1、9.8 9.8 串联电路的谐振串联电路的谐振谐振谐振(resonance)是正弦电路在特定条件下所产生的一种是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。含有含有R、L、C的一端口电路，在特定条件下出现端口的一端口电路，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。1.1.谐振的定义谐振的定义R,L,C电路电路UIUZRI发生发生谐振谐振1j()j()jL
2、CZRLRXXCRX IRj L+_1j C U2.2.串联谐振的条件串联谐振的条件谐振角频率谐振角频率(resonant angular frequency)LC10 谐振频率谐振频率(resonant frequency)LCf210 001 0 X LC当时，电路发生谐振。谐振条件谐振条件仅与电路参数有关仅与电路参数有关串联电路实现谐振的方式：串联电路实现谐振的方式：（1）L、C 不变，改变不变，改变 。（2 2）电源频率不变，改变）电源频率不变，改变 L 或或 C(常改变常改变C)。0由电路本身的参数决定，一个由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只能有一个对应的串联电路只能
3、有一个对应的 0 0 ,当外当外加频率等于谐振频率时，电路发生谐振。加频率等于谐振频率时，电路发生谐振。IRj L+_1j C U+_ RU LU CU3.3.RLC串联电路谐振时的特点串联电路谐振时的特点 (1).UI与 同相入端阻抗入端阻抗Z Z为纯电阻，即为纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值电路中阻抗值|Z Z|最小最小电流电流I I达到最大值达到最大值 I0=U/R (U一定一定)。X()|Z()|XL()XC()R 0 Z()O LUUjLIjLjQUR CIUUjjLjQUCR LCUUQU0011 LLQRCRRC品质因数品质因数quality factor当当 Q1时，时，UL=U
4、C U;当当Q1 时，时，UL=UC U。0,LCUULC相当于短路。(2)LC上上的电压大小相等，相位相反，串联总电压的电压大小相等，相位相反，串联总电压为零，也称电压谐振，即为零，也称电压谐振，即 RUU电源电压全部加在电阻上，LU CU RU I(3)(3)谐振时的功率谐振时的功率P=UIcos UIRI02=U2/R，电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。sin0LCQUIQQ2220000001,LCQ LIQILI C 电源不向电路输送无功。电电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中的无功感中的无功与电容中的无功大小相等，互相
5、补偿，彼此大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。进行能量交换。+_PQLCR(4)(4)谐振时的能量关系谐振时的能量关系222m011cos 22CCwCuLItom0m00sin(90)cos CILutItCC 222m011sin 22LwLiLItm0sin uUt设设m0m0sin sin UitItR则则电场能量电场能量磁场能量磁场能量（a）电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等）电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等 WLm=WCm。L、C的电场能量和磁场能量作周期振荡的电场能量和磁场能量作周期振荡性的能量交换，而不与电源进行能量交换。性的能量交换，而不与电源进行能量交换。表
6、明表明（b b）总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。）总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。222mm1122LCCwwwLICULI总电感、电容储能的总值与品质因数的关系：电感、电容储能的总值与品质因数的关系：2200002200022LLILIQRRIRI T谐振时电路中电磁场的总储能谐振时一周期内电路消耗的能量Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，品质因数越大，品质因数越大，总的能量就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，总的能量就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，振荡程度就越剧烈。则振荡电路的振荡程度就越剧烈。则振荡电路的“品质品质
7、”愈好。一般讲愈好。一般讲在要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高在要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高Q值。值。4.4.RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性串联谐振电路的谐振曲线和选择性（1 1）阻抗的频率特性阻抗的频率特性1111()tgtgtgLCLXXCXRRR1j()|()|()ZRLZ C2222221|()|()()LCZ RLRXXRXC谐振曲线谐振曲线 物理量与频率关系的图形称谐振曲线，物理量与频率关系的图形称谐振曲线，研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。幅频特性幅频特性相频特性相频特性 ()0 O/2/2阻抗相频特性阻抗相频特性阻抗幅频
8、特性阻抗幅频特性1111()tgtgtgLCLXXCXRRR2222221|()|()()LCZ RLRXXRXCX()|Z()|XL()XC()R 0 Z()O 0 O|Y()|I()I()U/R从电流谐振曲线看到，谐振时电流达到最大，当从电流谐振曲线看到，谐振时电流达到最大，当 偏偏离离 0 0时，电流从最大值时，电流从最大值U/R降下来。即，串联谐振电路对降下来。即，串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出(表现为表现为电流最大电流最大)，而对远离谐振频率的信号加以抑制，而对远离谐振频率的信号加以抑制(电流小电流小)。这种对不
9、同输入信号的选择能力称为这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性选择性”。l 选择性选择性(selectivity)电流谐振曲线电流谐振曲线2.2.电流谐振曲线电流谐振曲线幅值关系：幅值关系：I()与与|Y()|相似。相似。UYCLRUI|)(|)1()(22 为了不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振为了不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的横、纵坐标分别除以曲线的横、纵坐标分别除以 0和和I(0)，即，即000()(),()()I I I I Il 通用谐振曲线通用谐振曲线2220()/|1()/11()1()I UZRI U RLRLCRRC220000001111()1()LQQR
10、RC220)1(11)(QII UYCLRUI|)(|)1()(22 Q越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，所以选择性好。较强的抑制能力，所以选择性好。因此，因此，Q是反映是反映谐振电路性质的一个重要指标。谐振电路性质的一个重要指标。Q=10Q=1Q=0.51 2 10()I I0.7070 通用谐振曲线通用谐振曲线012/1/20.707,.I I在处作一水平线 与每一谐振曲线交于两点对应横坐标分别为和12122100,.21 称为通频带称为通频
11、带BW(Band Width)可以证明：可以证明：021211.QI/I0=0.707以分贝以分贝(dB)表示：表示：20log10I/I0=20lg0.707=3 dB.所以，所以，1，2称为称为3分贝频率。分贝频率。Q=1 0 2 1I0.707I00 根据声学研究，如信号功率不低于原有最大值一半，根据声学研究，如信号功率不低于原有最大值一半，人的听觉辨别不出，这是定义通频带的实践依据。人的听觉辨别不出，这是定义通频带的实践依据。例例+_LCRu10 一信号源与一信号源与R、L、C电路电路串联，要求串联，要求 f0=104Hz，f=100Hz，R=15，请设，请设计一个线性电路。计一个线性
12、电路。解解40010 100100fQf40100 15 39.8210RQLmH 2 01 C6360pFLf(kHz)北京台北京台中央台中央台北京经济台北京经济台 L8206401026X1290166010340 660577129010001611I0=0.5I1=0.0152I2=0.0173I=U/|Z|(m mA)1C例例 一接收器的电路参数为：一接收器的电路参数为：L=250m mH,R=20,C=150pF(调好调好),U1=U2=U3=10m mV,0=5.5 106 rad/s,f0=820 kHz.+_+_+LCRu1u2u3_I0=0.5I1=0.0152I2=0.0
13、173I=U/|Z|(m mA)103.04%II小得多小得多收到北京台收到北京台820kHz的的节目节目。8206401200I(f)f(kHz)0203.46%II北京台北京台中央台中央台北京经济台北京经济台例例 一接收器的电路参数为：一接收器的电路参数为：U=10V =5 103 rad/s,调调C使电路中的电使电路中的电流最大，流最大，Imax=200mA，测得电容测得电容电压为电压为600V，求求R、L、C及及Q+_LCRuV解解 301050200 10URI6006010CCUUQUQU3050 60 605 10RQLmH 2 01 C6.67 FLm1.G、C、L 并联电路并
14、联电路R L C 串联串联G C L 并联并联01LC1j()ZRLC1j()YGCL9.9 9.9 并联电路的谐振并联电路的谐振+_SIGCLU01LC谐振角频率谐振角频率R L C 串联串联G C L 并联并联|Z|0 0O OR 0 OI()U/R 0 OU()IS/G LU CU RUU I CI LI GSII U|Y|0 0O OGR L C 串联串联G C L 并联并联电压谐振电压谐振电流谐振电流谐振UL(0)=UC(0)=QUIL(0)=IC(0)=QIS 0011 CCQG GLGL0011 LLQR RCRC推导过程如下：由定义得推导过程如下：由定义得00 CRGL2212
15、2CmCUQT GU02CfG2.2.电感线圈与电容器的并联谐振电感线圈与电容器的并联谐振实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电容器并联时，电路如图：电容器并联时，电路如图：jGB1jjYCRL2222j()()()LRCRLRL谐振时谐振时 B=0，即，即002200()L CR L20)(1LRLC CLR（1）谐振条件）谐振条件此电路发生谐振是有条件的，此电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，满足在电路参数一定时，满足21 ()0,RLRLCLC即时可以发生谐振一般线圈电阻一般线圈电阻R L，则等效导纳为：则等效导纳为：01LC22
16、2221j()j()()()()RLRYCCLRLRLL等效电路等效电路谐振角频率谐振角频率GeCL20()1eeLRGR20)(1LRLC (b)电流一定时，总电压达最大值：电流一定时，总电压达最大值：000LUI ZIRC(c)支路电流是总电流的支路电流是总电流的Q倍，设倍，设R L CI LI0I U00LCUIIUCL00000/1/(/)CLIULLIQIIURC LRCR00LCIIQII(a)电路发生谐振时，输入阻抗达最大值：电路发生谐振时，输入阻抗达最大值：RCLRLRLRRZ 2020200)()()(（2 2）谐振特点）谐振特点例例 如图如图R=10 的线圈其的线圈其QL=
17、100，与电容接成并联谐振电路，如与电容接成并联谐振电路，如再并联上一个再并联上一个100k 的电阻，的电阻，求电路的求电路的Q.解解 CLR100k RLQL0 100 RRQLL 10000 等效电路等效电路CLRe100k kRLRe1001010)(620 kReq50100/100501000105030 LRQeq 例例 如图如图RS=50k，US=100V，0=106，Q=100，谐振时线圈，谐振时线圈获取最大功率，求获取最大功率，求L、C、R及及谐振时谐振时I0、U0和和P。解解 1000 RLQL CLR50k uSi0u kRRLRSe50)(20 LC10 FCmHLR 002.05.05m mmARUISS110502100230 VUUS5020 WIUP05.000
