1、相对于夫朗和费衍射而言相对于夫朗和费衍射而言,观察屏距衍射屏不太远观察屏距衍射屏不太远。几何投影区几何投影区菲涅耳衍射区菲涅耳衍射区夫朗和费衍夫朗和费衍射区射区MK1K2K3K4 4.3 4.3 菲涅耳衍射菲涅耳衍射(Fresnel diffraction(Fresnel diffraction)4.3 4.3 菲涅耳衍射菲涅耳衍射(Fresnel diffraction(Fresnel diffraction)直接运用菲涅耳直接运用菲涅耳基尔霍夫衍射公式定量计算菲涅基尔霍夫衍射公式定量计算菲涅耳衍射，数学处理非常耳衍射，数学处理非常复杂复杂。通常在半定量处理菲涅耳衍射现象时，均采用比较通常在
2、半定量处理菲涅耳衍射现象时，均采用比较简单、物理概念很清晰的简单、物理概念很清晰的菲涅耳波带法菲涅耳波带法或或图解法图解法。4.3.1 4.3.1 菲涅耳圆孔衍射菲涅耳圆孔衍射菲涅耳波带法菲涅耳波带法(Fresnel(Fresnel diffraction by a circular aperture diffraction by a circular aperture Fresnels Fresnels zone construction)zone construction)1.1.菲涅耳波带法菲涅耳波带法一个单色点光源一个单色点光源S 照射圆孔衍射屏的情况，照射圆孔衍射屏的情况，P0 是是
3、圆孔中垂线上的点，圆孔中垂线上的点，在某时刻通过圆孔的波面为在某时刻通过圆孔的波面为 MOM，半径为半径为 R。M SRM1M3M2P0r0 M d hNr0+/2r0+r0+3/21.1.菲涅耳波带法菲涅耳波带法现在以现在以 P0 为中心，以为中心，以 r1，r2，rN 为半径为半径，在，在波面上作圆波面上作圆,把把 MOM 分成分成N 个环带个环带，所选取的半径，所选取的半径为为1020022 2 2NrrrrNrrr0r0+/2r0+r0+3/2P0相邻两个环带上的相应两点到相邻两个环带上的相应两点到 P0 点的光程差为点的光程差为半半个波长个波长,这样的环带叫这样的环带叫菲涅耳半波带菲
4、涅耳半波带.1.1.菲涅耳波带法菲涅耳波带法1.1.菲涅耳波带法菲涅耳波带法设设 a1、a2、aN 分别为第分别为第 1、第、第 2、第、第 N 个波带在个波带在 P0 点产生点产生光场振幅的绝对值光场振幅的绝对值.1234 (65)NNAaaaaa则由惠更斯则由惠更斯菲涅耳原理，菲涅耳原理，P0 点的光场振幅应为各点的光场振幅应为各波带在波带在 P0 点产生光场振幅的叠加，近似为点产生光场振幅的叠加，近似为1.1.菲涅耳波带法菲涅耳波带法1234 (65)NNAaaaaa当当 N 为奇数时，为奇数时，aN 前面取前面取 +号，号，N 为偶数时，为偶数时，aN 前面取号。前面取号。101202
5、222rrrrrr1.1.菲涅耳波带法菲涅耳波带法为利用菲涅耳波带法求为利用菲涅耳波带法求 P0 点的光强，首先应求出点的光强，首先应求出各各个波带在个波带在 P0 点振动的振幅点振动的振幅。1234 (65)NNAaaaaa1.1.菲涅耳波带法菲涅耳波带法aN 主要由三个因素决定主要由三个因素决定:波带的面积大小波带的面积大小SN；波；波带到带到P0 点的距离点的距离 ；波带对；波带对P0 0 点连线的倾斜因子点连线的倾斜因子K(）()(66)NNNSaKrSROMNP0r0hO NNrN=r0+N/2SNr(1)(1)波带面积波带面积 S SN N在下图中，圆孔对在下图中，圆孔对 P0 点
6、共露出点共露出 N 个波带，个波带，这这 N 个个波带相应的波面面积是波带相应的波面面积是2 (67)NSRh式中，式中，h 为为OO长度。长度。SROMNP0r0hO NNrN=r0+N /2ShR24SR2SRh因为因为222220()()NNRRhrrh所以所以2200 (68)2()NrrhRrSROMNP0r0hO NNrN=r0+N /2S(1)(1)波带面积波带面积 S SN N又由于又由于 rN=r0+N2，故有故有222200 (69)2NrrNrN将将(68)式、式、(69)式代入式代入(67)式中，得式中，得2200 (70)4NRSNrNRr(1)(1)波带面积波带面积
7、 S SN N2 (67)NSRh2200 (68)2()NrrRrh222002(69)2NrNrNr2200 (70)4NRSNrNRr同样也可以求得同样也可以求得(N1)个波带所对应的波面面积为个波带所对应的波面面积为22100(1)(1)(71)4NRSNrNRr2200 (70)4NRSNrNRr(1)(1)波带面积波带面积 S SN N两式相减，即得两式相减，即得第第 N 个波带的面积为个波带的面积为101 (72)22NNNRSSSrNRr0(1)(1)波带面积波带面积 S SN Nr0r0+/2r0+r0+3/2P010122NNNSSSRrNRrr RRr000波带面积随着序
8、数波带面积随着序数 N 的增大而增加的增大而增加。但由于通常。但由于通常波长波长 相对于相对于R 和和 r0 很小，很小，2 项可以略去，项可以略去，因此可视各波带面积近似相等因此可视各波带面积近似相等。(1)(1)波带面积波带面积 S SN N(2)(2)各波带到各波带到 P0 点的距离点的距离rN 和和 rN1 是第是第 N 个波带到个波带到 P0 点的距离点的距离可取两可取两者的平均值者的平均值，即，即101 (73)222NNNrrrrNNrr0r0+/2r0+r0+3/2P0(2)(2)各波带到各波带到 P0 点的距离点的距离101 (73)222NNNrrrrN这说明第这说明第 N
9、 个波带到个波带到 P0 点的距离点的距离随着序数随着序数 N 的增大而增加的增大而增加。Nr(3)(3)倾斜因子倾斜因子1cos()(74)2K由上图可见，倾斜因子为由上图可见，倾斜因子为将将(72)-(74)式代入式代入(66)式，可以得到各个波带在式，可以得到各个波带在 P0 点产生的光振动振幅点产生的光振动振幅01cos (75)2NNRaRr可见，可见，各个波带产生的振幅各个波带产生的振幅 aN 的差别只取决于倾的差别只取决于倾角角N。1cos()(74)2K01cos (75)2NNRaRr()(66)NNNSaKr101 (73)222NNNrrrrN101 (72)22NNNR
10、SSSrNRr01.1.菲涅耳波带法菲涅耳波带法由于随着由于随着 N 增大，增大，N 也相应增大，也相应增大，所以各波带所以各波带在在 P0 点所产生的光场振幅将随之单调减小点所产生的光场振幅将随之单调减小123Naaaa01cos 752NNRaRr()SROMNP0r0hO NNrN=r0+N /2S1.1.菲涅耳波带法菲涅耳波带法又由于这种变化比较缓慢，所以近似有下列关系：又由于这种变化比较缓慢，所以近似有下列关系：1323542121222 2 mmmaaaaaaaaa1.1.菲涅耳波带法菲涅耳波带法于是，在于是，在 N 为奇数时为奇数时122NNaaA N 为偶数时，为偶数时，112
11、2NNNaaAa当当 N 较大时，较大时，故有，故有1NNaa1 (76)22NNaaA 41234Aaaaa133524;22aaaaaa131341344222aaaaAaaaa12345NAaaaaa133524;22aaaaaa13351551352222aaaaaaAaaa1.1.菲涅耳波带法菲涅耳波带法1 (76)22NNaaA N 为奇数时，取为奇数时，取 +号；号；N 为偶数时，取号。为偶数时，取号。由此由此得出结论：得出结论：圆孔对圆孔对 P0 点露出的波带数点露出的波带数 N 决定了决定了 P0 点衍射光的强弱点衍射光的强弱。1.1.菲涅耳波带法菲涅耳波带法下面给出波带数下
12、面给出波带数 N 和和圆孔半径圆孔半径 N 之间的关系：之间的关系：22222000()2NNNrrhrrr hSROMNP0r0hO NNrN=r0+N /2S由下图可看出由下图可看出:1.1.菲涅耳波带法菲涅耳波带法因为因为2222200024NNNrrrNr将上式代入将上式代入(68)式，可得式，可得2200 (68)2()NrrhRr220042()NNrhRr1.1.菲涅耳波带法菲涅耳波带法222202000004242()=4NNNrNNrrRrNRNrRr所以，所以，22222000()2NNNrrhrrr h220042()NNrhRr2222200024NNNrrrNr1.1
13、.菲涅耳波带法菲涅耳波带法一般情况下，均有一般情况下，均有 r0N，故，故200 (77)NRNrRr2222020000042=42()4NNNrNNRNrrrRrRrN1.1.菲涅耳波带法菲涅耳波带法这就是圆孔半径这就是圆孔半径 N 和露出的波带数和露出的波带数 N 之间的关之间的关系。系。该式也可表示成露出的波带数该式也可表示成露出的波带数 N 与圆孔半径与圆孔半径 N 的关系的关系，20(1)(78)NRNRr200 (77)NRNrRr2.2.菲涅耳圆孔衍射菲涅耳圆孔衍射(1)(1)r0 对衍射现象的影响对衍射现象的影响对于一定的对于一定的N 和和 R，露出的波带数，露出的波带数 N
14、 随随 r0 变化。变化。r0 不同，不同，N 也不同，从而也不同，从而 P0 点的光强度也不同点的光强度也不同。20(1)(78)NRNRr1 (76)22NNaaA(1)(1)r0 对衍射现象的影对衍射现象的影响响当当N 为奇数时，对应是亮点。为奇数时，对应是亮点。N 为偶数时，对应是暗为偶数时，对应是暗点。所以，当观察屏前后移动时，点。所以，当观察屏前后移动时，P0 点的光强将明暗点的光强将明暗交替地变化交替地变化。几何投影区几何投影区菲涅耳衍射区菲涅耳衍射区夫朗和费衍夫朗和费衍射区射区MK1K2K3K4例题：一个不透明开有直径为例题：一个不透明开有直径为3mm 的圆孔，被的圆孔，被 0
15、.55m 平面波正入射照明，设用一个很小的光强探平面波正入射照明，设用一个很小的光强探测器沿圆孔的轴线从很远处移近，求前三个光强极大测器沿圆孔的轴线从很远处移近，求前三个光强极大和前三个光强极小所相应的探测器位置。和前三个光强极小所相应的探测器位置。SROMNP0r0hO NNrN=r0+N /2S解：半波带数为解：半波带数为20(1)NRNRr由于平面波正入射，由于平面波正入射，R ，因此，因此，20NNrN1，3，5 时光强出现极大；时光强出现极大；N2，4，6 时光强出现极小。时光强出现极小。22313(3/2)4.09 10 mm0.55 10Nr22333(3/2)1.36 10 m
16、m33 0.55 10Nr22353(3/2)0.82 10 mm55 0.55 10Nr22323(3/2)2.05 10 mm22 0.55 10Nr22343(3/2)1.02 10 mm44 0.55 10Nr22363(3/2)0.68 10 mm66 0.55 10Nr在在N 和和 R 一定时，随着一定时，随着 r0 的增大，的增大，N 减小，菲涅减小，菲涅耳衍射效应很显著。耳衍射效应很显著。当当 r0 大到一定程度时，可视大到一定程度时，可视 r0，露出的波带数，露出的波带数 N 不再变化，且为不再变化，且为2 (79)NmNNR该波带数称为该波带数称为菲涅耳数菲涅耳数，它是一个
17、描述圆孔衍射效，它是一个描述圆孔衍射效应应的很重要的参量。的很重要的参量。(1)(1)r0 对衍射现象的影响对衍射现象的影响20(1)(78)NRNRr随着随着 r0 的增大，的增大，P0 点光强不再出现明暗交替的变化点光强不再出现明暗交替的变化,逐渐进入逐渐进入夫朗和费衍射区夫朗和费衍射区。(1)(1)r0 对衍射现象的影响对衍射现象的影响几何投影区几何投影区菲涅耳衍射区菲涅耳衍射区夫朗和费夫朗和费衍射区衍射区MK1K2K3K4而当而当 r0 很小时，很小时，N 很大，衍射效应不明显。很大，衍射效应不明显。当当 r0 小到一定程度时，可视光为直线传播。小到一定程度时，可视光为直线传播。(1)
18、(1)r0 对衍射现象的影响对衍射现象的影响123Naaaa2200(1)(78)NNRNRrr1 (76)22NNaaA(2)(2)N 对衍射现象的影响对衍射现象的影响当当 R 和和 r0 一定时，圆孔对一定时，圆孔对 P0 露出的波带数露出的波带数 N 与圆孔半径有关，与圆孔半径有关，N N2 。于是，孔大，。于是，孔大，露出的露出的波带数多，衍射效应不显著波带数多，衍射效应不显著；孔小，；孔小，露出的波带数露出的波带数少，衍射效应显著少，衍射效应显著。123Naaaa2200(1)(78)NNRNRrr1 (76)22NNaaA 1 (80)2aA这说明孔很大时，这说明孔很大时，P0 点
19、的光强不再变化，这正是光点的光强不再变化，这正是光直线传播的特点。直线传播的特点。当孔趋于无限大时，当孔趋于无限大时，aN0，(2)(2)N 对衍射现象的影响对衍射现象的影响1(76)22NNaaA 123Naaaa光波波前完全不被选挡时的光波波前完全不被选挡时的 P0 点光场振幅点光场振幅 A0，只只是有圆孔时第一个波带在是有圆孔时第一个波带在 P0 点产生光场振幅点产生光场振幅 a1 的的一半一半。(2)(2)N 对衍射现象的影响对衍射现象的影响1 (80)2aA1(76)22NNaaA 123Naaaa无遮挡时的光振幅无遮挡时的光振幅(2)(2)N 对衍射现象的影响对衍射现象的影响这说明
20、，当孔小到只露出一个波带时，这说明，当孔小到只露出一个波带时，P0 点的光强点的光强度由于衍射效应，增为无遮挡时度由于衍射效应，增为无遮挡时 P0 点光强度的点光强度的四倍四倍。211Ia22211=24aaIA1 (80)2aA无遮挡时的光强无遮挡时的光强只露出一个波带时的光强只露出一个波带时的光强(3)(3)波长对衍射现象的影响波长对衍射现象的影响当波长增大时，当波长增大时，N 减少。这说明在减少。这说明在N、R、r0 一定的一定的情况下，情况下，长波长光波的衍射效应更为显著长波长光波的衍射效应更为显著，更能显，更能显示出其波动性。示出其波动性。123Naaaa2200(1)(78)NNR
21、NRrr1 (76)22NNaaA(4)(4)轴外点的衍射轴外点的衍射对于轴外任意点对于轴外任意点 P 的光强度的光强度，原则上也可以用同样，原则上也可以用同样的方法进行讨论。的方法进行讨论。SM1M2M0P0M1M2OPSROMNP0r0hO NNrN=r0+N /2S(4)(4)轴外点的衍射轴外点的衍射SM1M2M0P0M1M2OP可先可先设想衍射屏不存在设想衍射屏不存在，以，以M0 为中心，对于为中心，对于P点作半点作半波带，然后再放上圆孔衍射屏，圆孔中心为波带，然后再放上圆孔衍射屏，圆孔中心为O。(4)(4)轴外点的衍射轴外点的衍射这时由于圆孔和波面对这时由于圆孔和波面对 P 点的波带
22、不同心，波带的点的波带不同心，波带的露出部分如下图所示。露出部分如下图所示。(4)(4)轴外点的衍射轴外点的衍射当当 P 点逐渐偏离点逐渐偏离 P0 点时，有的点时，有的地方衍射光会强地方衍射光会强些，有些地方会弱些。些，有些地方会弱些。这些波带在这些波带在 P 点引起振动的振幅大小点引起振动的振幅大小,不仅取决于不仅取决于波带的波带的数目数目，还取决于每个，还取决于每个波带露出部分的大小波带露出部分的大小。3 3菲涅耳圆屏衍射菲涅耳圆屏衍射与上面的情况不同，如果用一个不透明的与上面的情况不同，如果用一个不透明的圆形板圆形板替替代圆孔衍射屏，将会产生怎样的衍射图样代圆孔衍射屏，将会产生怎样的衍
23、射图样?P0Pr0SMM圆屏圆屏观察屏观察屏3 3菲涅耳圆屏衍射菲涅耳圆屏衍射P0r0r0+(N+1)/2r0+(N+2)/23 3菲涅耳圆屏衍射菲涅耳圆屏衍射由由 P0 对波面作波带，只是在圆屏的情况下，对波面作波带，只是在圆屏的情况下，开头开头的的 N 个波带被挡住，第个波带被挡住，第(N+1)个以外的波带全部个以外的波带全部通光通光。P0Pr0SMM圆屏圆屏观察屏观察屏3 3菲涅耳圆屏衍射菲涅耳圆屏衍射因此，因此，P0 点的合振幅为点的合振幅为1211323541 ()222 ()22 (81)2NNNNNNNNNNAaaaaaaaaaaa3 3菲涅耳圆屏衍射菲涅耳圆屏衍射则则 P0 点
24、的振幅总是刚露出的第一个波带在点的振幅总是刚露出的第一个波带在 P0 点点所产生的光场振幅的一半，所产生的光场振幅的一半，即即 P0 点永远是亮点点永远是亮点。1 (81)2NaAP0Pr0SMM圆屏圆屏观察屏观察屏3 3菲涅耳圆屏衍射菲涅耳圆屏衍射若若N 是一个很大的数目，则被挡住的波带就很多，是一个很大的数目，则被挡住的波带就很多，P0 点的光强近似为零点的光强近似为零,基本上是几何光学的结论。基本上是几何光学的结论。P0Pr0SMM圆屏圆屏观察屏观察屏1 (81)2NaA123Naaaa3 3菲涅耳圆屏衍射菲涅耳圆屏衍射考虑到圆屏的对称性，考虑到圆屏的对称性，可以预计：圆屏衍射是以可以预
25、计：圆屏衍射是以 P0 点为中心，在其周围有一组明暗交替的衍射环点为中心，在其周围有一组明暗交替的衍射环。P0Pr0SMM圆屏圆屏观察屏观察屏3 3菲涅耳圆屏衍射菲涅耳圆屏衍射如果我们把圆屏和同样大小的圆孔作为互补屏来考如果我们把圆屏和同样大小的圆孔作为互补屏来考虑，虑，并不存在在夫朗和费衍射条件下得出的除轴上并不存在在夫朗和费衍射条件下得出的除轴上点外，两个互补屏的衍射图样相同的结论点外，两个互补屏的衍射图样相同的结论。0012()=0()()()(64)E PE PE PE P12()=-(E PE P1012()0()()()(64)E PE PE PE P02()()E PE P3 3菲涅耳圆屏衍射菲涅耳圆屏衍射这是因为对于菲涅耳衍射，无穷大的波面将在观察这是因为对于菲涅耳衍射，无穷大的波面将在观察屏上产生一个屏上产生一个非零的均匀振幅分布非零的均匀振幅分布，而不像夫朗和，而不像夫朗和费情形，费情形，除轴上点以外处处振幅为零除轴上点以外处处振幅为零。1(76)22NNaaA 220sinsin2()(56)sin2NI PI作业：作业：P207P207：2 2、3 3、5 5、8 8、1010、1313、1515、1818、2222、2727、2929感谢下感谢下载载
