1、1/6/20231第四节 控制系统的根轨迹分析法1/6/20232 利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正v 由给定参数确定闭环系统的零极点的位置；v 分析系统的瞬态和稳态性能；v 根据性能要求确定系统的参数；v 对系统进行校正。1/6/20233一、瞬态性能分析和开环系统参数的确定 利用根轨迹可以清楚的看到开环根轨迹增益或其他开环系统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。以二阶系统为例：开环传递函数为)2()(2sssGnk闭环传递函数为2222)(nnnsss共轭极点为：nnjs22,11在s平面上的分布如右图：nnj21闭环极点的张角 为：1222cos,)()1(
2、cosnnn所以 称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。1/6/20234 我们知道闭环二阶系统的主要的性能指标是超调量和调整时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下：%100%100%21ctgee)(33为极点实部nst若闭环极点落在下图中红线包围的区域中，有：3%sctgte和nnj21 的关系如下图和%0306090020406080100%1/6/20235上述结论也可应用于具有主导极点的高阶系统中。如下例：例4-12单位反馈系统的开环传递函数为：若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量 ，试确定开环放大系数。)6)(4()(sssksGgk%18%AB解：首先画出根轨迹如右。根据计算知道：根轨迹与
3、虚轴的交点为 ，这时的临界增益 当 时，闭环系统不稳定。240gpk240gk241/6/20236下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：%,100%ctge当 时解得：%18%37.61 这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着 的增加，主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计算。gk在根轨迹图上画两条与实轴夹角为 的直线，与根轨迹交与A、B两点。则A、B两点就是闭环共轭主导极点，这时系统的超调量小于18%。通过求A、B两点的坐标，可以确定这时的根轨迹增益 ，进而求得开环放大系数k。60gk046A123j设A点坐标为：，则：j360 tg（1）相角条件为：3216412011tgtg
4、（2）1/6/20237由(1)，(2)式解得：1.2,2.1共轭主导极点为：。1.22.12,1jsnjjmiiksTsksG11)1()1()(开环传递函数以 的形式表示时，k称为开环放大系数。显然 的关系为：，式中 不计为0极点。gkk与jigpzkkjp所以，开环放大系数：824.164776.43k 由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点为：。该极点是共轭复极点实部的6倍多。6.73s0324320024208223xxkxxxg解得：776.43gk也可令xjxs3代入特征方程jsx1.22.1,2.1实部方程虚部方程0241023gksss1/6/20238例：单位
5、反馈系统的开环传递函数为22)4()1()(ssKsGgk画出根轨迹能否通过选择Kg满足最大超调量%5%的要求？能否通过选择Kg满足调节时间ts2秒的要求？能否通过选择Kg满足位置误差系数Kp10的要求？解：画根轨迹实轴无根轨迹渐近线 2.5，q=45,135与虚轴交点=2，Kgp=1001/6/202391/6/202310能否通过选择Kg满足最大超调量%5%的要求？当取阻尼角为45的主导极点时，%5%的要求。由根轨迹可见阻尼角为45的线与根轨迹相交，可求得主导极点为s=0.8+0.8j，另一对极点为s=4.2+0.8j相差5.25倍，满足主导极点的要求。能否通过选择Kg满足调节时间ts2秒
6、的要求？能否通过选择Kg满足位置误差系数Kp10的要求？要求ts2秒，即要求3/2，1.5。由根轨迹可知主导极点的实部1，所以不能通过选择Kg满足ts2秒的要求。所以不能通过选择Kg满足Kp10的要求。25.616)(lim0gpkspKsGK1/6/202311问题增加开环零点改变根轨迹，因而改变闭环极点。那么是否改变闭环零点？当两个系统的根轨迹相同并选择相同的闭环极点时，这两个系统的瞬态响应是否一样？1/6/202312二、利用根轨迹求解代数方程的根 例 求如下代数方程的根0204323sss解：为了将此题作为一个根轨迹问题来考虑，应将上式变换成根轨迹方程的形式。因式中无根轨迹增益，变换结
7、果不唯一。)4(03)5(10320412323ggKsssKsss)20(04310432012323ggKsssKsss1/6/2023131/6/202314特别提示特别提示：开环零、极点对根轨迹形状的影响是值得注意的。q 一般说，开环传递函数在s左半平面增加一个极点将使原根轨迹右移。从而降低系统的相对稳定性，增加系统的调整时间。)1()(ssksGgk)2)(1()(sssksGgk1/6/202315)3)(2)(1()(ssssksGg1/6/202316q 若在开环传递函数中增加一个零点，则原根轨迹向左移动。从而增加系统的稳定性，减小系统响应的调整时间。)1(2)(ssssGk)
8、1()12)(12()(ssjsjssGk1/6/202317例4-13已知系统开环传递函数为（1）画出系统的根轨迹；（2）计算使系统稳定的k值范围；（3）计算系统对于斜坡输入的稳态误差。331sssksG1365.6732.1 j732.1 j解：（1）画根轨迹：1/6/202318q 求出射角：，得 。该系统有三条根轨迹，一条从原点起始，终止于开环零点 -1处；另两条从原点以 的出射角起始，分别终止于-3和无穷零点处。121801kq180,60160q 会合分离点：由方程 得 解得 在根轨迹上，因此是会合点。不在根轨迹上，舍去。0sDsNsDsN0982 ss65.242,1s65.61
9、s35.12s1/6/202319q 求与虚轴交点 系统特征方程为 劳斯表为当 时，由辅助方程 ，可求出根轨迹与虚轴的交点为 。（2）由劳斯表可知当 时，系统稳定。（3）系统含有三个积分环节，属型系统，型系统对于斜坡输入的稳态误差为零。03423kksksskskskksks3034341012343k032 kks3j43k1/6/202320q 画根轨迹 分离(会合)点分别为-2.93和-17.07，分离(会合)角为90度。根轨迹为圆，如右图所示。45例4-14已知单位反馈系统的开环传递函数为（1）画出系统的根轨迹；（2）计算当增益k为何值时，系统的阻尼比 是 ，并求此时系统的闭环特征根；
10、（3）分析k对系统性能的影响，并求系统最小阻尼比所对应的闭环极点。510sssksG211/6/202321q当 时，阻尼角 ，表示 角的直线为OB,其方程为 ，代入特征方程整理后得：令实部和虚部分别为零，有解得由图可知当 时直线OB与圆相切，系统的阻尼比 ，特征根为 。2245450521052kjkk0520105kkk5,5k5k2155j1/6/202322q 对于分离点2.93，由幅值条件可知858.093.21093.2593.21k14.2907.17100.17507.172k45 由根轨迹图可知，当0k0.858时，闭环系统有一对不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当0
11、.858k29.14时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬态响应呈欠阻尼状态。当29.14k时，闭环系统又有一对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。对于会合点17.07，有1/6/202323q 由坐标原点作根轨迹圆的切线，此切线就是直线OB，直线OB与负实轴夹角的余弦就是系统的最小阻尼比，由上可知，此时系统的闭环极点为 。55j1/6/202324例4-15：设系统A和B有相同的被控对象，且有相同的根轨迹，如下图所示。已知系统A有一个闭环零点，系统B没有闭环零点。试求系统A和B的开环传递函数和它们所对应的闭环方块图。1/6/202325系统A和B的闭环传递函数分别为：2112112112
12、22sssksssksksssksDsksA 211212222sssksskskssksDksB 212sssksG 122sksssD解：由于两系统的根轨迹完全相同，因而它们对应的开环传递函数和闭环特征方程式也完全相同。由上页图可知系统A和B的开环传递函数为：特征方程为：1/6/202326由此可知，系统A是一单位反馈系统，前向通路的传递函数为：。系统B的前向通路传递函数为：，反馈通路传递函数为：。由于系统A和B有相同的被控对象，因此，系统的A的前向通路传递函数可写为：，闭环方块图如下图（a）所示，系统B的闭环方块图如下图（b）所示。212sssk22ssk1s212ssks1s)2(2s
13、sk)(sC)(sR图(a)A系统1s)2(2ssk)(sC)(sR图(b)B系统 根轨迹相同的系统，开环传递函数和闭环极点都相同，但闭环零点却不一定相同。1/6/202327例4-16:已知单位反馈系统的根轨迹如下图所示。（1）写出该系统的闭环传递函数；（2）试用适当的方法使系统在任意K值时均处于稳定的状态。1/6/202328解：由根轨迹图知系统的开环传递函数为：62ssksG ksskkssks6622单位反馈系统的闭环传递函数为：提示：加入比例微分控制后，系统增加了开环零点。在系统中加入零点后，将使根轨迹左移，有利于系统的稳定性。62ssasksG90026aa60 a 当在系统中加入比例微分控制时，开环传递函数增加了一个零点，此时：这时渐近线与实轴的夹角为：，只要渐近线与负实轴相交,系统的根轨迹就在左半S平面。因此有：，所以 。1/6/202329 从下图可以看出：a越小，根轨迹越左，稳定性越好。a6时，根轨迹有一部分在s右半平面。
