1、第第 1 课时课时 数与形数与形8 数学广角数学广角数与形数与形RJ 六年级上册 1课堂探究点课堂探究点2课时流程课时流程课后课后作业作业探索探索新知新知课堂课堂总结总结当堂当堂检测检测新课新课导入导入计算出结果。计算出结果。13()413 5()9 1357()161357921=()？你发现了什么？你发现了什么？探究点探究点 1 1认识正方形数认识正方形数观察一下，观察一下，下面的图和下面的图和对应的算式对应的算式有什么关系？有什么关系？把算式补充把算式补充完整。完整。13()413 5()9 算式左边的加数是大正方形算式左边的加数是大正方形左下左下角的小正方形和其角的小正方形和其他他“”
2、形图形图中中所包含的小正方形个数之和。所包含的小正方形个数之和。1=()21+3=()21+3+5=()2观察一下，下面的图和对应的算观察一下，下面的图和对应的算式有什么关系？把算式补充完整。式有什么关系？把算式补充完整。123我发现，从我发现，从1开始的连续奇数的和开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。正好是这串数个数的平方。你能利用规律直接写一写吗？你能利用规律直接写一写吗？如果遇到困难如果遇到困难,可以画图来帮助。可以画图来帮助。1357=()2135791113=()2135791113151747_=(9)2归纳总结：归纳总结：解决这类问题可以通过数形结合的思想，解决这类问题可以
3、通过数形结合的思想，通过构造与之相适应的图形，通过探究图形的规通过构造与之相适应的图形，通过探究图形的规律率解决问题。律率解决问题。小试牛刀小试牛刀1357531（）请根据例请根据例1的结论算一算。的结论算一算。（选题源于教材（选题源于教材P108做做一做第一做第1题题）可以看成两部分：可以看成两部分：135742531 3242 32 25251357911131197531（）85原式原式72 62 85下面每个图中最外圈有多少个小正方形？下面每个图中最外圈有多少个小正方形？（选题源于教材（选题源于教材P109第第1题题）照这样画下去，照这样画下去，第第5个图形最外圈个图形最外圈有（有（）
4、个小正）个小正方形。方形。4032 1 852 32 1672 52 24112 92 40小试牛刀小试牛刀121418116+=111124816?+=1111248161516探究点探究点 2 2初步感受极限思想初步感受极限思想例例2 在这列数中，你能发现什么规律？在这列数中，你能发现什么规律？从第二个数开始，每个数是前一个数的从第二个数开始，每个数是前一个数的 。21计算计算 算一算、猜一猜，结果可能是多少？然后借助算一算、猜一猜，结果可能是多少？然后借助线段图或圆形图来帮助思考，验证你的猜测是线段图或圆形图来帮助思考，验证你的猜测是否正确否正确?111111248163264+=你能发
5、现什么规律？你能发现什么规律？我一个一个加下我一个一个加下去看看，答案好去看看，答案好像有点规律。像有点规律。加下去，等号右边的分加下去，等号右边的分数越来越接近于数越来越接近于1。计算。计算。111111248163264+=113244+=317488+=711581616+=15131163232+=线段图理解线段图理解 有些问题通过画图，解决起来更直观、容易。有些问题通过画图，解决起来更直观、容易。214181116132计算计算 111111248163264+=111111248163264+=1计算。计算。圆形图理解圆形图理解 111111248163264+=113244+=3
6、17488+=711581616+=15131163232+=2141161818743161532316463128127 先在图形上表示出先在图形上表示出 ，再表示出，再表示出 ，等，并不断地累加下去，其结果越来越接近等，并不断地累加下去，其结果越来越接近1。当这个过程无止境地持续下去时，相加之和为当这个过程无止境地持续下去时，相加之和为1，这种数学思考方式体现了极限思想。这种数学思考方式体现了极限思想。121418116如上图所示：如上图所示：的和等于单位的和等于单位“1”减去最后一个小正方形的面减去最后一个小正方形的面积，即积，即 。除了借助线段图和圆形图进行除了借助线段图和圆形图进行
7、理解，我们还可以用什么图形理解，我们还可以用什么图形表示单位表示单位“1”呢？呢？用一个正方形表示单位用一个正方形表示单位“1”：111111248163264+16316464归纳总结：归纳总结：解决较复杂的计算问题，通过画图可以帮解决较复杂的计算问题，通过画图可以帮助理解计算方法，使计算更直观、简单。助理解计算方法，使计算更直观、简单。夯实基础夯实基础（选题源于（选题源于典中点典中点经典题库）经典题库）1画一画，填一填。画一画，填一填。（1）按照规律画一画，如果这样画下去，第）按照规律画一画，如果这样画下去，第10个个图形中有（图形中有（）个点。）个点。100（2）先观察下列图形的规律，再
8、填空。先观察下列图形的规律，再填空。第第6个图形一共由（个图形一共由（）个小三角形组成，第）个小三角形组成，第n个图形一共由（个图形一共由（）个小三角形组成。）个小三角形组成。11+31+3+51+3+()+()5736n2（3）我们可以从一角向外扩展来看找规律，再填空。）我们可以从一角向外扩展来看找规律，再填空。图（图（1）：）：112图（图（2）：）：13422图（图（3）：）：135932图（图（4）：）：1357()()2图（图（5）：）：()()()()()()()2我会用：我会用：135791113()292_416312597557135791113 1517（4）看图找规律，再
9、填空。）看图找规律，再填空。21224_246_2468_根据上面的规律写一写。根据上面的规律写一写。246810_246810121416_433245563089722算一算，填一填。算一算，填一填。111221111112424411111112484881111124816 18116116 _111112483216411111124816256 所所以以 1321113264641256（1）一条马路长）一条马路长200 m，小亮和他的小狗分别以均匀，小亮和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发。当小亮走到这的速度同时从马路的起点出发。当小亮走到这条马路一半的时候，小狗已经到
10、达马路的终点。条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终点。然后小狗返回与小亮相向而行，遇到小亮以后然后小狗返回与小亮相向而行，遇到小亮以后再跑向终点，到达终点以后再与小亮相向而再跑向终点，到达终点以后再与小亮相向而行行直到小亮到达终点。小狗从出发开始，直到小亮到达终点。小狗从出发开始，一共跑了多少米？一共跑了多少米？3.解决问题解决问题狗的速度是人的速度的狗的速度是人的速度的2倍倍起点起点终点终点 2002400（米）米）答：小狗从出发开始，一共跑了答：小狗从出发开始，一共跑了400米。米。（2）小林、小强、小芳、小兵和小刚）小林、小强、小芳、小兵和小刚5 人进行象棋人进行象棋 比赛，比赛，每每
11、2 人之间都要下一盘。小林已经下了人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，小强盘，小强下了下了3盘，小芳下了盘，小芳下了2 盘，盘，小兵下了小兵下了1 盘。请问：盘。请问：小刚一共下了几盘？小刚一共下了几盘？分别和谁下的？分别和谁下的？（选题源于教材（选题源于教材P111第第6题）题）答：小刚一共下了答：小刚一共下了2盘，盘，分别和小林、小强。分别和小林、小强。小刚小刚小林小林小强小强小芳小芳小兵小兵43用连线的方法试试。用连线的方法试试。（点击人名）（点击人名）122（3）（3）我国宋代数学家杨辉在公元）我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了年撰写了详解九详解九章算法章算法，他在这本著作中画了
12、一个由数构成的，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为三角形图，我们把它称为“杨辉三角杨辉三角”。你能发。你能发现右面现右面“杨辉三角杨辉三角”图中各数之间的关系吗？你图中各数之间的关系吗？你能按照发现的规律把这个三角形表继续写下去吗？能按照发现的规律把这个三角形表继续写下去吗？试试看。试试看。（选题源于教材（选题源于教材P111练习二十二第练习二十二第7题题）答案略。答案略。（4）你能利用右面的图发现）你能利用右面的图发现 这一这一公式吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。公式吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。（选题源于教材（选题源于教材P111练习二十二第练习二
13、十二第8题题）2222a baab b 也可以写成也可以写成 该图的面积可以写成该图的面积可以写成 ，所以所以 。2ab 22222abab ab aab b 2222abaabb ，这节课你有哪些收获？这节课你有哪些收获？1.从从1开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。2.有些计算问题或较为复杂的题目可以通过画图，有些计算问题或较为复杂的题目可以通过画图，把数字、算式转化成图形，使复杂的问题简单化、把数字、算式转化成图形，使复杂的问题简单化、抽象的问题直观化，解决起来会更直观、更简单。抽象的问题直观化，解决起来会更直观、更简单。数与形：数与形：数
14、与形数与形第第8 8单元数学广角单元数学广角数与形数与形RJ 六年级上册 教材习题教材习题1下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？正方形？照这样接着画下去，第照这样接着画下去，第6 个图形有多少个红色小正方形和个图形有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？第多少个蓝色小正方形？第10 个图形呢？你能解释这其中的个图形呢？你能解释这其中的道理吗？道理吗？（选题源于教材（选题源于教材P108做一做做一做2）第第6个图形有个图形有6个红色小正方形和个红色小正方形和18个蓝色小正方形，个蓝色小正方形，第第10个图形有个图形有10个红色
15、小正方形和个红色小正方形和26个蓝色小正方形。个蓝色小正方形。道理：第道理：第n个图形有个图形有n个红色小正方形和个红色小正方形和(2n6)个蓝色个蓝色小正方形。小正方形。教材习题教材习题1（选题源于教材（选题源于教材P109第第2题题）请你根据上面图形与数的规律接着画一请你根据上面图形与数的规律接着画一画，填一填。画，填一填。如果不画，这样排列下去，第如果不画，这样排列下去，第10 个数是多少？个数是多少？（选题源于教材（选题源于教材P109第第3题题）这样排列下去，第这样排列下去，第10个数是个数是55。画图略。画图略。2下面每个大三角形各是由多少个小三角形组成的？如果下面每个大三角形各是
16、由多少个小三角形组成的？如果小三角形的边长为小三角形的边长为1，每个大三角形的周长分别是多少？，每个大三角形的周长分别是多少？大三角形包含的小三角形的个数与大三角形的周长之间大三角形包含的小三角形的个数与大三角形的周长之间有什么样的关系？有什么样的关系？1491636912你能提出什么数学问题？你能提出什么数学问题？（选题源于教材（选题源于教材P110第第3题题）三角形图的周长除以三角形图的周长除以3，然后再平方，等于三，然后再平方，等于三角形图包含小三角形的个数。角形图包含小三角形的个数。提问题略。提问题略。3小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800 m 远的公远的
17、公园健身中心，用时园健身中心，用时20 分钟。妈妈到了健身中心后分钟。妈妈到了健身中心后直接返回家里，还是用了直接返回家里，还是用了20 分钟。小兰和爸爸一分钟。小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了起在健身中心锻炼了10 分钟。然后，小兰跑步回分钟。然后，小兰跑步回到家中，用了到家中，用了5 分钟，而爸爸是走回家中，用了分钟，而爸爸是走回家中，用了15 分钟。下面几个图哪个是描述妈妈离家的时间分钟。下面几个图哪个是描述妈妈离家的时间和离家距离的关系？和离家距离的关系？哪个是描述爸爸的？哪个是描述小兰的？哪个是描述爸爸的？哪个是描述小兰的？（选题源于教材（选题源于教材P110第第5题题）第第2个图是描
18、述妈妈离家时间和离家距离的关系，个图是描述妈妈离家时间和离家距离的关系，第第3个图是描述爸爸的，第个图是描述爸爸的，第1个图是描述小兰的。个图是描述小兰的。辨析：辨析：仔细观察，发现规律。仔细观察，发现规律。3用围棋子按下面的规律摆图形，第用围棋子按下面的规律摆图形，第5个图形需个图形需要多少枚棋子？第要多少枚棋子？第10个图形呢？个图形呢？5(51)629(枚枚)5(101)659(枚枚)易错点易错点4每边坐一人的方桌，每边坐一人的方桌，2张拼起来可坐张拼起来可坐6人，人，3张、张、4张、张、5张拼起来，各可坐多少人？如图：张拼起来，各可坐多少人？如图：方桌数方桌数1234518 可坐人数可
19、坐人数46 200填表：填表：8 10 123899提升点提升点“数形结合思想数形结合思想”的运用的运用5结合下图利用所学的面积计算的知识，探索结合下图利用所学的面积计算的知识，探索(ab)(ac)等于多少？等于多少？(ab)(ac)a2acabbc生活中的统计生活中的统计第第8 8单元数学广角单元数学广角数与形数与形RJ 六年级上册 随着国家的富强、社会的发展，人民的生活越来越随着国家的富强、社会的发展，人民的生活越来越富裕，很多家庭都购买了小汽车，今年国庆期间，富裕，很多家庭都购买了小汽车，今年国庆期间，六年级社会实践活动小组对我市六年级社会实践活动小组对我市100户城镇家庭和户城镇家庭和
20、100户农村家庭小汽车的拥有量进行了调查，结果户农村家庭小汽车的拥有量进行了调查，结果如下：如下：背景资料背景资料12015年农村居民每百户家庭汽车拥有量比城年农村居民每百户家庭汽车拥有量比城镇居民每百户家庭汽车拥有量少百分之几？镇居民每百户家庭汽车拥有量少百分之几？年份年份城镇居民每百户家城镇居民每百户家庭汽车拥有量庭汽车拥有量/辆辆农村居民每百户家农村居民每百户家庭汽车拥有量庭汽车拥有量/辆辆201530202016453220175540(3020)3033.3%2填一填。填一填。(1)要表示近三年我市城镇居民每百户家庭汽车拥有量的要表示近三年我市城镇居民每百户家庭汽车拥有量的多少，应选
21、用多少，应选用()统计图。统计图。(2)要表示近三年我市农村居民每百户家庭汽车拥有量的要表示近三年我市农村居民每百户家庭汽车拥有量的变化情况，应选用变化情况，应选用()统计图。统计图。(3)要表示要表示2017年农村和城镇居民每百户家庭汽车拥有量年农村和城镇居民每百户家庭汽车拥有量分别占汽车拥有总量的百分比分别占汽车拥有总量的百分比,应选用应选用()统计图。统计图。条形条形折线折线扇形扇形3请画出请画出20152017年农村和城镇居民每百户年农村和城镇居民每百户家庭汽车拥有量的条形统计图。家庭汽车拥有量的条形统计图。略略4请画出近三年农村和城镇居民每百户家庭汽请画出近三年农村和城镇居民每百户家
22、庭汽车拥有量的变化情况折线统计图。车拥有量的变化情况折线统计图。略略5下面是幸福村下面是幸福村2017年家庭拥有汽车情况统计年家庭拥有汽车情况统计图，如果幸福村有汽车的家庭共有图，如果幸福村有汽车的家庭共有36户，那户，那么幸福村一共有多少户？么幸福村一共有多少户？3640%90(户户)6请再提出一个数学问题并解答。请再提出一个数学问题并解答。略略 利润和浓度问题利润和浓度问题第第8 8单元数学广角单元数学广角数与形数与形RJ 六年级上册 例某商品按例某商品按20%的利润定价，然后打九折卖出，的利润定价，然后打九折卖出，共得利润共得利润88元，这件商品的成本是多少元？元，这件商品的成本是多少元
23、？思路分析：把这件商品的成本看成单位思路分析：把这件商品的成本看成单位“1”，商品，商品的定价就是成本的的定价就是成本的120%，因为商品按九折卖，因为商品按九折卖出，所以商品的售价就相当于成本的出，所以商品的售价就相当于成本的120%90%108%，获得的利润就相当于，获得的利润就相当于成本的成本的108%18%。规范解答：规范解答：88(120%)90%1888%1100(元元)答：这件商品的成本是答：这件商品的成本是1100元。元。1甲、乙两种商品的成本共甲、乙两种商品的成本共300元，商品甲按元，商品甲按30%的利润定价，商品乙按的利润定价，商品乙按20%的利润定价。为了促的利润定价。
24、为了促销，两种商品按定价九折出售，仍获利销，两种商品按定价九折出售，仍获利42元，甲元，甲商品的成本是多少元？商品的成本是多少元？解：设甲商品的成本是解：设甲商品的成本是x元，乙商品的成本为元，乙商品的成本为(300 x)元。元。(130%)x(120%)(300 x)90%30042x200利润问题中求成本利润问题中求成本题型题型 1 12一种商品，甲店进货价比乙店便宜一种商品，甲店进货价比乙店便宜12%，两店同样按，两店同样按20%的利润定价，这样的利润定价，这样1件商品乙店比甲店多收入件商品乙店比甲店多收入24元。甲店的定价是多少元？元。甲店的定价是多少元？解：设乙店进货价为解：设乙店进
25、货价为x元。元。20%x(112%)20%x24x1000甲店定价：甲店定价：1000(112%)(120%)1056(元元)利润问题中求定价利润问题中求定价题型题型 2 23某书店按定价的某书店按定价的80%出售出售(即打八折即打八折)仍能获得仍能获得20%的利润。定价时期望的利润百分数是多少？的利润。定价时期望的利润百分数是多少？成本：成本：80%(120%)23定价时期望的百分数：定价时期望的百分数：1232350%利润问题中求利润百分数和折扣利润问题中求利润百分数和折扣题型题型 3 34在在12 kg含盐含盐15%的盐水中加水，使盐水的含的盐水中加水，使盐水的含盐率变成盐率变成9%，需
26、加水多少千克？，需加水多少千克？1215%1.8(kg)1.89%20(kg)20128(kg)抓不变量解浓度问题抓不变量解浓度问题题型题型 4 45有含盐有含盐15%的盐水的盐水20 kg，要使盐水的浓度变，要使盐水的浓度变为为20%，需要加盐多少千克？，需要加盐多少千克？(100%20%)(20%15%)16 1201611.25(kg)把浓度问题转化成比来解答把浓度问题转化成比来解答题型题型 5 56有甲、乙两种酒精溶液，甲种溶液的浓度为有甲、乙两种酒精溶液，甲种溶液的浓度为95%，乙，乙种溶液的浓度为种溶液的浓度为80%，要配制浓度为，要配制浓度为85%的酒精溶的酒精溶液液270 g，
27、应从甲、乙两种酒精溶液中各取多少克？，应从甲、乙两种酒精溶液中各取多少克？用假设法解答浓度问题用假设法解答浓度问题题型题型 6 6假设全部是浓度为假设全部是浓度为80%的溶液的溶液27080%216(g)27085%229.5(g)229.521613.5(g)甲种溶液：甲种溶液：13.5(95%80%)90(g)乙种溶液：乙种溶液：27090180(g)扇形统计图扇形统计图 数学广角数学广角第七单元第七单元 扇形统计图扇形统计图第八单元第八单元 数学广角数学广角RJ 六年级上册 小华说小华说:“从下面两个统计图中可以看出，甲校从下面两个统计图中可以看出，甲校女生人数比乙校女生人数多女生人数比
28、乙校女生人数多”。你认为呢？。你认为呢？女生女生50%男生男生50%女生女生 40%男生男生60%甲校甲校乙校乙校 扇形统计图只能看出扇形统计图只能看出各部分数量同总数的各部分数量同总数的关系，不能看出各部分数量的多少。关系，不能看出各部分数量的多少。统计图统计图不仅可以反映数量的多少不仅可以反映数量的多少，还，还能看出数量增减变化趋势能看出数量增减变化趋势条形统计图条形统计图可以清楚地反映数量的多少可以清楚地反映数量的多少折线统计图折线统计图能清楚地反映出各部分与能清楚地反映出各部分与整体整体的的关系关系扇形统计图扇形统计图 数数 与与 形形 运用数学结合发现规律运用数学结合发现规律极限思想
29、极限思想1 1、扇形统计图、扇形统计图1扇形统计图表示各部分数量与总数量之间扇形统计图表示各部分数量与总数量之间的关系的关系扇形统计图用（扇形统计图用（）表示总数量，用圆）表示总数量，用圆内各个扇形的大小表示（内各个扇形的大小表示（）占总量的）占总量的百分比。百分比。圆圆部分部分对应训练对应训练1 1如如图，是红星小学六图，是红星小学六年级年级学生参加学生参加社团活动人数社团活动人数的的统计图统计图。（1）参加篮球社团的人数占总人数的（）参加篮球社团的人数占总人数的（）。（2）已知参加足球社团的有）已知参加足球社团的有45人，全年级参加人，全年级参加这三项社团活动的有（这三项社团活动的有（）人
30、，参加羽）人，参加羽毛球社团的有（毛球社团的有（）人。）人。40%180632.选择合适的统计图选择合适的统计图。（1）记录蒜苗的生长过程。（）记录蒜苗的生长过程。（）（2）反映花园中各品种花卉种植面积占总面积的百分）反映花园中各品种花卉种植面积占总面积的百分比情况。（比情况。（）（3）在）在“节能减排节能减排”活动中，反映六年级各班回收饮料活动中，反映六年级各班回收饮料瓶数量情况。（瓶数量情况。（）A.条形统计图条形统计图 B.折线统计图折线统计图 C.扇形统计图扇形统计图 D.都都可以可以BCA2 2、数与形、数与形 图（图（1）：）：1=12 图（图（2）：）：1+3=4=22 图（图（
31、3）：）：1+3+5=9=32 图（图（4）：）：1+3+5+7=（）=（）2164图（图（5）：（）：（）+（）+（）+（）+（）=（）=（）2 .我会用：我会用：1+3+5+7+9+11+13=（）2 92=。1357925571+3+5+7+9+11+13+15+17对应训练对应训练2 2如图，如图，一张方桌每边坐一人，一张方桌每边坐一人，2张拼起来可张拼起来可坐坐6人，人，3张、张、4张、张、5张拼起来，各可坐多少人？张拼起来，各可坐多少人？方桌数方桌数123418可坐人数可坐人数46点拨：方桌数点拨：方桌数n与可坐人数与可坐人数之间的关系为之间的关系为2n+2.3810991如下图如
32、下图,某粮店有玉米某粮店有玉米100千克千克,这个粮店有这个粮店有大米多少千克大米多少千克?10010%70%=700(千克千克)答答:这个这个粮店有粮店有大米大米700千克千克。2这台电脑这台电脑D盘的容量为盘的容量为20GB，则可用空，则可用空间的容量为（间的容量为（）GB。83 下图是某班一次数学考试成绩统计图。下图是某班一次数学考试成绩统计图。已知不及格的有已知不及格的有3人。请你算出各种成绩人。请你算出各种成绩的人数填入统计表内。的人数填入统计表内。成绩成绩人数人数优优良良及格及格不及格不及格 36 15 6 34小林、小强、小芳、小兵和小刚小林、小强、小芳、小兵和小刚5人进行人进行象棋比赛，每象棋比赛，每2人之间都要下一盘。小林人之间都要下一盘。小林已经下了已经下了4盘，小强下了盘，小强下了3盘，小芳下了盘，小芳下了2盘，小兵下了盘，小兵下了1盘盘。请问请问：小刚一共：小刚一共下下了了几盘？几盘？小刚小刚小林小林小强小强小芳小芳小兵小兵24312用连线的方法试试。用连线的方法试试。答：小刚一共下了答：小刚一共下了2盘，分盘，分别和小林、小强下的。别和小林、小强下的。你能用所学知识解决下列问题吗？你能用所学知识解决下列问题吗？2222392781 1我是这样想的：我是这样想的：228822639992727 26280278181所以原式的结果是所以原式的结果是1。
