1、复习复习光学导纳光学导纳修正导纳修正导纳菲涅尔公式菲涅尔公式单一界面的反射率和透射率单一界面的反射率和透射率000000/rHNYNNykE coscosNTMNTEps波：波：01010 S012SSSSSSSSrt0101000112coscosPPPPPPPPPrt2201012010122111012200001cos4cosrriittsisiEIRrIENEITtINE 第二章第二章 光学薄膜理论基础光学薄膜理论基础等效界面思想等效界面思想单层薄膜的等效界面单层薄膜的等效界面等效介质的等效光学导纳等效介质的等效光学导纳单层介质膜的光学特性单层介质膜的光学特性多层介质膜的光学特性多层
2、介质膜的光学特性吸收薄膜的光学特性吸收薄膜的光学特性主要内容主要内容等效界面思想等效界面思想等效介质：等效介质：薄膜系统薄膜系统和和基底基底组合而成。组合而成。将入射介质和等效介质之间的界面称为将入射介质和等效介质之间的界面称为等效界面等效界面，即等效界面两，即等效界面两侧分别是入射介质和等效介质。侧分别是入射介质和等效介质。入射介质的折射率仍旧是入射介质的折射率仍旧是N0，等效介质具有等效光学导纳，等效介质具有等效光学导纳Y。因。因此，此，整个薄膜系统的反射率就是等效界面的反射率整个薄膜系统的反射率就是等效界面的反射率，等效界面的，等效界面的反射率计算公式为：反射率计算公式为：等效界面思想：
3、等效界面思想：任意光学多层膜，无论是介质薄膜或是金任意光学多层膜，无论是介质薄膜或是金属薄膜组合，都可以用一虚拟的属薄膜组合，都可以用一虚拟的等效界面等效界面代替，而且等效代替，而且等效界面的导纳为界面的导纳为 ，如图，如图1所示。所示。200YRY图图1 多层膜的等效界面多层膜的等效界面00HYE单层薄膜的等效界面单层薄膜的等效界面单层薄膜的两个界面在数学上可以用一个等效的界面来表示，如图2。膜层和基底组合的导纳是Y。式中（已将前两式代入）。义为等效介质的光学导纳定即：强度的切向分量连续，界面两侧的电场、磁场根据边界条件，在等效00/2/2/20/20,EHEHYHHEE图2 单层薄膜的等效
4、界面/2/2,EH根据边界条件可以知道：Y=H0/E0。于是如同单一界面的情形，单层膜的反射率可表示为：200YRY只要确定了组合导纳只要确定了组合导纳Y，就可以方便地计算单层膜的反射和，就可以方便地计算单层膜的反射和透射特性。因此问题就归结为求取入射界面上的透射特性。因此问题就归结为求取入射界面上的H0和和E0的比的比值。下面推导组合导纳的表达式。值。下面推导组合导纳的表达式。如图如图3在薄膜上下界面上都有无数次反射，为便于处理，我在薄膜上下界面上都有无数次反射，为便于处理，我们归并所有同方向的波，正方向取们归并所有同方向的波，正方向取+号，负方向取号，负方向取号。号。图图3 单层薄膜的电场
5、单层薄膜的电场同样的意义。等具有和，和，符号上的和是指在界面和1211-12-111121121HHEEEEE等效介质的等效介质的等效光学导纳等效光学导纳 若要求出若要求出r，必须要先知道必须要先知道Y，下面即为等效光学导纳，下面即为等效光学导纳Y的推导及的推导及计算。其基本过程为：计算。其基本过程为：首先，根据界面首先，根据界面1上的边界条件，建立上的边界条件，建立E0、H0与与E11+、E11-的联系；的联系；然后，根据平面电磁波传播规律，找出然后，根据平面电磁波传播规律，找出E11+、E11-与与E12+、E12-的关的关系，从而建立系，从而建立E0、H0与与E12+、E12-的联系；的
6、联系；之后，再根据界面之后，再根据界面2上的边界条件，找出上的边界条件，找出E12+、E12-与与E2、H2的关系，的关系，从而建立从而建立E0、H0与与E2、H2的联系（具体的数值关系与膜系和基底的参的联系（具体的数值关系与膜系和基底的参数数N1、N2、d1等有关等有关)；最后，基于等效界面思想，结合等效介质的等效光学导纳最后，基于等效界面思想，结合等效介质的等效光学导纳Y和基底和基底光学导纳的定义式，最终建立光学导纳的定义式，最终建立Y与膜系和基底的参数的关系。与膜系和基底的参数的关系。等效介质的等效介质的等效光学导纳等效光学导纳推导0110110001111110001111110001
7、11101110111011101111,()()()(EHEEEEEEEEEEHHHHHHkEkEEHHkEkEkEk（）用 和的切向分量在界面两侧连续的边界条件写出在界面 上：于是，可得：01111111121112110001111012)21 2exp(),2exp()cos,()iiEiin dEE eEE ekEkEEkEe（）在界面，的内侧，不同纵坐标、相同横坐标的两点，只要改变波的位相因子，就可确定它们在同一瞬时的状况。正向行进的波的位相因子应乘以而负向行进的波的位相因子应乘以，其中。即：，所以（）0120101101101210121)()iiiikEeHkEkEkEekEe
8、（）（等效介质的等效介质的等效光学导纳等效光学导纳2201112012021201202120120201201120112011201212122012012012120212122121212121)(2121)(21)()()()()(223HEkEkEkHEkEkHEkEkHHEkEkEkEkHHHEkEkEkEEkEEEHE写成矩阵形式：于是，可得：上：两侧连续可写出在界面的切向分量在界面和）同理，根据（12012011000EkEkeeeeHEkiiii写成矩阵形式：等效介质的等效介质的等效光学导纳等效光学导纳联系起来。的切向分量和界面的的切向分量与透过最后和上式就把入射界面的可得
9、）中的矩阵带入（）中的矩阵将（的数值关系与），建立）和（）综合（220022011111122011110001201201100022011120120220000cossinsincos212121212212121213324HEHEHEkiiHEkeeeeHEkEkEkeeeeHEkHEkEkEkHEkHEkiiiiiiii等效介质的等效介质的等效光学导纳等效光学导纳)(1cossinsincos1)()(cossinsincos)(cossinsincos4)(,),()(25202111111002022011111100002201111110000200000020222222
10、EkiiYEkEkEkiiEkYEkHEkiiHEkHHEkYHEEHHEkYHEkHY，即可得）的矩阵带入（和将；将其带入上式可得：等效界面），有根据边界条件（针对对于等效介质有：又根据等效界面思想，；（基底）有：对于介质的的关系膜系和基底参数与建立）运用等效界面思想，（等效介质的等效介质的等效光学导纳等效光学导纳111000221111112111000211111cossin11()()sincoscossin1,sincos1()()cossinsinikEkEYiiBCiBCkEkEYBYCii 令则上式可改写为：解得矩阵1111111111cos2cos()coscosN dTMN
11、PTESN称为该膜层的，由薄层参数唯一确定，它包含了薄膜的全部有用参数，其中；对于（波）分量：，对于波分量：。以后我们将会看到，在分析薄膜特性是，这一矩阵是非常特征矩阵有用的。等效介质的等效介质的等效光学导纳等效光学导纳111211111111cossin1sincos2coscosiBCiYN dN d 矩阵定义为基底和膜层组合的特征矩阵。当膜层参数已知后，其矩阵元就确定了，便可以求出等效光学导纳，进而就可以求得单层介质膜的反射率。我们把叫做薄膜的，把叫做薄膜的有效位相厚度有效光学厚度。单层介质膜的单层介质膜的光学特性光学特性（3）讨论BCY故振幅反射系数为：故振幅反射系数为：能量反射率为：
12、能量反射率为：由由 矩阵的表达式可以知道，当薄膜的有效光学厚度为矩阵的表达式可以知道，当薄膜的有效光学厚度为1/4波长的整数波长的整数倍时，即倍时，即或其位相厚度为或其位相厚度为 的整数倍时，即的整数倍时，即CB21111111cossinsincosiiCB单层介质膜的单层介质膜的光学特性光学特性（4）2在参考波长处会出现一系列的极值。在参考波长处会出现一系列的极值。(a)对于厚度为对于厚度为 的的奇数倍，即奇数倍，即m=1,3,5.的情形，有：的情形，有：(b)而对于厚度为而对于厚度为 的偶数倍，即的偶数倍，即m=2,4,6.的情形，有：的情形，有：这通常称为这通常称为四分之一波长法则四分
13、之一波长法则。此时，。此时，计算可得计算可得计算可得计算可得在参考波长在参考波长 处，它对于膜系的反射或透射特性没有任何影响，因此被称为处，它对于膜系的反射或透射特性没有任何影响，因此被称为“虚设层虚设层”。当然在其他波长上，薄膜的特征矩阵不再是单位矩阵，对膜系的。当然在其他波长上，薄膜的特征矩阵不再是单位矩阵，对膜系的特性是具有影响的。特性是具有影响的。40400单层介质膜的单层介质膜的光学特性光学特性例例2.01 当厚度为当厚度为 波长波长的奇数倍时，反射率是极的奇数倍时，反射率是极大还是极小，视薄膜的折大还是极小，视薄膜的折射率是大于还是小于基片射率是大于还是小于基片的折射率而定。的折射
14、率而定。a）b)4040图图4 单层介质膜的反射率随其光学厚度的变化关系，其单层介质膜的反射率随其光学厚度的变化关系，其中中n0=1,n2=1.5,膜的折射率为膜的折射率为n1，入射角，入射角 。00 当膜的光学厚度取当膜的光学厚度取 的偶数倍时，反射率也是极的偶数倍时，反射率也是极值，且视它们的折射率而定，值，且视它们的折射率而定，只是情况恰巧相反，如图所只是情况恰巧相反，如图所4示。示。单层介质膜的单层介质膜的光学特性光学特性注意：注意：（1）因为）因为R是是 的函数，所以，这里所说的的函数，所以，这里所说的“极值极值”、“虚虚设层设层”都是对特定波长（即满足都是对特定波长（即满足 的波长
15、）而的波长）而言。言。（2）单层介质膜的反射率随其光学厚度的变化关系：单层介质膜的反射率随其光学厚度的变化关系：a)b)（3）因为）因为 ，所以，所以单层介质膜的反射率随膜层厚单层介质膜的反射率随膜层厚度的周期性变化也有可能是波长度的周期性变化也有可能是波长 变化所致。变化所致。4cos111mdN111cos2dN单层介质膜的单层介质膜的光学特性光学特性例例2.1由于由于 波长厚度的薄膜在多层膜设计中用的非常广泛，波长厚度的薄膜在多层膜设计中用的非常广泛，因而有一些简单的速写符号。因而有一些简单的速写符号。经常用经常用H表示高折射率的表示高折射率的 波长的膜层；而波长的膜层；而L表示低表示低
16、折射率的折射率的 波长的膜层；且通常用波长的膜层；且通常用M表示中间折射表示中间折射率的率的 波长的膜层。波长的膜层。例如用例如用 表示一个高低折射率交替的三表示一个高低折射率交替的三层膜结构。层膜结构。40基片”“空气HLH404040基片”膜系“空气图HLH5单层介质膜的单层介质膜的光学特性光学特性例题例题2.1根据上述根据上述 波长法则，等效界面的导纳为波长法则，等效界面的导纳为 ，同样对于同样对于4144HsLnnn 单层介质膜的单层介质膜的光学特性光学特性基片”膜系“空气图LHLH6等效界面的导纳为等效界面的导纳为多层介质膜的多层介质膜的光学特性光学特性上面对单层薄膜的讨论可以推广到
17、多层膜的情况。任意光学上面对单层薄膜的讨论可以推广到多层膜的情况。任意光学多层膜，无论是介质薄膜或是金属薄膜组合，都可以用一虚多层膜，无论是介质薄膜或是金属薄膜组合，都可以用一虚拟的等效界面代替，而且等效界面的导纳为拟的等效界面代替，而且等效界面的导纳为 ，如图，如图7所示。所示。00EHY 图图7 多层薄膜的等效界面多层薄膜的等效界面如上节讨论的，在界面如上节讨论的，在界面1和界面和界面2应用边界条件可以得到：应用边界条件可以得到：在界面在界面2和界面和界面3应用边界条件可以得：应用边界条件可以得：重复这一过程，（如图重复这一过程，（如图8）再到在界面）再到在界面K和和K+1应用边界条件得到
18、：应用边界条件得到：图图8 求解多层薄膜的矩阵法求解多层薄膜的矩阵法多层介质膜的多层介质膜的光学特性光学特性因为个界面的切向分量连续，故有：因为个界面的切向分量连续，故有：所以经过连续的线性变换，最后可以得到矩阵方程式所以经过连续的线性变换，最后可以得到矩阵方程式多层介质膜的多层介质膜的光学特性光学特性这样，膜系的特征矩阵为：这样，膜系的特征矩阵为：对对p-偏振波和偏振波和s-偏振波，膜层的位相厚度都是：偏振波，膜层的位相厚度都是：矩阵矩阵称为第称为第j层膜的特征矩阵。层膜的特征矩阵。多层介质膜的多层介质膜的光学特性光学特性（4）式（式（4）在薄膜光学中具有特别重要的意义，因为它几乎构成了）在
19、薄膜光学中具有特别重要的意义，因为它几乎构成了全部计算的基础。全部计算的基础。多层介质膜的多层介质膜的光学特性光学特性该该k层膜系的光谱特征为：层膜系的光谱特征为：（5）式（式（5）虽然是针对介质膜系（）虽然是针对介质膜系（N=n）推导出来的，但是可以证明，对于）推导出来的，但是可以证明，对于含有吸收膜层（含有吸收膜层（N=n-ik）的多层膜系，这些公式仍适用。）的多层膜系，这些公式仍适用。多层介质膜的多层介质膜的光学特性光学特性前面已经主要分析了介质薄膜的特性计算方法。下面简要分析前面已经主要分析了介质薄膜的特性计算方法。下面简要分析包包含吸收薄膜的膜系的反射和透射特性含吸收薄膜的膜系的反射
20、和透射特性。原则上只要将折射率代之。原则上只要将折射率代之以复折射率以复折射率n-ik，上述方法是同样适用的。，上述方法是同样适用的。势透射率势透射率首先引入势透射率的概念，所谓势透射率是从薄膜系统出射的能首先引入势透射率的概念，所谓势透射率是从薄膜系统出射的能量与进入薄膜系统的能量之比值，即量与进入薄膜系统的能量之比值，即 如图如图1所示。所示。RT1图1 薄膜系统的势透射率RT1)1:(R进入膜系的全部为根据坡印廷矢量的表达式，那么可得。又因为组合的光学导纳和电场为多膜层和基底、场，为基底的光学导纳和电、其中)(0111EEEYENkkkg2)Re(21)(Re(21ENENEI可以得到：直接代入就可以得到：同时可得：率。值就是薄膜系统的吸收，其差之和不再等于，因而透过率和反射率射率总是小于吸收薄膜系统，其势透。但是任何一个，因而收）系统，势透射率对于介质薄膜（即无吸11)1(1RT势透射率势透射率
