方程是实系数，由于特征方程是实系数，所以，所以，必定是必定是共轭共轭的。的。设设 )(zijiiieppp1,11
16、11,)(iiiiiipzzApzzAZkykiikiipApA)()(110k1,iiAAijiiieAAA1,代入上式得代入上式得:(4.13)由 此 可 见，该 对 复 数 极 点 若 在由 此 可 见，该 对 复 数 极 点 若 在 单 位 圆 内单 位 圆 内（），系统是），系统是渐近稳定渐近稳定的；若在的；若在单位圆单位圆外外（），系统是），系统是不稳定不稳定的；在的；在单位圆上单位圆上（），系统是临界稳定的。），系统是临界稳定的。)()(1,)(iiiikjkiikjkiiiiepAepAky)cos(2iikiikpA1ip1ip1ip（3）含有重极点含有重极点 不失一般性，设
17、含有两重极点不失一般性，设含有两重极点 ，则，则Y(z)可可展开为展开为:对应的脉冲响应序列为对应的脉冲响应序列为:(4.14)(z1p112112)()(pzzApzzpAzYkkpApkAky)()()(1112 显然，若重极点在显然，若重极点在单位圆内单位圆内，即，即 ，系统，系统是是渐近稳定渐近稳定的；重极点在的；重极点在单位圆外单位圆外,即即 ，系统是系统是不稳定不稳定的；重极点在的；重极点在单位圆上单位圆上,即即 ，由式（由式（4.14）可得）可得:系统是系统是不稳定不稳定的。的。结论结论：线性定常离散系统：线性定常离散系统稳定的充分必要条稳定的充分必要条件是，件是，闭环脉冲传递函
18、数的所有极点都位于平闭环脉冲传递函数的所有极点都位于平面的单位圆内面的单位圆内。11p11p11p)(lim)(lim12AkAkykk 2.MIMO线性定常离散系统稳定性条件线性定常离散系统稳定性条件 设线性定常离散系统的状态方程为设线性定常离散系统的状态方程为:(4.15)做非奇异线性变换做非奇异线性变换 ,式式(4.15)变换为变换为:(4.16)()1(kAxkx)()(kxPkx)()1(1kxAPPkx （1）A有有n个互异的特征值个互异的特征值 ，总可以找到一个总可以找到一个非奇异阵非奇异阵P，使矩阵，使矩阵 化为化为对角型对角型，即，即 于是于是 (4.17)根据状态转移矩阵的
19、定义，方程根据状态转移矩阵的定义，方程(4.17)的解为的解为 (4.18)APP1nnAPPA0000000000001211)()1(kxAkx)0()0()()(xAxkkxkini,2,1 变换回原来的变量，有变换回原来的变量，有 (4.19)由式由式(4.19)看出：当看出：当 时，时，的充分必的充分必要条件是要条件是 ，。（2）特征值是特征方程的重根）特征值是特征方程的重根 不失一般性，设为两重根。经非奇异线性变换不失一般性，设为两重根。经非奇异线性变换可以化为下面的可以化为下面的约当型约当型：(4.20)0()(1xPAPkxkk0)(kx1ini,2,1)()(01)1()1(212121kxkxkxkx 状态方程状态方程(4.20)的状态转移矩阵为的状态转移矩阵为:齐次方程齐次方程(4.20)的解为的解为:(4.21)显然，当显然，当 时，时，都趋于零的充分都趋于零的充分必要条件是必要条件是 。101)(111kkk)0()0()(211111xkxkxkk)0()(212xkxkk)(1kx)(2kx11 结论结论：线性定常离散系统稳定的充分必线性定常离散系统稳定的充分必要条件是要条件是:所有特征值全部在复平面的单所有特征值全部在复平面的单位圆内。位圆内。
