1、第三章第三章 正态分布及其应用正态分布及其应用 第一节第一节 正态分布的概念和特征正态分布的概念和特征一、正态分布一、正态分布(normal distribution)(normal distribution)的概的概念念A.De Moivre:A.De Moivre:德国数学家和天文学家德国数学家和天文学家Gauss:Gauss:高斯（高斯（Johann Carl FriedriJohann Carl Friedrich Gau(Gauss)ch Gau(Gauss)（1777177718551855），德），德国著名数学家、物理学家、天文学家、国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家
2、。高斯被认为是最重要的大地测量学家。高斯被认为是最重要的数学家，并有数学家，并有“数学王子数学王子”的美誉。的美誉。正态分布图形正态分布图形 Bell ShapBell ShapededSymmetricSymmetricalal医学上很多资料符合正态分布医学上很多资料符合正态分布两头低，中间高，左右对两头低，中间高，左右对称，呈钟型的单峰曲线。称，呈钟型的单峰曲线。二、正态分布的特征二、正态分布的特征 1 1、连续型随机变量及其概率分布、连续型随机变量及其概率分布变量变量 研究指标，身高，体重等随机变量随机变量 可以等于任意数，不确定的值连续型连续型 X+，中途不间断，即包含小数离散型离散型
3、 中途间断，即只有整数，没有小数Probability DistributionsContinuousContinuous Probability DistributionsBinomialPoissonProbability DProbability DistributionsistributionsDiscreteDiscrete Probability DistributionsNormalCh.6Ch.32 2、连续型随机变量的分布函数、连续型随机变量的分布函数二、正态分布的特征二、正态分布的特征（1 1）概率密度函数（曲线的高度）概率密度函数（曲线的高度）22221)(xexf（2
4、2）概率分布函数（曲线的面积）概率分布函数（曲线的面积）XXdXeXF)2/()(2221)(总体标准差总体标准差总体均数总体均数圆周率，圆周率，3.14159.3.14159.（3 3）正态分布特征）正态分布特征 曲线在横轴上方均数处最高；曲线在横轴上方均数处最高；以均数为中心，左右对称；以均数为中心，左右对称；正态分布有两个参数：正态分布有两个参数：位置参数位置参数 、形状参数、形状参数 正态分布曲线下的面积有一定的分布规律。正态分布曲线下的面积有一定的分布规律。二、正态分布的特征二、正态分布的特征 正态分布的两个参数正态分布的两个参数（1 1）位置参数：位置参数：当当 一定时，一定时，越
5、大，曲线越向右移越大，曲线越向右移动；动；越小，曲线越向左移动。越小，曲线越向左移动。（2 2）离散度参数，决定曲线的形态：离散度参数，决定曲线的形态：当当一定时，一定时，越大，表示数据越分散，曲线越越大，表示数据越分散，曲线越“胖胖”；越小，表示数据越集中，曲线越越小，表示数据越集中，曲线越“瘦瘦”。正态分布的两个参数正态分布的两个参数正态曲线下面积分布规律正态曲线下面积分布规律 无论无论 取什么值，正态曲线与横轴间的面取什么值，正态曲线与横轴间的面积总等于积总等于1 1面积总面积总等于等于1 1XXdXeXF)2/()(2221)(x熟记下列常用的曲线熟记下列常用的曲线下面积分布规律：下面
6、积分布规律：1 1、的区间的区间占总面积的占总面积的68.2768.27 2 2、1.961.96的的区间占总面积的区间占总面积的9595 3 3、2.582.58的的区间占总面积的区间占总面积的9999三、正态分布的应用三、正态分布的应用1 1、估计频数分布（见例、估计频数分布（见例3-23-2）2 2、质量控制、质量控制3 3、制定医学参考值范围（见第三节）、制定医学参考值范围（见第三节）4 4、正态分布是许多统计处理方法的理论基础、正态分布是许多统计处理方法的理论基础质量控制质量控制x 2S2Sx3S3Sx上控制线上控制线下控制线下控制线 警戒线警戒线警戒线警戒线 2S2Sx 3S3Sx
7、第二节第二节 标准正态分布及其应用标准正态分布及其应用1 1、标准正态分布与标准化变换、标准正态分布与标准化变换 正态分布正态分布是一个分布族。对是一个分布族。对应于不同的参数应于不同的参数和和会产生不同位会产生不同位置不同形状的正态置不同形状的正态分布。分布。（1 1）概率密度函数（曲线的高度）概率密度函数（曲线的高度）22221)(xexf（2 2）概率分布函数（曲线的面积）概率分布函数（曲线的面积）XXdXeXF)2/()(2221)(总体标准差总体标准差总体均数总体均数圆周率，圆周率，3.14159.3.14159.XXdXeXF)2/()(2221)(x为了应用方便，令为了应用方便，
8、令xuu u服从均数为服从均数为0 0、标准差为、标准差为1 1的正态分布的正态分布标准正标准正态分布态分布u u变换变换当和未知时，用 和s 来估计u值。x标准正态分布：凡均数为标准正态分布：凡均数为0 0、标准差为、标准差为1 1的正态分布。的正态分布。所有的正态分布，经所有的正态分布，经u u变换后，都可以转为标准正态分布。变换后，都可以转为标准正态分布。2 2、标准正态分布表、标准正态分布表 3 3 2 2 1 0 1 0 1 1 2 2 3 3 (u)附表附表 查表确定标准正态分布曲线下的面查表确定标准正态分布曲线下的面积时，必须注意：积时，必须注意：（1 1）u u变换变换 当当，
9、已知时，先按已知时，先按u u变换变换公式求得公式求得u u值，再用值，再用u u值查表；值查表；xu 当当，未知时，用样本均数未知时，用样本均数 和样本标准差和样本标准差s s代替求代替求u u值。值。sxxux（2 2）查表时，可以利用标准正态分布的两）查表时，可以利用标准正态分布的两个特征：个特征：a.a.曲线下对称于曲线下对称于0 0的区间，面积相等；的区间，面积相等；b.b.曲线下横轴上的总面积为曲线下横轴上的总面积为100100或或1 1。例例 3-13-1 求x1=-1.96与x2=+1.96区间的面积。96.196.111xu96.196.112xu查附表查附表1 1，1(-1
10、.96)=0.025,2(1.96)=1-(-1.96)=1-0.025=0.975,区间面积区间面积=2-1=0.975-0.025=0.95=95%例3-2 已知 X=36.3kg,S=6.19kg 欲估计体重大于50kg男童的比例。36.3 5036.3 50该面积等于多该面积等于多少？少？122=1-1-+2132.219.63.3650 xu2=1-（2.2132）=（-2.2132）=0.0136欲估计体重在30-40kg范围内男童的比例。=（x2）（x1)02.119.63.363011xu60.019.63.365022xu（-1.02）0.1539（0.60）1（-0.60）
11、1-0.27430.7257 0.72570.1539 0.5718估计该地80%的男童体重的分布范围(中间)。（本题为从面积查（本题为从面积查u u值）值）10%10%80%-1.28 1.28kgsx)2.444.28(19.628.13.3628.1即：即：第三节第三节 医学参考值范围的制定医学参考值范围的制定医学参考值范围意义：医学参考值范围意义：医学参考值范围（亦称为正常值医学参考值范围（亦称为正常值范围）是指正常人的解剖、生理、生化等范围）是指正常人的解剖、生理、生化等各种指标的波动范围。它主要用于划分正各种指标的波动范围。它主要用于划分正常与异常的界限。常与异常的界限。医学参考值
12、范围制定的一般原则医学参考值范围制定的一般原则2 2、对选定的正常人进行统一而准确的测定、对选定的正常人进行统一而准确的测定 4 4、确定取单侧还是双侧医学参考值范围、确定取单侧还是双侧医学参考值范围 5 5、选定适当的百分界限、选定适当的百分界限 6 6、选择适当制定方法、选择适当制定方法3 3、考虑是否应按性别、年龄、职业等因素分组确、考虑是否应按性别、年龄、职业等因素分组确定定 医学参考值范围医学参考值范围1 1、抽取足够数量的、抽取足够数量的“正常人正常人”作为调查对象作为调查对象一、医学参考值范围制定的一般原则：一、医学参考值范围制定的一般原则：1 1、抽取足够数量的、抽取足够数量的
13、“正常人正常人”作为调作为调查对象查对象“正常人正常人”不是指任何一点小病都没有的不是指任何一点小病都没有的人，而是指排除影响被研究指标的疾病和因人，而是指排除影响被研究指标的疾病和因素的人。素的人。例如，制定例如，制定SGPTSGPT（谷丙转氨酶）正常值范围，（谷丙转氨酶）正常值范围，“正常人正常人”的条件是：的条件是：a.a.无肝、肾、心、脑、肌肉等疾患；无肝、肾、心、脑、肌肉等疾患；b.b.近期无服用损肝的药物（如氯丙嗪，近期无服用损肝的药物（如氯丙嗪，异烟肼）异烟肼）c.c.测定前未作剧烈运动。测定前未作剧烈运动。（2 2）医学参考值范围制定所需的样本例）医学参考值范围制定所需的样本例
14、数一般要求数一般要求 n100n100 2 2、对选定的正常人进行统一而准确的测定：、对选定的正常人进行统一而准确的测定：(1)(1)测定的方法、仪器、试剂，操作的熟测定的方法、仪器、试剂，操作的熟练程度，方法的精确度均要统一；练程度，方法的精确度均要统一；(2)(2)要尽量与应用医学参考值范围时的实要尽量与应用医学参考值范围时的实际情况一致。际情况一致。3 3、考虑是否应按性别、年龄、职业等因素、考虑是否应按性别、年龄、职业等因素分组确定医学参考值范围。分组确定医学参考值范围。原则上，组间差别明显，并有实际意义，应原则上，组间差别明显，并有实际意义，应分开制定，否则应合并。分开制定，否则应合
15、并。考察组间差别最简便而有效的方法是：考察组间差别最简便而有效的方法是：从频数分布表，直接比较各组的分从频数分布表，直接比较各组的分布范围，高峰位置，分布趋势等是否相近，布范围，高峰位置，分布趋势等是否相近，如相近就合并，如差异明显，就分组。或做如相近就合并，如差异明显，就分组。或做两样本均数的假设检验，有差别就分组，无两样本均数的假设检验，有差别就分组，无差别就合并。差别就合并。4 4、确定取单侧还是双侧医学参考值范围。、确定取单侧还是双侧医学参考值范围。（1 1）白细胞数过高和过低均属于异常，）白细胞数过高和过低均属于异常，需制定下限（最小值）和上限（最大值），需制定下限（最小值）和上限（
16、最大值），称双侧医学参考值范围。称双侧医学参考值范围。(2)(2)肺活量只过低为异常，只需制定医学参考肺活量只过低为异常，只需制定医学参考值范围的下限；值范围的下限；尿铅只过高为异常，只需制尿铅只过高为异常，只需制定医学参考值范围的上限；均称单侧医学参定医学参考值范围的上限；均称单侧医学参考值范围。考值范围。5 5、选定适当的百分界限。、选定适当的百分界限。正常值范围的意思：绝大多数正常正常值范围的意思：绝大多数正常人的某项观察值均在该范围之内。这个绝大人的某项观察值均在该范围之内。这个绝大多，习惯上指正常人的多，习惯上指正常人的8080、9090、9595、9999（最常用是（最常用是959
17、5）。）。根据所选定的百分界限，会造成假根据所选定的百分界限，会造成假阳性或阳性或/和假阴性。和假阴性。如何选定百分位数，以平衡假阳性和假阴性：如何选定百分位数，以平衡假阳性和假阴性：（1 1）正常人的分布和病人的分布没有重叠，）正常人的分布和病人的分布没有重叠，这是只要求减少假阳性，则取这是只要求减少假阳性，则取9999较为理想。较为理想。正常人正常人病人病人诊断界值诊断界值（2 2）正常人分布与病人分布有重叠）正常人分布与病人分布有重叠诊断界值诊断界值正常人正常人病人病人假阳性（误诊）假阳性（误诊）假阴性（漏诊）假阴性（漏诊）a.a.如需兼顾假阳性和假阴性，取如需兼顾假阳性和假阴性，取95
18、95较适当；较适当；b.b.如主要目的是减少假阳性（如用于确诊病人如主要目的是减少假阳性（如用于确诊病人或选定科研病例），宁取或选定科研病例），宁取9999。c.c.如主要目的是减少假阴性（如用于初筛搜查如主要目的是减少假阴性（如用于初筛搜查病人），宁取病人），宁取8080或或9090。d.d.根据根据ROCROC曲线来判断（见第十三章，曲线来判断（见第十三章，P P209209)即：选择灵敏度和特异度均高的切点。即：选择灵敏度和特异度均高的切点。6 6、选择适当制定方法（见下）。、选择适当制定方法（见下）。二、制定医学参考值范围常用方法二、制定医学参考值范围常用方法 适用范围：（近似）正态分
19、布或对数正态分适用范围：（近似）正态分布或对数正态分 布资料布资料 适用范围：适用范围：a.a.偏态分布资料偏态分布资料 b.b.分布不清资料分布不清资料 c.c.开口资料开口资料 二、制定医学参考值范围常用方法二、制定医学参考值范围常用方法 医学参考值范围的题目：医学参考值范围的题目：（1 1）判断分布类型：正态分布或偏态分布？）判断分布类型：正态分布或偏态分布？（2 2）判断：单侧或双侧？）判断：单侧或双侧？例例3-3 1003-3 100名正常人血铅含量名正常人血铅含量步骤：步骤：1 1、判断分布类型：偏态、判断分布类型：偏态2 2、处理：对数变换、处理：对数变换3 3、再判断分布类型：
20、正态分布（对数正态分布）、再判断分布类型：正态分布（对数正态分布）4 4、按正态分布法计算、按正态分布法计算95%95%参考值范围（注：必须在对数参考值范围（注：必须在对数的条件下；双侧或单侧？）（如果仍是偏态分布：百分的条件下；双侧或单侧？）（如果仍是偏态分布：百分位数法）位数法）5 5、还原：取反对数、还原：取反对数（原始数据频数分布图）（原始数据频数分布图）例例3-43-4步骤：步骤：1 1、判断分布类型：正态分布、判断分布类型：正态分布2 2、按正态分布法计算、按正态分布法计算95%95%参考值范围（注：双侧或单参考值范围（注：双侧或单侧？）侧？）例例3-53-5（原始数据取对数后的频
21、数分布图）（原始数据取对数后的频数分布图）第四节第四节 正态性判定正态性判定1 1、根据专业知识和经验判定、根据专业知识和经验判定2 2、图示法（目测法）：主观、图示法（目测法）：主观3 3、计算法：客观、计算法：客观判定方法：判定方法：注意：用于判定正态分布的资料，例数注意：用于判定正态分布的资料，例数应足够大（应足够大（100100例以上）例以上）一、图示法一、图示法1 1、频数表或直方图、频数表或直方图(histogram)(histogram)2 2、P-PP-P图和图和Q-QQ-Q图：散点在直线上，正态分布图：散点在直线上，正态分布例例3-33-3原始原始数据数据对数对数数据数据例例
22、3-33-3原始原始数据数据对数对数数据数据二、计算法二、计算法方法：方法：1 1、矩法、矩法2 2、W W检验检验3 3、D D检验检验正态分布包括：对称性和正态峰正态分布包括：对称性和正态峰判断方法：判断方法：一、综合评定：对对称性（偏度）和正态峰（峰一、综合评定：对对称性（偏度）和正态峰（峰度）进行综合评定。包括：度）进行综合评定。包括：W W检验，检验，D D检验检验二、分别评定：分别对偏度和峰度进行评定。矩二、分别评定：分别对偏度和峰度进行评定。矩法（最准确的方法）。法（最准确的方法）。1 1、矩法、矩法一阶中心矩：一阶中心矩：xxnm11二阶中心矩：二阶中心矩：(方差方差)2222
23、1nxnxxxnm四阶中心矩：（峰度）四阶中心矩：（峰度）三阶中心矩：（偏度）三阶中心矩：（偏度）222333231nxnxnxnxxxnm42234443641nxnxnxnxnxnxxxnm理论上：理论上：偏度系数偏度系数(g1)(g1)：g1=0,g1=0,对称；对称；g10,g10,g10,正偏正偏峰度系数峰度系数(g2)(g2)：g2=0,g2=0,正态；正态；g20,g20,g20,尖峭尖峭检验：检验：111gggu222gggu如果：如果：Ug11.65,Ug11.65,偏态，反之，偏态，反之，正态正态如果：如果：Ug21.65,Ug21.65,非正态峰，反非正态峰，反之，正态峰之，正态峰2 2、W W检验检验3 3、D D检验检验（用（用SPSSSPSS软件可直接计算）软件可直接计算）可编辑感感谢谢下下载载
