1、大学数学辅导讲义稿贺家顺2001-9-72001春开放教育计算机专科第二学期总目录 前言 辅导进度 第一章 多元函数的微积分辅导提纲 第二章 矩阵辅导提纲 第三章 线性方程组辅导提纲 第四章 随机事件与概率辅导提纲 第五章 随机变量及其数字特征辅导提纲 第六章 统计推断辅导提纲 总复习提纲前言 相信自己的能力，提高学习信心；加强自学，降低依赖心；抓住重点，突破难点；注意学习方法，联系前面所学知识，化“厚”为“薄”，多看多练；结合生产、生活，深入书中，其乐无穷。辅导进度表编号日期内容12001-9-91。01。522001-9-231。61。932001-10-14第一章复习小结42001-10
2、-212。12。552001-10-282。62。9和第二章复习小结62001-11-43。13。372001-11-113。43。5和第三章复习小结82001-11-184。14。4和第四章复习小结92001-11-255。15。4和第五章复习小结102001-12-26。16。4和第六章复习小结第一章辅导提纲（1）一、学习重点：1、求偏导数、全微分的方法；复合函数的微分法和求隐函数的偏导数的方法；用拉格朗日乘数法求条件极值的方法。2、直角坐标系、极坐标系下二重积分的计算方法3、曲顶柱体的体积和曲面围成的空间的体积的求法。第一章辅导提纲（2）二、注意二元函数的微积分和一元函数微积分的联系、区
3、别 注意二元函数的微积分和一元函数微积分联系起来，会达到事半功倍的学习效果，但也要几点区别，不能一概而论；要善于把二元函数的微积分化为一元函数微积分。二元函数的微积分和一元函数微积分联系、区别如下表：第二章 矩阵辅导提纲 矩阵及矩阵的运算；逆矩阵和求法；方阵行列式及计算方法；线性方程组的克莱姆法则；矩阵的秩和矩阵的秩的大小判定；分块矩阵和运算一、矩阵的概念和几种运算1、矩阵的概念A）矩阵、元素和表示；B）n阶矩阵、主对角线、次对角线；C）零矩阵、字母O表示；负矩阵；单位矩阵方阵D）同型矩阵矩阵及矩阵的运算二、矩阵的运算1、矩阵相等；2、矩阵的加法；3、数与矩阵的乘法；4、矩阵的乘法；5、矩阵的
4、转置；三、几种特殊的矩阵（方阵）A）数量矩阵；B）对角矩阵；C）三角矩阵；D）对称矩阵；（乘不封闭）矩阵及矩阵的运算N阶矩阵的行列式 n阶矩阵的行列式的定义；展开；n阶矩阵的行列式的性质；3、5、7、2推论 n阶矩阵的行列式的计算；（二三阶、高阶）方阵行列式定理。NO119第三章 线性方程组辅导主要内容 求线性方程组的一般解的高斯消元法；向量的线性运算；齐次线性方程组的通解的求法；非线性方程组的通解的求法。第三章 线性方程组1一、高斯消元法1、基本概念和定理1）线性方程的一般形式和矩阵表示：不全为零 时，称（*）为非齐次线性方程组；时，称（*）齐次线性方程组。*1221122222121112
5、12111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa)3,2,1(njbj)3,2,1(0njbj*000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa如如第三章 线性方程组2矩阵表达式：设mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211mbbbB21nxxxxX321则（*）简写为：BAXnmnmmnnbbbaaaaaaaaaBA21212222111211为增广矩阵A为 系数矩阵；X为未知数矩阵；B为右端矩阵0AX（*）为第三章 线性方程组32）基本定理：P185定理3.1。意义：利用初等行变换把增广矩阵A|B化为阶梯
6、矩阵简化线性方程组的求解过程。2、例题与练习例1：求下列线性方程组的（通）解解法1：1x-1=2,初等解法得 x=1,y=2。解法2：因为系数矩阵 用克莱姆法则：72342yxyx012312A27342127141yx212111yxyx第三章 线性方程组4解法3：高斯消元法 2 10101210311412311311412723412)1(2,1 22)2(1 2,1 2)1(1 最后矩阵相当于方程组112010yxyxyx注：1）对增广矩阵的初等行变换过程线性方程同解变形过程 2）可根据最后一个矩阵直接写出结果第三章 线性方程组5例题2：求下列线性方程组的（通）解1222yxyx注：不
7、能用克莱姆法则解1：即x+y=1,有2-1个自由未知量，一般解为x=1-y,令y=k,通解为x=1-k，y=k（k为任意实数）。解2：高斯消元法yx1000111222111111222也可写作：1101011kkkkkyx第三章 线性方程组6例3：求下列线性方程组的（通）解3221yxyx解法1：得 0=-1，无解解法2：100111222111无解注：例1、2线性方程组称为相容线性方程组；例3为不相容线性方程组。另外，高斯消元法比克莱姆法则更具有通用性。第三章 线性方程组7例4：求下列线性方程组的（通）解21931644321452342354321543215432154321xxxxx
8、xxxxxxxxxxxxxxx解：000000333411001440102222700121931164411132145213412131有三个独立的方程，五个未知量，因而有5-3=2个自由未知量，一般解为：第三章 线性方程组8(令 x4=k1,x5=k2)103342201414270031233341144222272154321543542541kkxxxxxxxxxxxxxx矩阵表示式由来后面详讲第三章 线性方程组9二、n维向量及相关定理1、把二维、三维向量推广到n维P195（定义、表示、分量）2、n维向量的线性运算nnbbbaaa2121,设为两个同维向量，则kkklklkkak
9、akakbabababannjj)(,)(,32122111nn维向量和的矩阵本质相同；一个矩阵可看作若干个列（行）向量组成。第三章 线性方程组103、相关定义、定理：1）线性组合（表出）的概念（P198）2）线性表出的充要条件、组合系数的求法（P199及P200例4）例4设44332211xxxx（以下略）3）向量组的线性相关性和无关性定义、判定定理（不全为零、全为零）4）向量组的极大无关组与向量组的秩的概念和求法、常用线性无关组注：1)向量组的秩=矩阵的秩2)由于初等行变换不改变向量组线性相关性，极大无关组由主元不为零组成（可构成上三角矩阵）第三章 线性方程组11三、齐次线性方程组（*）解
10、的结构1、预备知识：线性方程（*）组相容性定理；解的个数定理。P218、P2192、齐次线性方程组（*）解的结构1）平凡解、非平凡解及有关结论P2242）解的结构基础解系的线性组合、通解3、齐次线性方程组（*）解的非平凡解的求法（P225）例：求下面齐次线性方程组的解的通解0931640320452302354321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx第三章 线性方程组12解：000003341100440102227001931164111324521312131由此可见 x4x5为自由元。于是令x4=1,x5=0和x4=0,x5=1,得解向量1033422
11、,014142721XX原方程组的通解为543212211,xxxxxXXkXkX第三章 线性方程组13三、非齐次线性方程组（*）解的结构1、有关结论：P2302、解的结构（无穷解时）通解=（*）特解+齐次线性方程组（*）通解3、（*）通解求法例4：求下列线性方程组的（通）解21931644321452342354321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx第三章 线性方程组14解：000000333411001440102222700121931164411132145213412131因为系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=35，所以原方程组有无穷解，且有2 个自由
12、变元 x4,x5。令x4 =x5=0，和x4=1,x5=0和x4=0,x5=1,可得 1个特解和相应齐次线性方程组的基础解系003120X1033422,014142721XX10334220141427003122154321kkxxxxxX通解为第三章 线性方程组15作业：P202 No.1 No.3P209 No.1 No.7P217 No.1(1)No.2P223 No.6P234 No.1第三篇概率论与数理统计 学习的意义 学习内容：第四章：随机事件与概率古典实用的概率论；（古典、与贝努里概型貌 的概率第五章：随机变量及数字特征用随机变量刻划随机事件；研究概率。第六章：统计推断用样本
13、（的数字）特征推断总体（的数字）特征第四章随机事件与概率4-1一、基本概念随机现象与随机事件 1）随机现象及统计规律 2）随机试验及特点：为研究随机的统计规律，表示：E；三个特点 3）随机事件及特点：基本事件（样本点）：随机试验中，每一可能发生的不能再分解的 基本结果。表示：样本空间：U 随机事件：U的子集。表示：A、B、C、D。如：U=1，2，3，4，5，6，A=出现三点=3，B=出现3点或4点=3，4，C=出现偶数点=2，4，6等，是U的子集为随机事件。第四章随机事件与概率4-2事件的关系和运算(重点是把事件符号化，利于后面的计算）1）事件的包含和相等：2）事件的和：A+B 3）事件积：A
14、B（和包含不同）？4）事件的差：A-B 5）互不相容事件：（互斥事件）6）对立事件：（和互斥事件不同）7）完备事件组：两两互不相容且和是必然事件BABA;第四章随机事件与概率4-3概率及其性质1）频数、频率、概率的稳定性、概率：P（A）2）概率的性质 频率 完全可加性：两两互不相容，则 )()(APAfn1)(0AP0)(.1)(PUP321,AAA)()()()(321321APAPAPAAAP第四章随机事件与概率4-4二、古典概型及概率的计算 1）古典概型：试验结果个数有限；试验结果出现的可能性相同；基本事件互不相容。2）古典概型的概率的计算：P（A）=简单算法：P270 例2、例3、例4
15、（1）排列组合算法：例4（2）（3）概率的运算及法则：复杂事件的概率 简单事件概率事件A包含的基本事件的个数基本事件的总数数1）)()()(BPAPBAPAB2）)(1)(APAP3）)()()()(:,ABPBPAPBAPBA4）)|()()(),|()()()()()|(,)()()|(BAPBPABPABPAPABPAPABPABPBPABPBAP5）若A1，A 2 ，A3 构成完备事件组：P295)|()()|()()|()()(332211AAPAPAAPAPAAPAPAP第四章随机事件与概率4-5三、贝努里概型及概率的计算事件的独立性：P（A|B）=P（A）两事件独立 P（AB）=
16、P（A）P（B）贝努里概型：若 试验E：结果只有两个 ；在相同条件下独立的重复n次；n 次 试验中 事件A恰好发生k次的概率：例题：P291 例6pAPAA)(,knkknkppCP)1(第五章随机变量及数字特征5-1一、随机变量（函数）及分布、期望、方差;二、常用随机变量的分布三、二维随机变量及其联合分布、期望、方差、；第五章随机变量及数字特征5-2一、随机变量及其分布 1、随机变量的概念及和事件的关系#取值是随机，事前并不知道取到哪一个值；#所取的每一个值，都对应于某一事件；#所取的每一个值的概率大小是确定的。例题1：掷一骰子，A=出现1点，B=出现2点，C=出现3点 F=出现6点，G=出
17、现2点或出现3点，H=出现1点或出现2 点或出现3点；X表示掷此骰子出现的点数，则X可能的取值为 1，2，3，4，5，6是随机的且 所以 HXGXFXBXAX4,32,6,2,121)()4(31)()42(61)6(61)()1(HPXPGPXPXPAPXPX可能的取值是有限个或可数个离散型随机变量第五章随机变量及数字特征5-3例题2：P309例题3连续型随机变量（非离散型随机变量中常见的一种）2、随机变量的分布：取值规律 离散型随机变量取值规律用：或列表连续型随机变量取值规律用密度函数刻划：性质：性质：,3,2,1),(kxXPpkkdxxfbXaPba)()(1)20)1kkpp0)()
18、31)()20)()1aXPdxxfxf例题3：例题1的随机变量X的分布列X123456Pk1/61/61/61/61/61/6第五章随机变量及数字特征5-4二、分布函数：（累加概率）离散型随机变量分布函数：连续型随机变量分布函数：性质：xxkipxXPxF)()()()()()()(xfxFdxxfxXPxFx)()()()31)(lim)(0)(lim)()()21)(0)1aFbFbXaPxFFxFFxFxFxx是单调不减函数且例题4:例题1的分布函数是：21)1.3()1.3(,0)1.1()1.1(6161610)(FXPFXPxxxxxF因而第五章随机变量及数字特征5-5三、随机变
19、量的函数的分布 1、概念：对 于例题1中的中随机变量X，设 Y是X的函数，Y也是随机变量 2、随机变量的函数的分布：例题 6：例题1中，设Y=2X+1，求随机变量X的函数Y的分布。解：X的可能取值为：1，2，3，4，5，6。所以Y的可能取值为3，5，7，9，11，13。且 例题 7：书P318例题 11、例题 122,12XYXY61)2()5(,61)1()3(XPYPXPYP第五章随机变量及数字特征5-6四、随机变量的数字特征及性质 期望方差离散随机变量X连续kkpxXE)(dxxxfXE)()(kkpxgXgE)()(dxxfxgXgE)()()(kkkpXExXD2)()(dxxfXE
20、xXDk)()()(2方差的简化计算公式及性质：例8：P324 例3、4、5和P325的性质22)()()(XEXEXD第五章随机变量及数字特征5-7五、几种常用的分布及数字特征 1、离散型名称 分布列适用期望方差二点分布二项分布泊松分布pqXPpXP1)0(,)1(1,2,1,0,)(qpnkqpCkXPknkkn)(,1,0,!)(PXkekKXPkpqXDpXE)()(npqXDnpXE)()()()(XDXE还可用正态分布其中很小时很大当注npekqpCkXPpnkknkkn,!)(,:第五章随机变量及数字特征5-82、连续型名称密度函数适用期望方差均匀分布指数分布正态分布),(,0,
21、)(1baUXbxaxfab记其它),(,0,1)(aEXaxaxexfax),()(21)(22)(22NXxexfx12)()(2)(2abXDbaXE2)()(XDaXE2)()(XDXE第五章随机变量及数字特征5-93、正态分布 1）密度函数#图象：#性质：P332#适用：#标准正态分布：密度函数：分布函数：性质：3原则：)(21)(222)(xexfx)1,0()(21)(22NXxexx)()()(21)()()(22abbXaPdtedttxXPxxtx5.0)0(,)(1)()(1)(xxxx或第五章随机变量及数字特征5-9六、二维随机变量 1、联合概率分布、联合分布密度函数、
22、联合分布函数 2、二维随机变量的独立性 3、二维随机变量的函数的期望和方差公式：（主要是 Z=X+Y Z=XY）#E（X+Y）=E（X）+E（Y）#D(X+Y)=D(X)+D(Y)-2 EX-E(X)Y-E(Y)#若X，Y相互独立 ，则E（XY）=E（X）E（Y）#若X，Y相互独立 ，则D（X+Y）=D（X）+D（Y）4、协方差和相关系数#协方差：cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)#若X，Y相互独立 ，则cov(X,Y)=0 5、相关系数#相关系数|越接近 1 X与Y越接近线性关系。)()(),cov(YDXDYX第六章统计推断6-1主要内容：由样本的数
23、字特征对总体的数字特征进行估计和（一定概率下）的推断一、矩估计、最大似然估计二、用区间估计正态总体期望的置信区间三、单正态总体均值和方差的（显著性）检验第六章统计推断6-2一、数理统计的基本概念#总体和样本#样本均值和样本方差#统计量：一个含有样本值x1,x 2,x3 的式子，且不含未知量#统计量分布（抽样分布）：设x1，x 2，x3，xn是来自 正态总体 的一组样本，则：1)()()()(11122221122121nxxxxxxxxnsnxxxxnxnniinini样本方差样本均值)1(/)1(/)()1(),(1221222221ntnsxtsxnxxsnnNxnxniinii相互独立与
24、且样本方差样本均值),(2N),(2N)1(/)1(/)1(),(2222ntnsxnsnnNx第六章统计推断6-3二、参数的点估计 1、矩估计法#原理：总体矩=相应的样本矩 2、最大似然估计#原理方法：求使似然函数值为最大时的参数 例：P383例4 3、参数估计的无偏性和有效性#若参数 的估计量 满足：22222,),()(,)(:sxNsXDxXE的估计值的参数特别正态总体如更有效比就说的无偏估计量为就称2121)()()(DDE第六章统计推断6-4三、正态总体参数的区间估计1、原理：点估计可信度？在一定的概率（置信度）保证下的区间（置信区间）估计更可靠！2、正态总体的数学期望估计#已知方
25、差#未知方差确定由临界值则利用21)(1)|(|)1,0(/),(2uPNnxunNx确定由则代替用)|(|)1(/tPntnsxts第六章统计推断6-53、正态总体的方差点估计（了解）#原理方法：即可然后解出确定由由其中的临界值先求由的随机变量的样本函数利用含待估参数222122221222122222)1,1(,),1(.,1)1()1()1(nnsnPnsn第六章统计推断6-6四、假设检验：对样本与总体产生的误差作出判断（条件？随机？）基本思想：在假设H0成立的条件下，求出接受域（区间），样本的统计量落在接受域就说H0，否则H0的反面成立。主要正态总体介绍U和T检验法。1、U检验法（总体方差已知，检验数学期望）例1：P403例22、T检验法（总体方差不知，检验数学期望）例2：P403例53、X2检验法（总体数学期望不知检验方差）例3：P408例7第六章统计推断6-7作业：P373 练习6。12，3，4P388 5 7 P397 5P41023
