1、1.2.2 同角同角三角函数三角函数的基本关系的基本关系一：温故知新一：温故知新M 问题问题2.图图1中的三角函数线是：中的三角函数线是：正弦线正弦线；余弦线余弦线；正切线正切线.yxxy)0(x)0,1(ATcos；tansin；问题问题3.问题问题1中三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的中三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？问题问题1.如图如图1，设，设 是一个任意角，是一个任意角，它的它的终边终边 与单位圆交于与单位圆交于 ，那么由三，那么由三角函数
2、的定义可知：角函数的定义可知：),(yxPOxyP图1MPOMAT1（x,y）二、探究新知：二、探究新知：问题问题 当角当角 的终边在坐标轴上时的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？关系式是否还成立？1、探究同角正弦、余弦之间的关系、探究同角正弦、余弦之间的关系OxyPM图2 当角当角 的终边在的终边在 轴上时轴上时,x110cossin22101cossin22y当角当角 的终边在的终边在 轴上时轴上时,问题当角问题当角 的终边不在坐标轴上时正弦、余弦的终边不在坐标轴上时正弦、余弦之间的关系是什么？（如图）之间的关系是什么？（如图）222OPOMMP122 xy1cossin2212cos2
3、sin (），都有结论：对于任意角R 1 即可以写成，点坐标可以表示为用，由勾股定理得，且三者构成直角三角形，半径，余弦线的正弦线角POPOPOMMP平方关系平方关系sin,cos2.观察任意角观察任意角 的三角函数的定义的三角函数的定义,siny,cosx)0(,tanxxytancossin商的关系商的关系有什么样的关系呢？、tancossin思考：思考：cossintan,1cossin22 这两个公式的前提是这两个公式的前提是“同角同角”，因此因此 注：注：商的关系不是对任意角都成立商的关系不是对任意角都成立 ，是在等式两，是在等式两边都有意义的情况下，等式才成立边都有意义的情况下，等
4、式才成立),2(Zkk2222sinsinsinsinsin写成写成的平方，不能将的平方，不能将的简写，读作的简写，读作是是三、例题互动三、例题互动类型一：类型一：应用同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值问题应用同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值问题解：解：53)54(1sin1cos22 得得由由1cossin22 所所以以是是第第二二象象限限角角因因为为,0cos,53cos 34)35()54(cossintan的余弦值和正切值。求角是第二象限角，且、已知例,54sin1的值，求、已知变式tan,cos54sin1解解：当当 是第一象限角时是第一象限角时，0cos53259co
5、s343554cossintan当当 是第二象限角时，是第二象限角时，0cos53259cos34)35(54cossintan得由1cossin220sin53sin1cos2是第一或第二象限角角练习：已知练习：已知 ，求，求sin、tan的值的值.178cos3tan4 sin,cos例例2.已知已知，求，求的值。的值。的值，求练习：已知cos,sin3tan1cossin22tancossin方程方程(组组)思想思想讨论交流：讨论交流：的作用。公式1cossin22移项变形：移项变形：2222cos1sinsin1cos常用于正弦、余常用于正弦、余弦函数的相互转弦函数的相互转化，相互求解
6、。化，相互求解。即即在一、二象限时，当在三、四象限时，当22cos1cos1sin是一、四象限时当是二、三象限时，当,sin1sin122cos在开方时，由角在开方时，由角 所在的象限来确定开所在的象限来确定开方后的符号。方后的符号。的特点、公式tancossin2变形：变形：tansincos由正弦正切，求余弦由正弦正切，求余弦tancossin由余弦正切，求正弦由余弦正切，求正弦tancossin由正弦余弦，求正切由正弦余弦，求正切注：注：所得三角函数值的符号是由另外两所得三角函数值的符号是由另外两个三角函数值的符号确定的。个三角函数值的符号确定的。的的值值。求求、已已知知例例 tan,2
7、70180,55cossin300 1cossin55cossin22恒等式，得到方程组解：依题意和基本三角55cos552cos 02cos5cos5 ,sin2 或或由由方方程程解解得得得得消消去去55cos ,0cos27018000 所所以以，因因为为.2cossintan ,552sin ,于于是是代代入入原原方方程程组组得得的值。求是三角形的内角，tan,51cossin变式变式1的值。求是第二象限角，且已知cos-sin,2tan变式变式2cossin2sin)3(2cossin2sin1)2(cos5sin2cos2sin)1(,4tan32求、已知变式变式1的逆用：的逆用：2
8、2cossin10280sin-1 4 化简例000280cos80cos80cos解：原式变式变式1：化化简简21 sin 440变式变式2化简化简1 2sin40 cos401tancossin .5化简例 类型二：应用同角三角函数的基本关系化简三角函数式类型二：应用同角三角函数的基本关系化简三角函数式解题思想：解题思想：统一消元统一消元的思想的思想,常用常用化简方法化简方法-“切化弦切化弦”。1cossincossin解：原式coscossincossin cos 课本课本P22 B组组1：22cos)tan1(化简例例6xxxxcossin1sin1cos求证证法一：证法一：证法二：证
9、法二：0cos,0sin1cossin1)sin1)(sin1(22xxxxxx且因为所以xxxxcossin1sin1cos类型三类型三：应用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式应用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式 cossin1cosx-1cosxxx因为xxxxcos)sin1(coscos 22xxxxcos)sin1()sin1(cos220所以，原式成立所以，原式成立可知，由0sin10cosxx左边右边xxcossin1所以原式成立所以原式成立证法三：证法三：)sin1)(sin1()sin1(cosxxxxxxx2sin1)sin1(cosxxx2cos)sin1(cos；
10、求证练习：cos22sin)1(cos22练习：练习：P22 第第13题题三角函数恒等式证明的一般方法三角函数恒等式证明的一般方法（2）证明原等式的等价关系：）证明原等式的等价关系：利用作差法证明利用作差法证明等式两边之差为零。等式两边之差为零。注：注：要注意两边都有意义的条件下才恒等要注意两边都有意义的条件下才恒等（1）从一边开始证明它等于另一边（由繁到简）从一边开始证明它等于另一边（由繁到简）（3）证明左、右两边等于同一式子）证明左、右两边等于同一式子四、归纳总结：四、归纳总结：（2 2）三种基本题型三种基本题型:三角函数值的计算问题：利用平方关系时，三角函数值的计算问题：利用平方关系时，
11、往往要开方，因此要先根据角的所在象限确定往往要开方，因此要先根据角的所在象限确定符号，即将角所在象限进行分类讨论。符号，即将角所在象限进行分类讨论。化简题：一定要在有意义的前提下进行。化简题：一定要在有意义的前提下进行。证明问题。证明问题。（1）同角三角函数的基本关系式）同角三角函数的基本关系式R,1cossin22),2(,tancossinZkk 本节课同学们有哪些学习体验与收获，学到了哪些数学知识与方法本节课同学们有哪些学习体验与收获，学到了哪些数学知识与方法结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End感谢聆听不足之处请大家批评指导Please Criticize And Guide The Shortcomings演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
