1、第十三讲 光的折射和反射反射定律 （14，15）折射定律：费马原理：光在指定的两点之间传播，实际的光程总是极值（最大值、最小值或定值）。光程=ns。siniinc（1，2，3，4，5，6，8，9，10）（7，11，12，13）1.如图所示轴在一块介质的界面上，光线垂直于介质从点射入。已知该介质在为同一值的面上有相同的折射率，值不同折射率也随之变化。若在处介质的折射率为，光线射入后沿抛物线 传播，则折射率随的变化规律如何？2axy yn解：因为在值相同处相同，所以有：0sin90sinynnr 得：0sinynrn2200cotynnrn 读图可知 cotyrx 2yax2222axxxax x
2、xyxxx 忽略二阶小量 2x得：2yaxx（此处采用的是求差商的算法，亦可直接对式求导）由、得：2200cot222ynnyraxaayan可解得 014ynnay 2.有一半导体砷化镓发光管，它发出波长为0.9微米的红外光。发光区为直径AB等于3毫米的圆盘，发光面上覆盖一折射率n=3.4的半球形介质，如图所示。问：要使发光区发出的全部光线在球面上都不发生全反射，介质半球的半径R至少应该多大？11sinsincnBC 解：这种题首先要判断那一根光线最容易发生全反射。只要这根光线不发生全反射即可。考察P点，无疑BP的入射角B最大，如果发生全反射的临界角为C：，只要即可。对到达P点的光线，可证明
3、是B点来的BP入射角最大，以A点为例证之：分别对AOP和BOP用正弦定理：sinsinAAODrAPsinsinBBODrBPsinsin,AODBOP APBPsin1sinBAAPBPBA只要BP不发生全反射，AB上其它点的光线都不会发生。对B点发出的光而言，P点在何处最易发生全反射？对BOP用正弦定理，得：sinsinsinBPBOrRR1sinsin3.4Bmc3.45.1RrmmsinsinBrR2sinBmrR，当时，即PBAB时，入射角最大。只要*，将图示平面绕ON转180，再绕AB转180，可知只要满足*式，所有光线都不会发生全反射。3.有一根玻璃管，它的内、外半径分别为和，充
4、满发光液，在射线影响下，会发出绿光。对于绿光，玻璃和液体的折射率分别为和。如果有人从外表面观察，玻璃管壁的厚度似乎为，请问比值必须满足什么条件？解：引起管壁厚度为0的感觉是因为有部分来自液体的光线射出管外时，沿着管外壁的切线方向到达眼睛。从液体来的光到达A点，在B点沿切线方向射出来的光线，其入射角111sinn在AOB中用正弦定理 sinsin 180rR即 sinsinrR只要 max，即当 1max1sinrRn时，既能满足。max的值取决于n1和n2的比值，如果 n2n1,则 12maxsinnn，于是条件为 21rRn n2n1,则 maxsin1，于是条件为 11rRn 4.给定一厚
5、度为的平行平板，其折射率按下式变化一束光在点由空气垂直入射平板，并在点以角出射。求点的折射率，并确定点的位置及平板厚度。（设，。）rxnxn1)(0解：折射定律：112233sinsinsin.nnn本题中光从的点射入（垂直），即 0,90 xxnn为常数，即 0n0sinsin90 xxnnsin1oxxnxrxnrr 由上图可看出：轨迹是一个半径为r的圆。亦即有 sinxOCxOC当光从A点射出时，有sinsincossin 90AAAn因为 0sinAAnn故有 200sin,cos1AAAAnnnn2222020sinsin1.20.51.31AAnnnn再根据 1.21.311.3x
6、可得 1xcm方程 222rxry，1xcm可得 yd5cm 5.此图表示的是一根弯曲的筒形光学纤维，其芯料和皮料的折射率分别为ng和nc（且 ngnc），纤维芯的直径为D，曲率半径为R。试证明：入射光的最大孔径角2u满足关系式222)21(sinRDnnucg解：考虑光以临界角入射到B点：sinccgninA点：sinsingunr在ABO中用正弦定理 22sincossin2cDDRRRirr22222222/2sin1cos112cgggcgRDnDunrnnnRR n芯、皮界面，所以有22222222/2sin1cos112cgggcgRDnDunrnnnRR n 6.使一束向P点会聚
7、的光在到达P点之前通过一平行玻璃板。如果将玻璃板垂直于光束的轴放置，问会聚点将朝哪个方向移动？移动多少距离？解：使像成得更远了。（如图）第一次折射1212sinsinsinsinirnri1122,ir irPCAP/侧移11sinriBCd1cosrhBC 1111111111111sin coscos sincos sinsinsin1coscossin coshirirhirdirhirrir1111111111111sin coscos sincos sinsinsin1coscossin coshirirhirdirhirrir利用折射定律可得 11112111 coscossin1
8、sin1cos1 siniidhihinrnr以 11sin1sininr 代入上式，得11221cossin1sinidhini由此可知12211cos1sinsindiPPhini由此可知 PP与i也有关，在i10时 11PPhn(因为 PP与i有关，因此当i较大时，这样形成的像是不清晰的)7X行星上大气的折射率随离行星表面的高度h按照0nnh规律减小，行星半径为R，其表面某一高度h0处有一道光线，它始终维持在同一高度绕行星传播。试求h0。请看“另解”。00nRh2另解：根据费马原理，光程应该是一个定值。()()()000002hRh nhh)=2(hR nh()()()()()00000
9、02000hR nhh nhhRhhR nh 00nRh2可得：8有一放在空气中的粗玻璃棒，折射率n=1.5，中心轴线长L=45cm，一端是半径为R1=10cm的凸球面（1）要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴线为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？（2）对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光束与玻璃棒的主光轴成小角度1时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度2，求2/1（此比值等于此玻璃棒望远系统的视角放大率）。9如图，薄壁球形玻璃鱼缸的半径为R，所盛水的折射率n=4/3，鱼缸左侧与轴线垂直的平面镜离球心的距离为
10、3R。一条位于左球面顶点处的小鱼沿缸壁以速度v游动，从鱼缸右侧观察鱼的直接像与反射像(先经平面镜，再经鱼缸)。求两像之间的相对速度。22223MMM 223vv 1283vvvv总的放大率 故速度为 则得到相对速度 评析）评析）：本题直接运用单球面成像公式，注意符号法则。10。求证：当光线的传播路线相对三棱镜对称时，光线的偏向角最小，并求出此最小偏向角解：（1）如果对称，应有i1=r2，r1=i2sin i1=sin r2=nsin r1=nsin i2，r1+i2=可得112sin(sin)2n 1sin(sin)rn出1sin(sin)n0i再选一根特殊光，易得1sinsin22nsin(
11、)sinnsin2sincos22，应用，可有1sincos221sincos22（2）根据光路可逆，以r2入射的光线，肯定以i1射出，即有两个入射角i1和r2对应同一个，只有r2=i1时，才是一个入射角对应一个，因此这时的应为一个极值，再考虑到（1）的结论1，可见为一极小值。注：常用式测 n，1sin2sin2n 如很小，i也很小，则有=(n-1)12ii解：先证明当 时，是一极值。如图a所示，由光路可逆知道，当入射角是i1和i2时，偏向角都是，即两个入射角对应一个（图b）(a)(b)(b)OCD以O点为圆心，1和n为半径分别作圆弧C1和C2（图C）。做平行于入射光的OC，做平行于左表面法线
12、的CD，作平行于右表面法线的DE，在中用正弦定理：(c)sinsinODOCOCDCDO11sinsinniCDO，1CDOiCDE COE对照左表面的折射定理，可知 ，因此OD就是棱镜中的光线方向。同样可证OE就是出射光线。显然 。如果从D点张出一个定角，在平面内扫描，显然当OD平分时，在小圆上截得的圆弧最短，即角最小。12ii12ii12ii12i12i由图C可看出：若，则上两式可改写为；12i12i11sinsin2sin sin2ini；（此方法可测n）11.一平凸透镜的折射率为n，放置在空气中，透镜孔径的半径为R。在透镜外主光轴上取一点F，O F=f。当平行光言主光轴入射时，为使所有
13、光线均会聚于F点。试问：（1）透镜凸面应取什么形状？（2）透镜顶点A与点O相距多少？（3）对透镜的孔径R有何限制？根据费马原理，所有光线应有相等的光程（如图）即BF 和NMF 的光程应相等2222nxfxyfR2222211nfRnxyn22221nffRn设M点的坐标为(x,y)整理：22021nfRfxn2221nffRan令则上式成为222201nxxya0Ay22201AnxxaA点的，这是双曲线方程220211AfRfaxxnnAxf221fRffn21Rnf 因为F在透镜外，即，因此对R有限制 ，12（1）设曲面S是由曲线B绕x轴转动而成的，曲面两侧的折射率分别为n和n。若所有平行
14、于x轴的平行光线经曲面折射后相交于x轴上一点，则曲面称为无相差曲面。设所有光线聚焦于F点。已知n、n和OF=f。求曲线B的方程。（2）球面会聚透镜只能使近轴光线聚焦于一点，如果我们要使宽光束会聚于一点，我们就需要有一个无相差曲面透镜。现有一折射率n=1.5的平凸透镜，半径R=5cm，使一束垂直入射的平行光交于F点，OF=f=12cm。求平凸透镜中心厚度的最小值。（3）有一折射率为n=1.5的平凹透镜。半径R=2cm，边缘厚度为d0=0.5cm。若垂直入射的平行光束经折射后仿佛从F发出，OF=f=20cm。求平凹透镜中心厚度的最小值。13试证明：近轴条件下的薄透镜成像公式1211111nuvRR
15、式中u为物距，v为象距，R1，R2为透镜折射面曲率半径。14一束白光以=30角射到肥皂膜上，反射光中波长0=0.5m的绿光很明亮。（1）试问膜的最小厚度为多少？（2）从垂直方向观察薄膜是什么颜色？(肥皂膜n=1.33)。15.在半径、孔径的凹镜的焦点位置上，放置一块圆形屏幕，使平行于轴的所有入射光线，经凹镜反射后都将能到达该圆形屏幕。试求圆形屏幕直径。如果在上述条件下圆形屏幕的直径减小到仅有原来的，问有多少部分的光可以到达在同一位置的屏幕上？解：通常凹镜的焦点F在其半径的中点处(F)。设凹面镜孔径之半为h，入射光与半径成a角，反射后与主轴交于F1点。因 OPF1等腰，12cosROF故实际焦点
16、F1与F的偏差为112 sec12cos22RRRFFOFOFx=F1Ftan2aa=F1F sin2aa=F1F2h/R=2sec1sec12RhhR对于小角 1/22221cos1 sin112 121seccos12 将a=h/R代入，可得圆屏半径322hxR如果用半径为kx的屏代替，则入射光束的半径 322khR kx入射光的量正比于hk2，因此 232222/32khR kxh k本题情况是k=1/8，因此hk2=h2/4 即光量为原来的1/4。16.解：真实物距为1130nS OSOdcmn像距121f 60SScmSf2211214dSdSdSfdtdtdtSf 4xvv2yvvv像的速度,222 5xyvvvv（也可对11121sfs求导）（也可以用初等数学，见下一页注）注：没有掌握求导知识的同学也可以用小量近似。00111uvf经过一段很短的时间t以后00111uvtvvtf()()0000111vvfu 1tv 1tuv小量近似：()()00001v1v11t1tuuvvf-：20222000vvvttvv4vuvu 可得
