1、陈瑞祺中学陈瑞祺中学 高二数学组高二数学组（4）.对数函数的导数对数函数的导数:.1)(ln)1(xx .ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数指数函数的导数:.)()1(xxee ).1,0(ln)()2(aaaaaxx xxcos)(sin1）（3）.三角函数三角函数：xxsin)(cos2）（1）常函数：）常函数：(C)/0,(c为常数为常数)；（2）幂函数）幂函数：(xn)/nxn 1一复习回顾：一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式23232 (1);(2);1 (3);(4);(5)4.96.510 (6)23121yxyxyxyxyxxyxxx
2、 求下列函数的导数:求下列函数的导数:函数函数 y=f(x)在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f(x 1)f(x 2)，则则 f(x)在在G 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f(x 1)f(x 2)，则则 f(x)在在G 上是减函数上是减函数；若若 f(x)在在G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x)在在G上具有严格的单调性。上具有严格的单调性。G 称为称为单调区间单调区间G=(a,b)二、复习引入二、复习引入:(1)函数的单调性也叫函数的增减性；函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函
3、数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量单调区间：针对自变量x而言的。而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区区间；间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前以前,我们用定义来判断函数的单调性我们用定义来判断函数的单调性.在假设在假设x1x2的的前提下前提下,比较比较f(x1)0f(x)0，那么，那么 y=fy=f（x)x)在这个区间（在这个区间（a,b)a,b)内单
4、调递增；内单调递增；2)2)如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0f(x)0如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.0)(xf)(xf例例1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息:当当1 x 4,或或 x 1时时,当当 x=4,或或 x=1时时,)(xf;0)(xf;0)(xf.0)(xf试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.)(xf解解:当当1 x 4,或或 x 0(x)0,即,即X1X1,函数f(x)单调递增,函数f(x)单调递增 当 当f f/(x)0(x)0,即,即X1X 0 0,即即X X 0 0,函函数数f f(x x)单单调调递递增
5、增 当当f f/(x x)0 0,即即X X 0 0,即即-1 1 x x 1 1,函函数数f f(x x)单单调调递递增增 当当f f/(x x)0 0,即即X X 1 1,函函数数f f(x x)单单调调递递减减 又又f f/(1 1)=0 0,f f/(-1 1)=0 0,递递增增区区间间-1 1,1 1 单单调调递递减减区区间间(-1.判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性,并求出单调区间并求出单调区间:332(3)()3;(4)().f xx xf xxxx课课本本P P9 93 3:练练习习1 1(4 4)f f(x x)=x x3 3-x x2 2-x x f f/(x x)=
6、3 3x x2 2-2 2x x-1 1.当当f f/(x x)0 0,即即x x 1 1或或x x-1 13 3,函函数数f f(x x)单单调调递递增增 当当f f/(x x)0 0,即即-1 13 3 x x 1 1,函函数数f f(x x)单单调调递递减减 又又f f/(1 1)=0 0,f f/(-1 13 3)=0 0,递递增增区区间间 1 1,+单单调调递递减减区区间间-1 13 3,1 1 332(3)()3;(4)().f xx xf xxxx1.判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性,并求出单调区间并求出单调区间:总结总结:当遇到三次或三次以上的当遇到三次或三次以上的,或
7、图象很难或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。求定义域求定义域求求()fx令令()0()()0()fxfxfxfx 解解不不等等式式的的递递增增区区间间解解不不等等式式的的递递减减区区间间求单调区间求单调区间1 1什么情况下，用什么情况下，用“导数法导数法”求函数单调性、求函数单调性、单调区间较简便？单调区间较简便？2 2试总结用试总结用“导数法导数法”求单调区间的步骤？求单调区间的步骤？题题3 3 如图如图,水以常速水以常速(即单位时间内注入水的体积相即单位时间内注入水的体积相同同)注入下面四种底面积相同的容器中注入下面四种底面积相同的容器
8、中,请分别找出与各容请分别找出与各容器对应的水的高度器对应的水的高度h h与时间与时间t t的函数关系图象的函数关系图象.(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)h ht tOh ht tOh ht tOh ht tO 一般地一般地,如果一个函数在某一范围内导数如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得那么函数在这个范围内变化得快快,这时这时,函数的图象就比较函数的图象就比较“陡峭陡峭”(向上向上或向下或向下);反之反之,函数的图象就函数的图象就“平缓平缓”一些一些.如图如图,函数函数 在在 或或 内的图内的图象象“陡峭陡峭”,在在 或或 内的图象
9、平缓内的图象平缓.)(xfy),0(b)0,(a),(b),(af(x1)f(x2)0，即，即f(x1)f(x2)f(x)=在在(0，+)上是减函数上是减函数.x1x1例例4 证明函数证明函数f(x)=在在(0，+)上是减函数上是减函数.证法一：证法一：(用以前学的方法证用以前学的方法证)任取任取两个数两个数x1，x2(0，+)设设x1x2.21122111xxxxxxf(x1)f(x2)=2112xxxx x10，x20，x1x20 x1x2，x2x10，0点评：点评：比较一下两种方法，用求导证明是不比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用如果是更
10、复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性的优越性.证法二：证法二：(用导数方法证用导数方法证)x121xf(x)=()=(1)x2=，x0，21xx20，0.f(x)0，1xf(x)=在在(0，+)上是减函数上是减函数.证明:因为f(x)=2x3-6x2+7 /(x)=6x2-12x=6x(x-2),当x(0,2)时,f/(x)=6x(x-2)0(或或f(x)0 0 在在(-恒恒成成立立 当当a a=0 0时时,-2 2x x+1 1 0 0 当当a a a a 0 0 =(-2 2)2 2-4 4 a a 0 0 a a 1 13
11、 3 a a 1 13 3又又a a=1 13 3时时,f f/(x x)=x x2 2-2 2x x+1 1=(x x-1 1)2 2此此时时x x/(x x)0 0,而而f f/(1 1)=0 0递递增增区区间间也也是是(-2120 10 1已 知 函 数（），(若（）在(上 是 增 函 数，求的 取 值 范 围fxaxx,fxxx,a.322()f xax解：由已知得解：由已知得因为函数在（因为函数在（0，1上单调递增上单调递增32()0,即在（0，1上恒成立f xa-xx31max而()在（0，1上单调递增，()(1)=-1g xxg xg 1a-322当a1时，()f xx 1对x（
12、0，1）也有()0时，（）在(0,1)上是增函数f xa-f x所以a的范围是-1，+）在某个区间上，在某个区间上，f（x）在这个区间上单调递增）在这个区间上单调递增（递减）；但由（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于是不够的。还有可能导数等于0也能使也能使f（x）在这个区间上单调，）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证所以对于能否取到等号的问题需要单独验证()0(或0(或0 在(0,1上恒成立 即 a3x22 在(0,1上恒成立,设g(x)=3x22 因为g(x)在(0,1上是增函数 max=32,a32,又a=32时,f/(x)=3-3x2=3(1+x)(1-x)在(0,1)上,f/(x)0,而f/(1)=0 综上:a
