1、 数学实验数学实验 高等数学分册高等数学分册数学实验 第1章 函数与极限第1章函数与极限验证性试验验证性试验实验一实验一 函数图形函数图形实验二实验二 函数的极限函数的极限实验三实验三 复合函数与反函数复合函数与反函数第1章函数与极限-验证性实验 实验一 函数图形【实验目的】1.了解基本初等函数及图形特征，会用Matlab图形命令画图2.会画复合函数、参量函数及分段函数的图形【实验要求】熟悉Matlab图形命令plot第1章函数与极限-验证性实验【实验内容】1.利用图形命令分别在同一坐标系下画出下列基本初等函数的图形，并观察图形特征（1）【实验过程】1.（1）x=-1:0.01:1;y1=x;
2、y2=x.2;y3=x.3;y4=x.4;plot(x,y1,-,x,y2,:,x,y3,*,x,y4,-);gtext(y=x),gtext(y=x2),gtext(y=x3),gtext(y=x4)432,xyxyxyxy第1章函数与极限-验证性实验运行结果：图1-1 幂函数图第1章函数与极限-验证性实验（2）x=linspace(-1,1,60);y1=2.x;y2=10.x;y3=(1/3).x;y4=exp(x);plot(x,y1,-,x,y2,:,x,y3,*,x,y4,-);xxxxeyyyy,)31(,10,2第1章函数与极限-验证性实验运行结果：图1-2 指数函数图第1章函
3、数与极限-验证性实验2.利用图形命令画出下列函数的图形（1）;x=-5:0.01:5;y=3*x.2-x.3;plot(x,y);323xxy5,5x第1章函数与极限-验证性实验运行结果：图1-3 函数的 图形323xxy第1章函数与极限-验证性实验（2）;x=-pi:0.01:pi;y=cos(4*x);plot(x,y);xy4cos,x第1章函数与极限-验证性实验运行结果：图1-4 函数 的图形xy4cos第1章函数与极限-验证性实验 实验二 函数的极限【实验目的】1.熟悉函数极限的概念2.掌握求各种类型函数的极限的方法3.会用Matlab命令求函数极限【实验要求】熟悉Matlab中求极
4、限的命令limit第1章函数与极限-验证性实验【实验内容】1.计算下列极限(1)(2)【实验过程】（1）syms x a b limit(sin(a*x)/sin(b*x),x,0)运行结果：ans=a/bbxaxxsinsinlim0 xxxxsincos1lim0第1章函数与极限-验证性实验（2）syms x limit(1-cos(x)/(x*sin(x),x,0)运行结果：ans=1/2第1章函数与极限-验证性实验 实验三 复合函数与反函数【实验目的】1.了解简单函数与复合函数的关系，理解能构成复合函数的条件，掌握如何求几个函数的复合函数2.掌握函数的反函数概念，会求函数的反函数【实验
5、要求】熟悉Matlab中求复合函数的命令compose,以及求反函数的命令finverse第1章函数与极限-验证性实验【实验内容】1求下列函数的复合函数(1)，求【实验过程】1.（1）syms x y f=1/(1+x2);g=sin(y);compose(f,g)运行结果：ans=1/(sin(y)2+1)由上述结果可知：ygxfsin,112)(ygf()f g y21sin1y第1章函数与极限-验证性实验2求下列函数的反函数（1）(1)syms xy=1/tan(x);g=finverse(y)运行结果：g=atan(1/x)由上述结果可知：的反函数为xytan1xytan1xg1arc
6、tan第1章函数与极限设计性实验设计性实验实验一实验一 数据拟合问题数据拟合问题实验二实验二 复利问题复利问题第1章函数与极限设计性实验实验一实验一 数据拟合问题数据拟合问题【实验目的】1.加深对函数基本概念的理解2.讨论了函数的实际应用问题3.掌握Matlab软件中有关函数、画图等命令【实验要求】掌握函数基本知识，Matlab软件第1章函数与极限设计性实验【实验内容】某研究所为了研究氮肥(N)的施肥量与土豆产量的影响，做了十次实验，实验数据见表1，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示千克。试分析氮肥的施肥量与土豆产量之间的关系。第1章函数与极限设计性实验 表1 氮肥施肥量与土豆产量关系的实验
7、数据【实验方案】设y代表土豆产量，x代表氮肥的施肥量。显然，y和x之间应该有某种关系，假设y与x之间的关系为函数关系，则问题就转化为已知数据点(xi,yi)位置关系，寻找函数y=y(x)。这就是数据拟合问题。所谓数据拟合，就是从一组实验数据点(xi,yi)出发，寻找函数y=y(x)的一个近似表达式y=f(x)(称为经验公式)。从几何上看，就是希望根据给定的这些数据点(xi,yi)，求曲线y=y(x)的一条近似曲线y=f(x)。近似曲线y=f(x)不必过每一个数据点，但如果近似曲线的效果要好的话，那么数据点(xi,yi)离近似曲线的距离应该尽量小。用偏差平方和函数W=施肥量x(kg/ha)034
8、67101135202259336404471产量y(t/ha)15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.752iii(f(x)-y)第1章函数与极限设计性实验 来刻画近似曲线的效果，偏差平方和函数越小则近似曲线的拟合效果越好，因此最好的近似曲线应该满足 。多项式函数由于性质良好，计算方便，常常用来进行数据拟合。可以考虑采用1，x，x2作为基函数来拟合这组数据(即用二次多项式函数a0+a1x+a2x2作为经验公式)，此时偏差平方和函数为 W=其中n为数据点的数目。要使偏差平方和函数W最小，需要2iiimin(f(x)-y)2201i2iii
9、=1(a+a x+a x-y)n201211123012111123420121111nnniiiiiinnnniiiiiiiiinnnniiiiiiiiinaaxaxyaxaxaxx yaxaxaxx y第1章函数与极限设计性实验 (该方程组称为法方程组)，将实验数据(xi,yi)代入上式，解得 a0=14.7391,a1=0.1973139,a2=-0.000339492 即拟合函数为 y=14.7391+0.1973139x-0.000339492x2 从图1-10可以看出拟合效果比较好，但是是否还可以更好呢？一般而言，拟合次数的提高可以使得拟合效果变好，但是并不是次数越高越好。现在提高
10、拟合次数，将基函数由1，x，x2修改为1，x，x2，x3(三次拟合)，1，x，x2，x3，x4(四次拟合)，得到拟合图1-5至图1-9。从图形可以看出拟合曲线的次数在二、三、四、五次拟合的效果都相差不大，但是高次拟合效果反而不理想，例如本例中的八次拟合，所以在本例中使用二次拟合效果就比较好了，拟合函数为 y=14.7391+0.1973139x-0.000339492x2第1章函数与极限设计性实验【实验过程】clearx=0 34 67 101 135 202 259 336 404 471;y=15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 4
11、0.83 30.75;p=polyfit(x,y,2);disp(num2str(p(1),*x2+,num2str(p(2),*x+,num2str(p(3);xx=linspace(0,471,100);yy=polyval(p,xx);plot(x,y,r*,xx,yy)第1章函数与极限设计性实验运行结果：图1-5 二次拟合 图1-6 三次拟合 图1-7 四次拟合 图1-8 五次拟合第1章函数与极限设计性实验 图1-8 八次拟合 第1章函数与极限设计性实验 实验二实验二 复利问题复利问题【实验目的】1.加深对函数极限概念的理解2.讨论极限在实际问题中的应用3.会用Matlab命令求函数极
12、限【实验要求】掌握极限概念，Matlab软件求函数极限的命令limit第1章函数与极限设计性实验【实验内容】复利，即利滚利。不仅是一个经济问题，而且是一个古老又现代的经济社会问题。随着商品经济的发展，复利计算将日益普遍，同时复利的期限将日益变短，即不仅用年息、月息，而且用旬息、日息、半日息表示利息率。现在我们已进入电子商务时代，允许储户随时存款或取款，如果一个储户连续不断存款和取款，结算本息的频率趋于无穷大，每次结算后将本息全部存入银行，这意味着银行不断地向储户支付利息，称为连续复利问题。若银行一年活期年利率为0.06，那么储户存10万元的人民币，如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利
13、息税的情况下，由于复利，显然这比一年结算一次要多，因为多次结算增加了复利。结算越频繁，获利越大。连续复利会造成总结算额无限增大吗？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为百万富翁？第1章函数与极限设计性实验【实验方案】设本金为p，年利率为r，若一年分为n期(即储户结算频率为n)，每期利率为r/n,存期为t年，依题意，第一期到期后利息为 本金*利率=p*r/n 第一期到期后的本利和是 本金+利息=p+p*r/n=p(1+r/n)第1章函数与极限设计性实验 因规定按复利计息，故第二期开始时的本金为p(1+r/n)，第二期到期后的利息应为 本金*利率=p(1+r/n)*r/n 第二期到期后的本
14、利和是 本金+利息=p(1+r/n)+p(1+r/n)*r/n=p(1+r/n)2 ，第n期到期后的本利和是 p(1+r/n)n 存期为t年(事实上是有tn期)，到期后的本利和为 p(1+r/n)tn 随着结算次数的无限增加，即在上式中n,t=1年后本息共计 10.6184(万元)随着结算次数的无限增加，一年后本息总和将稳定于10.6184万元，储户并不能通过该方法成为百万富翁。实际上，若nnlim100000r/n（1+）第1章函数与极限设计性实验 年利率为r，一年结算无限次，总结算额有一个上限，即100000*exp(r)元。它表明在n时，结果将稳定于这个值。而且用复利计息时，只要年利率不
15、大，按季、月、天连续计算所得结果相差不大。第1章函数与极限设计性实验 【实验过程】syms n a=limit(100000*(1+0.06/n)n,n,inf)a=100000*exp(3/50)一年结算无限次，总结算额有上限为 syms n ra=limit(100000*(1+r/n)n,n,inf)a=100000*exp(r)第1章函数与极限设计性实验 思考与提高 1.本世纪初，瘟疫还常在某些地区流行。现假设有这样一种传染病，任何人得病后，在传染期内不会死亡，且最初设有A人患病，每个人年平均传染率为k,治愈率为i，若一年内等时间间隔检测n次，则一年后患病人数为多少？若检测次数无限增加
16、，一年后传染病人数会无限增加吗？2.一条长凳被牢牢固定在地上，凳面水平。考虑若干块砖在长凳一端叠成阶梯状而尽量向外延伸。一块砖放在长凳右端极端位置是砖的一半在外，但第二块砖若任放一半必会倒下。应如何放置这两块砖？n块砖呢？理工数学实验第2章 一元函数微分法 第2章一元函数微分法验证性实验验证性实验实验一实验一 初等函数的导数初等函数的导数实验二实验二 隐函数与参量函数的导数隐函数与参量函数的导数实验三实验三 函数的微分函数的微分实验四实验四 导数的应用导数的应用 第2章一元函数微分法验证性实验实验一实验一 初等函数的导数初等函数的导数【实验目的】1.熟悉基本求导公式，掌握初等函数的求导方法2.
17、会求函数在给定点处的导数值【实验要求】熟悉，Matlab中的求导命令diff 第2章一元函数微分法验证性实验【实验内容】1.求下列函数的导数 (1)(2)【实验过程】1.（1）syms x y=exp(x)*(sin(x)+cos(x);diff(y)运行结果：ans=exp(x)*(sin(x)+cos(x)+exp(x)*(cos(x)-sin(x)即函数的导数为 )cos(sinxxeyx11ln23xxyxexxexxeyxxxcos2)sin(cos)cos(sin 第2章一元函数微分法验证性实验（2）syms xy=log(x3+1)/(x2+1);diff(y)运行结果：ans=
18、(3*x2/(x2+1)-2*(x3+1)/(x2+1)2*x)/(x3+1)*(x2+1)即函数的导数化简得)1)(1(2332324xxxxxy2.求下列函数在给定点处的导数值 （1）已知函数 ，求 ；2.（1）syms x;f=1/x;f1=diff(f,x);ff=inline(f1);x=1;ff(1)运行结果：ans=-1 x=-2;ff(-2)运行结果：ans=-0.2500 xxf1)()2(),1(ff 第2章一元函数微分法验证性实验 第2章一元函数微分法验证性实验 实验二实验二 隐函数与参量函数的导数隐函数与参量函数的导数【实验目的】1掌握隐函数求导的方法和步骤2掌握参量函
19、数求一阶导数和二阶导数的方法和公式【实验要求】熟悉Matlab中解方程的命令solve和求导命令diff 第2章一元函数微分法验证性实验【实验内容】1.求下列隐函数的导数 (1)设 ，求【实验过程】1.（1）解法一：syms x y;f=solve(x2+y2-R2=0,y);diff(f,x)运行结果：ans=-1/(-x2+R2)(1/2)*x 1/(-x2+R2)(1/2)*x 222Ryxy 第2章一元函数微分法验证性实验 即 或说明：对于能从方程中求出函数显示形式的题可以采用这种做法。解法二：syms x y R;f=x2+y2-R2;f1=diff(f,x);f2=diff(f,y
20、);-f1/f2运行结果：ans=-x/y 即 说明：对于不能从方程中解出函数显示形式的题要采用这种做法。22xRxy22xRxyyxy 第2章一元函数微分法验证性实验2.求下列参量函数的导数 （1）已知 ，求2.(1)syms t;x=t2;y=4*t;f=diff(y,t);f1=diff(x,t);f2=f/f1运行结果：f2=2/t 即 tytx4222,dxyddxdytdxdy2 第2章一元函数微分法验证性实验 实验三实验三 函数的微分函数的微分【实验目的】1.懂得函数的求导与微分的关系2.会求函数的导数和微分【实验要求】熟悉Matlab中的求导命令diff，赋值命令inline.
21、第2章一元函数微分法验证性实验【实验内容】1.求下列函数的微分 （1）;【实验过程】1.（1）syms x;f=log(sin(x);f1=diff(f,x)运行结果：f1=cos(x)/sin(x)即：dyxysinlncostansinxdydxxdxx 第2章一元函数微分法验证性实验 实验四实验四 导数的应用导数的应用【实验目的】1.会写函数的Taylor公式和Maclaurin公式2.掌握求函数的极值和最值的方法3.懂得一点处导数的几何意义【实验要求】熟悉Matlab中求Taylor展开式的命令taylor，以及求极值的方法 第2章一元函数微分法验证性实验【实验内容】1.求函数的Tay
22、lor展开式，并在同一坐标系下画出函数及函数展开式的图形 （1）将函数 在 处展开到第5项；【实验过程】1.（1）syms x;f=sin(x);y=taylor(f,pi/2,6)运行结果：y=1-1/2*(x-1/2*pi)2+1/24*(x-1/2*pi)4xfsin2x再画出函数与展开式的图形：x=linspace(-2,2,60);f=sin(x);y=1-1/2*(x-1/2*pi).2+1/24*(x-1/2*pi).4;plot(x,f,x,y)运行结果：图2-1 函数 与其Taylor展开式对比图 xfsin 第2章一元函数微分法验证性实验 第2章一元函数微分法验证性实验2.
23、求函数 的极值;2.syms x;y=2*x3-3*x2;f1=diff(y,x);f1=diff(y)运行结果：f1=6*x2-6*x x0=solve(f1)2332xxy 第2章一元函数微分法验证性实验运行结果：x0=0 1 f2=diff(f1,x)运行结果：f2=12*x-6 ff=inline(f2)ff(x0)运行结果：ans=-6 6由此可知：函数在点处二阶导数为-6，所以0为极大值；函数在点处二阶导数为6，所以-1为极小值。3.求圆过点（2，1）的切线方程。syms x y;f=(x-1)2+(y+3)2-17;f1=diff(f,x);f1=diff(f,x);f2=dif
24、f(f,y);ff=-f1/f2运行结果：ff=(-2*x+2)/(2*y+6)f3=inline(ff)；f3(2,1)运行结果：ans=-0.2500所以切线方程为)2(25.01xy 第2章一元函数微分法验证性实验第2章一元函数微分法设计性实验设计性实验实验一实验一 最优价格问题最优价格问题实验二实验二 效果最佳问题效果最佳问题实验三实验三 相关变化率相关变化率 第2章一元函数微分法设计性实验 实验一实验一 最优价格问题最优价格问题【实验目的】1.加深对微分求导，函数极值等基本概念的理解2.讨论微分学中的实际应用问题3.会用Matlab命令求函数极值【实验要求】掌握函数极值概念，Matl
25、ab软件中有关求导命令diff 第2章一元函数微分法设计性实验【实验内容】某房地产公司拥有100套公寓当每套公寓的月租金为1000元时，公寓全部租出。当月租金每增加25元时，公寓就会少租出一套。1.请你为公司的月租金定价，使得公司的收益最大，并检验结论 2.若租出去的公寓每月每套平均花费20元维护费，又应该如何定价出租，才能使公司收益最大【实验方案】1.方法一：设每套公寓月租金在1000元基础上再提高x元，每套租出公寓实际月收入为()元，共租出()套。1000 x10025x 第2章一元函数微分法设计性实验 收益 R(X)=()()(02500)R(x)=令R(x)=0，解得驻点=750。R(
26、x)=0，故R(x)在=750处取得极大值。在0,2500上只有一个驻点，故R（x）在=750处取最大值。即每套公寓的月租金为1750元时，才能使公司收益最大。检验：x=1750元，少租出 =30套，实际租出70套，公司有租金收入1750*70=122500元。比100套全部租出时公司租金收入1000*100=100000元多22500元。方法二：设每套公寓月租金为x元，少租出 套，实际租出 100020 x10025x26025x2251750 100025100025x100010025x 第2章一元函数微分法设计性实验 套 收益 R(x)=x()(10003500)R(x)=令R(x)=
27、0，解得驻点=1750(每套公寓租金)检验讨论如方法一。2.设每套公寓月租金在1000元再提高元，每套租出公寓实际月租金收入是(1000+x-20)元，共租出 套 收益 R(x)=()()(0 x2500)R(x)=+(980+x)()100010025x214025x10025x100020 x10025x125 令R(x)=0，解得驻点x=760。R(x)=f=inline(-(1000+x)*(100-x/25)x=-f(a)f=Inline function:f(x)=-(1000+x)*(100-x/25)a=750 x=122500225 第2章一元函数微分法设计性实验方法二 f=
28、inline(-x*(100-(x-1000)/25)a=fminbnd(f,1000,3500)x=-f(a)f=Inline function:f(x)=-x*(100-(x-1000)/25)a=1750 x=122500(2)f=inline(-(980+x)*(100-x/25)a=fminbnd(f,0,2500)f=Inline function:f(x)=-(980+x)*(100-x/25)a=760 第2章一元函数微分法设计性实验 第2章一元函数微分法设计性实验 实验二实验二 效果最佳问题效果最佳问题【实验目的】1.利用积分概念、函数最大值(最小值)理论，解决实际最优化问题
29、2.掌握符号求导的实际应用3.熟悉Matlab命令求函数积分，解代数方程【实验要求】掌握函数最大值(最小值)理论，Matlab软件求导命令、解方程的命令 第2章一元函数微分法设计性实验【实验内容】洗过的衣服含有洗衣粉残液，现用总量为A m3的清水漂洗，漂洗一遍再甩干后衣服上有a m3的洗衣粉残液。若规定漂洗两遍，问如何分配水两次的用水量，才能使漂洗效果最佳？【实验方案】设第一次用水量为x m3，则第二次用水量为(A-x)m3。并设漂洗前衣服上含有的 m3的洗衣粉残液中洗衣粉占b m3.第一次加水后，水中洗衣粉所占百分比为 ，将水放掉甩干后，残液中洗衣粉含量为 第二次加水后，水中洗衣粉所占百分比
30、为 baxb*abaaxax()()ababaxaAxax aAx 第2章一元函数微分法设计性实验 将水放掉甩干后，残液中洗衣粉含量为 两次漂洗后效果最佳就是漂洗后残液中洗衣粉含量最小，为此只要求 g(x)=(a+x)(a+A-x)(0 xA)的最大值。g(x)=(a+A-x)-(a+x)=A-2x令g(x)=0解得 因g(x)=-2 syms x a A f=(a+x)*(a+A-x);b=diff(f,x);solve(b)ans=1/2*A 第2章一元函数微分法设计性实验实验三实验三 相关变化率相关变化率【实验目的】1.加深对复合函数、相关变化率的理解2.通过实例学习用微分知识解决实际问
31、题3.熟悉Matlab命令求复合函数，符号函数求微分【实验要求】掌握复合函数求微分、相关变化率应用，熟练应用Matlab软件中求复合函数，符号函数求微分命令 第2章一元函数微分法设计性实验【实验内容】有一个长度为5m的梯子贴靠在垂直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速率离开墙脚而滑动，求 1.当其下端离开墙脚1.4m时，梯子的上端下滑之速率为多少？2.何时梯子的上下端能以相同的速率移动？3.何时其上端下滑之速率为4m/s？【实验方案】设t=0时，梯子贴靠在墙上，在时刻t（秒）时，梯子上端离t=0时位置的距离为S米，梯子下端离开墙脚的距离为x米，则有x=3t，S=5-(见图2-2)225x 第
32、2章一元函数微分法设计性实验 图2-3 位置示意图 1.梯子的上端下滑之速率 当x=1.4m时，2.梯子上、下端相同速率处，即 解得x2=，（舍去），即当梯子下2222533*522*xxxxdtdxdxdSdtdS)./(875.04.1254.1*32smdtdS.dtdxdtdS32532 xx225553.54,22xx 第2章一元函数微分法设计性实验 下端离开墙脚的距离是3.54m时，梯子的上、下端的相同的速率移动.3.解得 x=4，-4（舍去）.即当梯子下端 离墙脚4m时,其上端下滑之速度为4m/s.,4253,42xxdtdS即【实验过程】(1)syms x t f=5-sqrt
33、(52-x2);x=3*t;a=compose(f,x);c=diff(a,t);b=subs(c,t,x/3);d=subs(b,x,1.4);numeric(d)ans=0.8750(2)syms x a=solve(3*x)/sqrt(25-x2)-3,x)a=5/2*2(1/2)(3)syms x a=solve(3*x)/sqrt(25-x2)-4,x)a=4 第2章一元函数微分法设计性实验 第2章一元函数微分法设计性实验思考与提高 1.工厂A到铁路的垂直距离为3公里，垂足B到火车站C为5公里，汽车运费20元/吨公里，铁路运费15元/吨公里，为使运费最省，在M点建一转运站，且M在铁路
34、BC间，问M应建在何处?2.一幢楼房的后面是一个很大的花园，在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园宽2m，高3m，温室正上方是楼房的窗台清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短不行，现有一架7m长的梯子，问：它能达到要求吗?3.某商店每年销售某种商品a件，每次购进的手续费b元，而每件的库存费为c元。在该商品均匀销售情况下，商店应分几批购进商品才能使所花手续费及库存费之和为最小？理工数学实验第3章 一元函数积分法 第3章一元函数积分法验证性实验验证性实验实验一 不定积分实验二 定积分实验三 定积分的应用 第3章一元函
35、数积分法验证性实验实验一 不定积分【实验目的】1.掌握求函数的原函数的方法2.熟悉基本积分公式和积分方法【实验要求】掌握Matlab中积分命令int 第3章一元函数积分法验证性实验【实验内容】求下列函数的一个原函数 (1)(2)【实验过程】1.（1）syms x;f=1/x4;int(f,x)运行结果：ans=-1/3/x3 即函数 的一个原函数为 .41xxxee14x1331x 第3章一元函数积分法验证性实验（2）syms x;f=exp(x)/(1+exp(x);int(f,x)运行结果：ans=log(1+exp(x)即函数 的一个原函数为 .xxee1)1(lnxe 第3章一元函数积
36、分法验证性实验 实验二 定积分【实验目的】1.掌握求函数定积分的方法2.会求变上限函数的导数和带有变上限函数的极限【实验要求】熟悉Matlab中求定积分的命令 第3章一元函数积分法验证性实验【实验内容】1.求下列定积分 （1）;【实验过程】1.（1）syms x;f=sqrt(1-x2);int(f,x,0,1)运行结果：ans=1/4*pi dxx1021 第3章一元函数积分法验证性实验2.求变上限函数的导数（1）;2.（1）syms t x;y=sin(t)/t;diff(int(y,t,0,x),x)运行结果：ans=sin(x)/x 即 dtttdxdx0sindtttdxdx0sin
37、xxsin 第3章一元函数积分法验证性实验3.求下列极限（1）;3.（1）syms x t;f=cos(t2);int(f,t,sin(x),0);f1=diff(int(f,t,sin(x),0),x)f2=f1/1 limit(f2)运行结果：ans=-1dttxxx)cos(1lim0sin20 第3章一元函数积分法验证性实验实验三 定积分的应用【实验目的】1.熟悉不定积分、定积分的求解过程2.会求变上限函数的导数3.掌握用定积分求平面图形面积、立体体积、曲线弧长以及立体侧面积等应用【实验要求】掌握Matlab中求定积分的命令 第3章一元函数积分法验证性实验 1.求由抛物线 与 所围图形
38、的面积A；【实验过程】1.第一步：画出积分区域的图形：y=linspace(-1,1,60);x1=5*y.2;x2=1+y.2;plot(x1,y,x2,y)运行结果：图3-1 抛物线 与 所围图形 25yx 21yx25yx 21yx 第3章一元函数积分法验证性实验第二步：先观察曲线，再计算面积 syms y f=(1+y2)-5*y2;A=int(f,y,-0.5,0.5)运行结果：A=2/3即所求平面图形的面积为2/3。第3章一元函数积分法验证性实验2.求 与 所围图形绕轴旋转所成的旋转体的体积；2.第一步：画出两曲线所围图形 x=linspace(-0.5,1.5,60);y1=x.
39、2;y2=x.3;plot(x,y1,x,y2)运行结果：图3-2 函数 与 所围图形2xy 3xy 2xy 3xy 第3章一元函数积分法验证性实验第二步：观察图形，求旋转体体积 syms x;f=x4-x6;V=int(f,x,0,1)运行结果：V=2/35*pi 即所求旋转体的体积为 .352 第3章一元函数积分法设计性实验设计性实验实验一实验一 树的高度问题树的高度问题实验二实验二 还款问题还款问题实验三实验三 生日蛋糕问题生日蛋糕问题 第3章一元函数积分法设计性实验实验一实验一 树的高度问题树的高度问题【实验目的】1.加深对积分概念的理解2.使用积分理论解决实际问题3.熟悉Matlab
40、命令求不定积分，解数值方程【实验要求】掌握积分概念，Matlab软件中求不定积分命令 第3章一元函数积分法设计性实验【实验内容】有一种快速生长的树，为了衡量它是否有种植的经济价值（如作为木柴），人们要求该树在5年内（t=6，在种植时已生长一年）至少生长6m，如果树的生长速度为1.2+5t-4(m/年)，其中t为年数.若种植时（t=1），树已有1m高，试问种植此树是否有经济价值。第3章一元函数积分法设计性实验【实验方案】树的高度，由题意可得将t1代入，得得即种植树5年后，树高8.66m，比种植时的1m长高了7.66m，超过至少生长6m的要求，种植此树有经济价值。,352.1)52.1()(34C
41、ttdttth511.23C2215C,15223556)(3ttth)(66.815226*356*56)6(3mh,666.7166.8)1()6(hh 第3章一元函数积分法设计性实验【实验过程】syms t f=int(1.2+5*t(-4)f=6/5*t-5/3/t3 clear syms c c=solve(1.2-5/3+c-1,c)c=1.4666666666666666666666666666667 第3章一元函数积分法设计性实验实验二实验二 还款问题还款问题【实验目的】1.加深了解一元函数积分法2.定积分在经济数学中的实际应用3.熟悉Matlab命令求定积分，解一元数值方程【
42、实验要求】掌握定积分概念，Matlab软件求定积分 第3章一元函数积分法设计性实验【实验内容】现购买一栋别墅价值300万元，若首付50万元，以后分期付款，每年付款数目相同。10年付清，年利率为6%，按连续复利计算，问每年应付款多少？第3章一元函数积分法设计性实验【实验方案】每年付款数目相同，共10年，这是均匀现金流，付款总值的现在值等于现价扣去首付。这类问题属于贴现问题，若第t年还款为万元，则第t年还款的贴现值为 ，n年的贴现值为 依题意：设每年付款A万元，则第t年付款的现在值，由连续贴现公式应为A ，因付款流总值为250万元，即有 得A=33.2447（万元），故每年应付款33.2447万元
43、。0.04taen0.040taedtte06.0100.060250tAedt,4552.0*06.0)1(06.025010*06.0AeA 第3章一元函数积分法设计性实验【实验过程】clear syms t A a=int(A*exp(-0.06*t),0,10)a=-50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A b=solve(-50/3*A*exp(-3/5)+50/3*A-250,A)b=-15/(exp(-3/5)-1)第3章一元函数积分法设计性实验实验三实验三 生日蛋糕问题生日蛋糕问题【实验目的】1.应用数值积分方法，加深对积分概念的理解2.通过实例学习用数值积分知识解决面积
44、、体积计算等实际应用问题3.学习使用Matlab软件中有关积分计算的命令【实验要求】掌握积分概念，Matlab软件中有关积分计算的命令 第3章一元函数积分法设计性实验【实验内容】一个数学家即将要迎来他九十岁生日，有很多的学生要来为他祝寿，所以要定做一个特大蛋糕。为了纪念他提出的一项重要成果口腔医学的悬链线模型，他的弟子要求蛋糕店的老板将蛋糕边缘圆盘半径做成下列悬链线函：r=2-(exp(2h)+exp(-2h)/5，0h1(单位m)第3章一元函数积分法设计性实验 由于蛋糕店从来没有做过这么大的蛋糕，蛋糕店的老板必须要计算一下成本。这主要涉及两个问题的计算：一个是蛋糕的质量，由此可以确定需要多少
45、鸡蛋和面粉；另一个是蛋糕表面积(底面除外)，由此确定需要多少奶油。【实验方案】首先分析一个圆盘形的单层蛋糕，如图所示，图3-4 单层蛋糕 绕水平中心轴旋转而成，若高为(m)，半径为r(m)，密度为(kg/m3)，则蛋糕的质量(kg)和表面积(m2)为 2Wk r H 第3章一元函数积分法设计性实验如果蛋糕是双层圆盘的，如图所示：图3-5 双层蛋糕 绕水平中心轴旋转而成，每层高为H/2，下层蛋糕半径为r1，上层蛋糕半径为r2，此时蛋糕的质量和表面积为 以此类推，如果蛋糕是n层的，图3-6 多层蛋糕22SrHr22221212/2/2()/2Wk r Hk r HkrrH221211212/22/
46、2()Sr Hr HrrrHr 第3章一元函数积分法设计性实验 每层高为H/n，半径分别为r1，r2，rn，则蛋糕的质量和表面积为 事实上，蛋糕边缘圆盘半径 (0h syms h r=2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5;quadl(pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5).2,0,1)ans=5.4171 r0=subs(r,h,0)r0=1.6000 quadl(2*pi*(2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5),0,1)+pi*r02 ans=16.0512求得该数学家的生日大蛋糕的质量和表面积为 W=5.4171(kg)，S=16.0512(m2)第
47、3章一元函数积分法设计性实验思考与提高 1.某游乐场新建一个鱼塘，在钓鱼季节来临之际前将鱼放入鱼塘，鱼塘的平均深度为6m，开始计划时每3m3有一条鱼，并在钓鱼季节结束时所剩的鱼是开始的25，如果一张钓鱼证可以钓鱼20条，试问：最多可以卖出多少钓鱼证？鱼塘的平面图如图：图3-7 鱼塘平面示意图 第3章一元函数积分法设计性实验 2.某旅游景点准备在两个山顶间设置一缆车索道，已知两山顶间相距200m。为施工方便，在两山顶中间依山势建有一个塔，塔顶与两山顶等高等距离。现在塔顶与山顶间悬挂索道，允许索道在中间下垂10m，且两部分下垂部分一致。请计算在这两个山顶间所用索道长度。3.在钢线碳含量对于电阻的效
48、应的研究中，得到以下数据：试求其线性拟合曲线，并估计在碳含量的这一改变过程中对电阻产生的总效应 碳含量x0.100.300.400.550.700.800.95电阻效应y1518192122.623.826理工数学实验第第4章章 空间解析几何空间解析几何 第4章空间解析几何验证性实验验证性实验实验一实验一 空间曲线空间曲线实验二实验二 二次曲面二次曲面 第4章空间解析几何验证性实验实验一实验一 空间曲线空间曲线【实验目的】1进一步理解空间解析几何的应用2学习用Matlab绘制的空间的曲线【实验要求】熟悉Matlab图形命令plot3 第4章空间解析几何验证性实验【实验内容】1画出螺旋线 与空间
49、曲线【实验过程】t=0:pi/50:10*pi;x=sin(t);y=cos(t);z=t;subplot(1,2,1);plot3(x,y,z,)运行结果：)100(cossinttztytx)5.11.0(1sincosttztytx 第4章空间解析几何验证性实验 图4-1 螺旋线t=0.1:0.01:1.5x=cos(t);y=sin(t);z=1/t;subplot(1,2,2);plot3(x,y,z,)运行结果：第4章空间解析几何验证性实验 图4-2 空间曲线 第4章空间解析几何验证性实验 2绘制曲线 2.首先我们把方程组变化成以下形式：于是输入：t=0:0.01:1 x=t;y=
50、sqrt(t.*(1-t);z=sqrt(1-x.2-y.2);plot3(x,y,z)22222111()()22zxyxy22(1)1xtyttzxy 第4章空间解析几何验证性实验运行结果：图4-3 空间曲线 第4章空间解析几何验证性实验 实验二 二次曲面【实验目的】1进一步理解空间解析几何的应用2学习用Matlab绘制的空间的曲面【实验要求】熟悉Matlab中图形命令mesh，meshc，meshz等 第4章空间解析几何验证性实验【实验内容】1绘制的 图像。【实验过程】1x=-4:4;y=x;X,Y=meshgrid(x,y);z=(1+X+Y).2;mesh(X,Y,z)运行结果：2(
