1、2-5 2-5 物理方程物理方程 在在完全弹性完全弹性的各向同性体内，应变分量与的各向同性体内，应变分量与应力分量之间的关系根据胡克定律建立如下：应力分量之间的关系根据胡克定律建立如下：1()1()1()xxyzyyzxzzxyEEE 111yzyzzxzxxyxyGGG物理方程的说明：物理方程的说明：正应力只与线应变有关；切应力只与切正应力只与线应变有关；切应力只与切 应变有关。应变有关。是线性的代数方程；是线性的代数方程；是总结实验规律得出的；是总结实验规律得出的；适用条件适用条件理想弹性体；理想弹性体；式中，式中，E为弹性模量；为弹性模量；G为剪切模量；为剪切模量；为为泊松比。对于泊松比
2、。对于各向同性材料各向同性材料，三者的关系：，三者的关系：)1(2EG一、一、平面应力问题平面应力问题的物的物理方程理方程1()1()2(1)xxyyyxxyxyEEE)(yxzE且有：且有：0zzyzx1()1()1()xxyzyyzxzzxyEEE 111yzyzzxzxxyxyGGG二、二、平面应变问题平面应变问题的物理方程的物理方程xyxyxyyyxxEEE)1(2)1(1)1(122三、平面应力问题的物理方程与平面应变问题三、平面应力问题的物理方程与平面应变问题的物理方程之间的的物理方程之间的变换关系变换关系()zxy 0zzyzx1()zzxyE 1()1()1()111xxyzy
3、yzxzzxyyzyzzxzxxyxyEEEGGG 在平面应力在平面应力中中作变换作变换112EE就可得到平面应变中就可得到平面应变中的关系式的关系式xyxyxyyyxxEEE)1(2111122平面应力中的关系式平面应力中的关系式1()1()2(1)xxyyyxxyxyEEE平面应变中的关系式平面应变中的关系式112EE 由于这种相似性，在解平面应变问题时，由于这种相似性，在解平面应变问题时，可把对应的可把对应的平面应力问题平面应力问题的方程和解答中的弹的方程和解答中的弹性常数进行上述变换，就可得到相应的性常数进行上述变换，就可得到相应的平面应平面应变问题变问题的方程和解。的方程和解。2-6
4、 2-6 边界条件边界条件 当物体处于平衡状态时，其内部各点当物体处于平衡状态时，其内部各点的应力状态应满足平衡微分方程，的应力状态应满足平衡微分方程，在边界在边界上应满足边界条件上应满足边界条件。一、位移边界条件一、位移边界条件 按照边界条件的不同，弹性力学问题按照边界条件的不同，弹性力学问题分为分为位移边界问题、应力边界问题位移边界问题、应力边界问题和和混合混合边界问题。边界问题。当边界上已知位移时，应建立物体边界上当边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与给定位移相等的条件。如令给定点的位移与给定位移相等的条件。如令给定位移的边界为位移的边界为 ，则有（，则有（在在 上上）：）：uS
5、uS()suu()svv其中其中 和和 表示边界上的位移分量，而表示边界上的位移分量，而 和和 在边界上是坐标的已知函数。在边界上是坐标的已知函数。suusvv二、应力边界条件二、应力边界条件 当物体的边界上给定当物体的边界上给定面力面力时，则物体边界时，则物体边界上的应力应满足与面力相平衡的平衡条件。上的应力应满足与面力相平衡的平衡条件。()()()()xsyxsxysxysylmfmlf其中其中 和和 为面力分量，为面力分量，、为为边界上的应力分量。边界上的应力分量。xfyfsx)(sy)(sxy)(syx)(PABxyxyyxxpypnyxoyyxypmlxxyxplm若若x=a，为为x
6、正面，正面，l=1,m=0,则上式成为则上式成为)(.)(,)(effyxyxaxxaxyxba()()()()xsyxsxysxysylmfmlf 当边界当边界面垂直于面垂直于x 轴时，应轴时，应力边界条力边界条件简化为：件简化为：()()()()xsyxsxysxysylmfmlf若若x=-b，为为x负面，负面，l=-1,m=0,则上式成为则上式成为(),()()xbxxbxxyyfff yxba(),()ysyyxsxff 当边界面垂直于当边界面垂直于 轴时，应力边界条件简化轴时，应力边界条件简化为：为：x(),()xsxxysyff 当边界面垂直于当边界面垂直于 轴时，应力边界条件简化
7、轴时，应力边界条件简化为：为：y(),()()x axx axxyyffe(),()()xbxxbxxyyfff 三、混合边界条件三、混合边界条件1.物体的一部分边界上具有已知位移，因而具物体的一部分边界上具有已知位移，因而具有位移边界条件，另一部分边界上则具有已知有位移边界条件，另一部分边界上则具有已知面力面力。则两部分边界上分别有应力边界条件和。则两部分边界上分别有应力边界条件和位移边界条件。如图位移边界条件。如图2-6，悬臂梁左端面有位，悬臂梁左端面有位移边界条件：移边界条件：00vvuuss右端面将有应力边界条件右端面将有应力边界条件lqxyo2h2h图图 2-62-6()xsq2.在
8、同一边界上，在同一边界上，既有应力边界条件又有位既有应力边界条件又有位移边界条件移边界条件。0()0sxysuu如图如图 2-8 齿槽边界条件：齿槽边界条件：0()0sxsvvoxy图图2-72-7xyo图图2-82-8如图如图 2-7 连杆支撑边界条件：连杆支撑边界条件：例例1 如图所示悬臂梁，试如图所示悬臂梁，试写出其边界条件。写出其边界条件。xyahhq(1),ax 0,1ml()()()()xsxysxysxysylmfmlf0,0sxysx(2),hyqsxysysxysx0)1(0)1(01,0ml0,sxysyq0,0 xyff0,xyffqxyahhq（4）,0 x00ssvu
9、1,0ml0,0sxysy(3),hy00)1(0)1(0sxysysxysxx=0 的边界条件比较复杂的边界条件比较复杂，后面还会再讨论。，后面还会再讨论。0,0 xyff例例2 如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB边（边（y=0）：）：1,0ml00,()xyxffp xpl 代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有00)(plxxpyy00yxy(2)BC段（段（x=l）：）：|0,|0 x lx luv0(1)0(1)0()xyxyyxp x 0)sin(cos0cos)sin(yxyxyx(3)AC段（段（y=x tan）:si
10、n)90cos(),cos(xNlcos),cos(yNmNABCxyhp(x)p0l练习练习 图示构件，试写出其图示构件，试写出其应力边界条件应力边界条件。上侧：上侧：,xfq0l1m0yf 0)1()(0)()1()(0)(sysxysxysxqqsxy)(0)(sy()()()()xsxysxysxysylmfmlfN0,xf,sin)90cos(lcosm下侧：下侧：Nyfp psysxysxysxcos)(sin()(0cos)()sin()(固定端略。固定端略。例例3 图示薄板，在图示薄板，在y方向受均匀方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点分的
11、尖点A处无应力存在。处无应力存在。0 x yf f 解：解：在在 AC、AB 边界上无面力作边界上无面力作用。即用。即111sin,cosmlAB 边界：边界：()()()()xsx ysxysx ysylmfmlf由应力边界条件由应力边界条件公式，有公式，有0cossin0sincos1111xyyxyx（1）2222cossin0sincos0 xxyyxy 0 x yf f 2222c o ss i nlmAC 边界：边界：0 xyyx代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有（2）A 点同处于点同处于 AB 和和 AC 的边界，的边界，满足式（满足式（1）和（和（2），解得），解
12、得yxoqqqqbbaa A 点处无应力作用点处无应力作用xy练习练习 列出边界条件列出边界条件(q成抛物线分布成抛物线分布)。yyxxa,x 显然，边界条件要求在显然，边界条件要求在 上，上，也成抛物也成抛物线分布。线分布。b()0,()0.yyy xybyb 边界：xy2()(),()0 xx ax yx ax ayqb 边 界：练习练习 图示楔形体，试写出图示楔形体，试写出其边界条件。其边界条件。0 xyf f sin)90cos(l()()()()xsx ysxysx ysylmfmlfcos)180cos(m0cos)(sin)(0cos)(sin)(sysxysxysx上侧：上侧：0,xf0 xyf f 下侧：下侧：1m0lyfq qsysxysxysx)1()(0)(0)1()(0)(0)(sxyqsy)(NoImage固定端略。固定端略。
