1、初等数学研究八轨迹1第八讲第八讲轨迹及探求轨迹及探求初等数学研究八轨迹2n一、轨迹的意义一、轨迹的意义1.1.轨迹定义：轨迹定义：满足某种条件满足某种条件C C的一切点所构成的图形的一切点所构成的图形F F，称为符合条件称为符合条件C C的点的轨迹。的点的轨迹。2.2.关于轨迹的证明：关于轨迹的证明：要判定一个图形要判定一个图形F F是符合条件是符合条件C C的点的点轨迹，必须从以下两方面去证明：轨迹，必须从以下两方面去证明：(1)(1)符合条件符合条件C C的所有点都在图形的所有点都在图形F F上；上；(完备性完备性)(2)(2)图形图形F F上的点都符合条件上的点都符合条件C C。(纯粹性
2、纯粹性)初等数学研究八轨迹3n 完备性、纯粹性的等价命题完备性、纯粹性的等价命题(1)完备性：不在图形完备性：不在图形F上的点都不符合条件上的点都不符合条件C；(2)纯粹性：不符合条件纯粹性：不符合条件C的点都不在图形的点都不在图形F上。上。也就是说也就是说(1)(1)，(2)(2)，所以，轨迹的证明可取：所以，轨迹的证明可取：(1)(2)；(1)(2)；(1)(2)；(1)(2)四种四种不同的形式不同的形式(其实质相同其实质相同)一般先选择一般先选择(1)(2)证明，非必须，一般不用其他方法证明，非必须，一般不用其他方法。初等数学研究八轨迹4例题选讲例题选讲n例例1.求证：求证：对定线段对定
3、线段ABAB张的张的角等于定角角等于定角的点的点P P的的轨迹，是以轨迹，是以ABAB为弦，为弦，所含的圆周角等于所含的圆周角等于的两个弧：弧的两个弧：弧AmBAmB和弧和弧AmAm B B。P.PABmmPPPPPP初等数学研究八轨迹5二、原人教版中学教材中六个基本轨迹定理二、原人教版中学教材中六个基本轨迹定理n中学几何课本中的六个基本轨迹定理中学几何课本中的六个基本轨迹定理：1、2、3、4、5、6 这六个基本轨迹定理，在以后的证(解)题或其他轨迹命题的证明中，可直接引用而不必证明。初等数学研究八轨迹6n1.到两个已知点的距离相等的点的轨迹,是 连结这两点的线段的垂直平分线连结这两点的线段的
4、垂直平分线;n2.和两条相交直线距离相等的点的轨迹,是 平分这两条已知直线所成角的两条互相垂直的直线平分这两条已知直线所成角的两条互相垂直的直线;n3.和两条平行直线距离相等的点的轨迹,是 和这两条直线平行并且距离相等的一条直线和这两条直线平行并且距离相等的一条直线;n4.和一条直线的距离等于定长线段的点的轨迹,是 和这条直线平行并且距离等于定长的两条直线和这条直线平行并且距离等于定长的两条直线;n5.和已知点的距离等于定长线段的点的轨迹,是 以已知点为圆心以已知点为圆心,以定长线段为半径的圆以定长线段为半径的圆;n6.对一条线段所张的角等于定角的点的轨迹,是 以这条线段为弦以这条线段为弦,所
5、含的圆周角等于这定角的两个弧所含的圆周角等于这定角的两个弧.初等数学研究八轨迹7三、轨迹命题的三种类型三、轨迹命题的三种类型n 轨迹命题的一般形式是轨迹命题的一般形式是“具有性质的具有性质的点的轨迹是图形点的轨迹是图形”。其中命题的题设部分。其中命题的题设部分就是轨迹的条件就是轨迹的条件C C，结论部分就是轨迹的图形结论部分就是轨迹的图形F F。由于对轨迹的图形由于对轨迹的图形F F的叙述的方式不同，轨迹命的叙述的方式不同，轨迹命题通常分为三种类型。题通常分为三种类型。初等数学研究八轨迹81.第一类型第一类型n 命题的结论中明白的给出了轨迹图形的形命题的结论中明白的给出了轨迹图形的形状、大小状
6、、大小(如果有大小可言如果有大小可言)和位置。和位置。如：平面内到两个定点距离相等的点的轨如：平面内到两个定点距离相等的点的轨迹是以两定点为端点的线段的垂直平分线。迹是以两定点为端点的线段的垂直平分线。这类命题具有定理的形式，解题时只需要进行证明即这类命题具有定理的形式，解题时只需要进行证明即可。证明步骤是：可。证明步骤是：证完备性；证纯粹性；下结论。证完备性；证纯粹性；下结论。初等数学研究八轨迹92.第二类型第二类型n 命题的结论中给出了轨迹图形的形状，命题的结论中给出了轨迹图形的形状，而对其大小而对其大小(如果有大小可言如果有大小可言)和位置叙述不和位置叙述不完全，或没有涉及。完全，或没有
7、涉及。如：平面内到两个定点距离相等的点的如：平面内到两个定点距离相等的点的轨迹，是一条直线。轨迹，是一条直线。初等数学研究八轨迹10n 这类轨迹命题同样具有定理的形式。但在这类轨迹命题同样具有定理的形式。但在解题方面与第一类型又有所不同。首先需要探解题方面与第一类型又有所不同。首先需要探知轨迹的大小和位置。因此，解决这类命题的知轨迹的大小和位置。因此，解决这类命题的方法步骤大致为：方法步骤大致为：探求轨迹图形的位置和大小，使其基本轮廓探求轨迹图形的位置和大小，使其基本轮廓确定；确定；证明包括证完备性、纯粹性、下结论证明包括证完备性、纯粹性、下结论讨论：即研究给定的条件对轨迹图形的影响。讨论：即
8、研究给定的条件对轨迹图形的影响。(有些特殊的点、线问题有些特殊的点、线问题)初等数学研究八轨迹113.第三类型第三类型n 命题中只给出了题设条件，没有结论，属于问题命题中只给出了题设条件，没有结论，属于问题形式，故称为形式，故称为轨迹问题轨迹问题。如如:求平面内到两个定点的距离相等的点的轨迹。求平面内到两个定点的距离相等的点的轨迹。解决此类问题的方法步骤与第二类型轨迹命题类解决此类问题的方法步骤与第二类型轨迹命题类似：似：探求轨迹图形的形状、和位置；证明；讨探求轨迹图形的形状、和位置；证明；讨论。探求过程可能较繁难，这是轨迹命题中最难的一论。探求过程可能较繁难，这是轨迹命题中最难的一种类型。种
9、类型。初等数学研究八轨迹12四、轨迹命题举例四、轨迹命题举例(一一)n第一类型第一类型 例例3.一底边固定而其邻边为定长的平行四边形的对角线的交点的轨迹，为以固定底边的中点为圆心，以定长为直径的圆。初等数学研究八轨迹13lABCD.O 已知：已知：AB为定线段，另一为定线段，另一定长为定长为 l(如图如图)，ABCD是以线是以线段段AB为一边、邻边为一边、邻边 AD=l 的一的一平行四边形，平行四边形，O是以是以AB中点中点为圆心，为圆心，为半径的圆。为半径的圆。求证：这样的平行四边形的求证：这样的平行四边形的对角线交点的轨迹就是对角线交点的轨迹就是 O.2lP初等数学研究八轨迹14证明：证明
10、：(1)完备性完备性 设P为平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，连OP，则因O是AB的中点，P是BD的中点，知OP是ABD的中位线，从而 ，即点P在o上 lABCDP.Ol21AD21OP.O初等数学研究八轨迹15l(2)纯粹性纯粹性 设P是 O上的任一点，连AP并延长至C点，使PC=AP,连BP并延长到D点，使PD=BP，则ABCD是一个平行四边形，对角线交点为P。l.OABCDPCD.P 由于O、P分别是AB、BD的中点，因而AD=2OP，而P在 O上，OP=。因此，AD=2OP=2 =l。即 O上任一点(与AB的交点除外)均为以AB为一边，定长l为邻边的平行四边形的对角线交点。综
11、合综合(1)、(2)命题得证。命题得证。l21l21初等数学研究八轨迹16关于轨迹上的特殊点关于轨迹上的特殊点n极限点极限点题设图形处于极限位置时产生的点；n临界点临界点在轨迹端点处的极限点；n终止点终止点处在轨迹端点位置，本身又属于轨迹，不是临界点。这些特殊点对于确定轨迹图形的形状、大小和位置有时起着决定性作用，通常在解决轨迹的讨论部分，应指出哪些是特殊点才算完整。n静点静点相对于轨迹上的一般动点，位置确定的点。另外还有孤立点等。初等数学研究八轨迹17第二类型第二类型 解决这类命题解决这类命题与第一类命题比较，与第一类命题比较，需增加探求过程，需增加探求过程，即通过合理的猜测即通过合理的猜测
12、或预测确定轨迹图或预测确定轨迹图形的大小形的大小(有大小可有大小可言言)和位置，再如同和位置，再如同第一类命题进行证第一类命题进行证明、讨论。明、讨论。初等数学研究八轨迹18n 例例4.和两个定点距离等于定比和两个定点距离等于定比(不等于不等于1)的点的轨迹是一个的点的轨迹是一个圆周，称为阿氏圆。圆周，称为阿氏圆。已知：已知：A、B为两定点。求：点为两定点。求：点P的轨迹，使的轨迹，使 PAPB=m(常常数数)(m1)探求：探求：倘若倘若P P点合乎条点合乎条件，易知件，易知P P点关于直线点关于直线ABAB的的对称点也合乎条件，即所对称点也合乎条件，即所求圆周应以求圆周应以ABAB为对称轴，
13、为对称轴，那么圆周直径就在直线那么圆周直径就在直线 ABAB上了。上了。.A.BP.初等数学研究八轨迹19.A.BP.在线段在线段AB及延长线上分别取及延长线上分别取C、D，并使并使ACCB=ADDB=m,则则C、D合乎条件，故轨合乎条件，故轨迹可能是以迹可能是以CD为直径的圆周。为直径的圆周。连连PC、PD，则则PC、PD分别为分别为PAB中中APB的内、外角平分线，因的内、外角平分线，因而而PCPD，可见可见P确为以确为以CD为直径的为直径的圆周上一点。圆周上一点。.C.D初等数学研究八轨迹20证明：证明：(1)完备性完备性 由探求可知，凡符合条件的点都在以CD为直径的圆上。F(2)纯粹性
14、纯粹性 设P是以CD为直径的圆周上任一点，连PA、PB、PC、PD，过点C作直线平行于PD，分别交PA、PB于E、F两点。则ECPD=ACAD，CFPD=CBBD.由于ACCB=ADDB=m；所以ACAD=CBBD(交换内项)；则ECPD=CFPD；于是 EC=CF.又 PCPD，EFPD.PCEF.从而PC平分APB，因此PAPB=ACCB=m;即点即点P符合条件，命题得证符合条件，命题得证。E.A.B.C.DP.初等数学研究八轨迹21第三类型第三类型轨迹命题的第三轨迹命题的第三类型解决起来比第二类型解决起来比第二类型更复杂一些，主类型更复杂一些，主要体现在要体现在探求探求上，因上，因为命题
15、中并未告知图为命题中并未告知图形的形状、大小和位形的形状、大小和位置，均需由解题者探置，均需由解题者探求、预测。求、预测。初等数学研究八轨迹22常用的五种探求方法常用的五种探求方法n1.性质预测法性质预测法.n2.2.找特殊点法找特殊点法.n3.3.初等变换法初等变换法.n4.4.描迹法描迹法.n5.5.间接求迹法间接求迹法.初等数学研究八轨迹231.性质预测法性质预测法主要是根据轨迹的对主要是根据轨迹的对称性和范围来探求轨迹。称性和范围来探求轨迹。例例7.从已知半圆直径从已知半圆直径AB延延长线上取一点长线上取一点C，作切线作切线CT及及OCT的平分线的平分线CP，从圆从圆心心O作这条角平分
16、线的垂线，作这条角平分线的垂线，求定垂足求定垂足P的轨迹。的轨迹。PTCOAB初等数学研究八轨迹24过过O作直径作直径AB的垂半径的垂半径OD，则已知图形关于则已知图形关于OD对称；对称；由于条件也关于由于条件也关于OD对称，故轨对称，故轨迹应关于迹应关于OD对称。当点对称。当点C趋近趋近于于B时，所论角平分线趋近于时，所论角平分线趋近于BD，动点动点P趋近于趋近于BD的中点的中点G，因而点因而点G及和及和G关于关于OD对称的对称的点点H(AD的中点的中点)为轨迹的两个为轨迹的两个端点。端点。M H D探求：探求：GNEFPTABOCE初等数学研究八轨迹252.找特殊点法找特殊点法探求轨迹时可
17、以使其动点移动到一些特殊的位置上，从而求轨迹上相应的特殊点，然后再根据这些特殊点的位置来判断所求的图形，这种方法称为特殊点法特殊点法。这种方法常同性质预测法一起使用。初等数学研究八轨迹26n例8.AB是定半圆所在圆的直径，O是圆心，C是半圆上一个动点，CDAB，D是垂足，在半径OC上截取OP使OPCD，求P点的轨迹。(如图)CPBAOD初等数学研究八轨迹27M CBAPOD 探求：探求：由已知条件看出，动由已知条件看出，动点点P随随C点的移动而移动。当点的移动而移动。当C点移点移动到动到A点的位置时，点的位置时，OPCD0，即点即点P与圆心与圆心O重合，故而重合，故而O是轨迹是轨迹上一个特殊点
18、。当上一个特殊点。当C点移动到点移动到AB弧弧的中点的中点M的位置时，的位置时，OPCDOM，即即P点与点与M点重合，因此点重合，因此M是轨迹上是轨迹上的又一特殊点。的又一特殊点。初等数学研究八轨迹28M CBAPOD 给定的半圆及条件皆关于给定的半圆及条件皆关于OM对称，所以轨迹也应以对称，所以轨迹也应以OM为对称轴。为对称轴。设设P是满足条件的任意点，连是满足条件的任意点，连PM，则则CDOP，OCOM，OCDMOP，有有 OCD MOP，OPMCDO90 故可预测所求轨迹应故可预测所求轨迹应为以为以OM为直径的圆。为直径的圆。初等数学研究八轨迹293.描迹法描迹法按照题设条件作出轨迹若干
19、点，再用光滑的按照题设条件作出轨迹若干点，再用光滑的曲线曲线(直线直线)把它们连接起来，初步得到所求把它们连接起来，初步得到所求轨迹的大致形状和位置，然后按照定形、定轨迹的大致形状和位置，然后按照定形、定位的条件来确定轨迹。这种方法称为位的条件来确定轨迹。这种方法称为描迹法。描迹法。请大家留意关于描迹法的注意点！初等数学研究八轨迹30例例12三角形有一内角固定，夹此角的两边的和三角形有一内角固定，夹此角的两边的和为定值，求第三边中点的轨迹。为定值，求第三边中点的轨迹。n题设：题设：在ABC中，角A的位置固定，ABACl(定长)，P为BC的中点。n求：求：点P的轨迹。ABCP初等数学研究八轨迹3
20、1探求：探求：先寻求轨迹中的一些特殊点。当C点移动到A点处，则P在P1位置：AP1 ；当B点移动到A点处，则P在P1位置，AP1 。因此，P1与P1为轨迹的临界点，因而轨迹可能是线段或圆弧。l21l21ABCPB1C1P1 P1BBCCCCC初等数学研究八轨迹32继续探求：继续探求：；的中点为取，令；的中点为取，令3333322222PCB43AC41ABPCB32AC31ABllllB2 C2 ABCPB1C1P1 P1B3 C3P3 顺次连接顺次连接P P1 1、P P2 2、P P3 3、P P1 1，可以看到它们大致在可以看到它们大致在一条直线上，故可猜测：轨一条直线上，故可猜测：轨迹
21、的图形可能是以迹的图形可能是以P P1 1、P P1 1为端点的线段。证明可参为端点的线段。证明可参看赵振威本看赵振威本P P144144例例2 2，请大家，请大家自行完成自行完成 P2初等数学研究八轨迹334间接求迹法间接求迹法n(1)直接求迹法直接求迹法n(2)间接求迹法间接求迹法通过类比、比较由熟知命题或熟知图形推测轨迹图形的方法，称为间接求迹法。间接求迹法。初等数学研究八轨迹34例例3一个动点向定三角形的三边引垂线，并且三一个动点向定三角形的三边引垂线，并且三个垂足是共线的，求这个动点的轨迹。个垂足是共线的，求这个动点的轨迹。n题设：ABC为定三角形，P为动点，E、F、G分别是从P向ABC的三边AB、BC、CA引垂线所得的垂足，并且E、F、G三点共线。n求：P点的轨迹。ABC PE F G初等数学研究八轨迹35n小结：小结：n 前面共介绍了初等几何中探求轨迹问题前面共介绍了初等几何中探求轨迹问题常见的五种方法，但在探求轨迹时，我们还常见的五种方法，但在探求轨迹时，我们还应注意以下两点：一、必须注意轨迹的界限，应注意以下两点：一、必须注意轨迹的界限，否则就会出现有瑕的轨迹二、必须仔细、周否则就会出现有瑕的轨迹二、必须仔细、周密、全面地审题，要注意挖掘题设条件中蕴密、全面地审题，要注意挖掘题设条件中蕴含着的多种情况。含着的多种情况。
