1、第二章线性控制系统的运动分析 李玉庆飞行器动力学与控制研究所第二章线性控制系统的运动分析 Ate控制系统的分析分为控制系统的分析分为定量分析定量分析和和定性分析定性分析两个方面两个方面 2-1 概述定量分析定量分析定量的确定控制系统由外定量的确定控制系统由外部输入作用所引起的响应部输入作用所引起的响应 对系统的运动规律进对系统的运动规律进行精确的研究行精确的研究对决定控制系统行为和综合控制系统结构具有重要意义对决定控制系统行为和综合控制系统结构具有重要意义的几个关键的性质进行定性研究的几个关键的性质进行定性研究 定性分析定性分析能控性、能观测性和稳定性能控性、能观测性和稳定性2-1 概述线性控
2、制系统的状态方程线性控制系统的状态方程 xA xB u0(0)xx0t()()xAtxBt u00()x tx0,attt运动分析运动分析 0 xu()x t相对于给定的初始状态相对于给定的初始状态和外加输入函数和外加输入函数求出状态方程的解求出状态方程的解即由初始状态和外加输入引起的响应。即由初始状态和外加输入引起的响应。2-1 概述零输入响应零输入响应 线性定常系统在没有外加输入作用下，即线性定常系统在没有外加输入作用下，即0u 由初始条件引起的运动由初始条件引起的运动自由运动自由运动 齐次状态方程（齐次状态方程（自由运动自由运动）nnAR线性定常系统状态方程线性定常系统状态方程 xA x
3、B u00()x tx0ttxA x2-2线性定常系统的自由运动自由运动的解可表示为：自由运动的解可表示为：00()()()x tttx t 其中其中 00()()(0)ttAttI0()tt为为n nx xn n矩阵，并满足：矩阵，并满足：状态转移矩阵状态转移矩阵 2-2线性定常系统的自由运动0()0()A t ttte状态转移矩阵状态转移矩阵 矩阵指数矩阵指数 0()0()()A t tx tex t2-2线性定常系统的自由运动证明：证明：已知状态转移矩阵满足已知状态转移矩阵满足 00()()(0)ttAttI 设设的形式为：的形式为：0()tt2001020()()()ttFFttFtt
4、 由已知可得：由已知可得：3212030010202()3()()()FFttFttAFFttFtt2000100200()()()(0)FttF ttF ttI 01022133211122!1133!11!kkkFIFA FAFA FAFA FAFA FAkk对比系数可得：对比系数可得：则有：则有：02200000()11()()()()2!nnnAttttIA ttAttAttne2-2线性定常系统的自由运动0()000()()()()A t tx tex tttx t 结论结论1 1 描述的线性定常系统的零输入响应的表达式为描述的线性定常系统的零输入响应的表达式为0()22000001
5、1()()()2!()!A t tnnnnneIA ttA ttA ttnA ttn当当00t 时，有时，有()(0)()(0)Atx te xt x 2-2线性定常系统的自由运动2-2线性定常系统的自由运动12nA则有：则有：1200nttAtteeee几个特殊矩阵指数几个特殊矩阵指数(1)(1)若若 为对角矩阵为对角矩阵A2-2线性定常系统的自由运动m m11A则有：则有：21211121!1012!01mmAttm mtttmttmeet约当矩阵约当矩阵 m mA若若 为为（2 2）2-2线性定常系统的自由运动2-3 矩阵指数的计算方法Ate一、根据矩阵指数的定义求解一、根据矩阵指数的定
6、义求解 2 20112!Atn nneIAtA tA tn2-3 矩阵指数的计算方法例2-10123xxAte给定线性定常系统给定线性定常系统求矩阵指数求矩阵指数 方法方法1 1 222 2222222310012012372!323127231 32AtttteIAtA tttttttttttt2-3 矩阵指数的计算方法二、应用拉氏反变换法求解二、应用拉氏反变换法求解 11()AteLsIA例2-10123xxAte给定线性定常系统给定线性定常系统求矩阵指数求矩阵指数 方法方法2 2 11()AteLsIA1det()det(1)(2)23ssIAsss2-3 矩阵指数的计算方法131()1
7、()2det()(1)(2)31(1)(2)(1)(2)2(1)(2)(1)(2)sadj sIAsIAssIAssssssssssss1111111111()31(1)(2)(1)(2)2(1)(2)(1)(2)2111121222121212AteLsIAsLLsssssLLssssLLssssLLssss22222222tttttttteeeeeeee2-3 矩阵指数的计算方法三、将矩阵三、将矩阵A A化为对角标准型或约当标准型法化为对角标准型或约当标准型法经过非奇异变换，可将系统矩阵经过非奇异变换，可将系统矩阵A A变换为对角型或约当型变换为对角型或约当型1AP AP1APAP12nA
8、1200nttAtteeeem m11A21211121!1012!01mmAttm mtttmttmeet2-3 矩阵指数的计算方法121nttAtteeePPe2-3 矩阵指数的计算方法1AP AP1APAP因因A A的特征值互异，故一定存在非奇异变换阵的特征值互异，故一定存在非奇异变换阵P P，将，将A A化为对角线标准型化为对角线标准型 :121nAP AP因而有因而有 :121nttAtPAPtteeeee11122111()()2!PAPtnneIP APtP AP tP APtn且且111111()nnn nP APtP APt P APtP APt P APtP A t P故有
9、故有 :112 2111()2!PAPtn nAtePIAtA tA tPP e Pn故有故有 :121111nttAtPAPtAtteeePePPe PPPe证明证明 :2-3 矩阵指数的计算方法1211111nAPAPPP11111111(1)!000tttnAtttetetenePPtee则矩阵指数则矩阵指数 :2-3 矩阵指数的计算方法例2-10123xxAte给定线性定常系统给定线性定常系统求矩阵指数求矩阵指数 方法方法3 3 det()(1)(2)IA121,2 1112P12111P121222221121001211002222ttAttttttttttteeePPeeeeee
10、eeee2-3 矩阵指数的计算方法Ate四、将四、将化为化为A A的有限项多项式求解的有限项多项式求解 利用凯莱利用凯莱-哈密尔顿定理哈密尔顿定理 1011()()()Atnnet It At A1211011112211()1()1()1nntntntnnntetete2-3 矩阵指数的计算方法2 20112!Atn nneIAtA tA tn1111111021312111211111001(1)!001(1)()1()(2)!(1)(2)2!()1112(1)1!1!1tntnnntnnttennttetnnntntee2-3 矩阵指数的计算方法 方法方法4 4 01()()Atet It Adet()(1)(2)IA121,2 121120122212()111212()11211ttttttttttteeeeeteeeee220122221001()()(2)()01232222Atttttttttttttet It Aeeeeeeeeeeee例2-10123xxAte给定线性定常系统给定线性定常系统求矩阵指数求矩阵指数2-3 矩阵指数的计算方法
