1、1传递函数及其性质传递函数及其性质典型元部件的传递函数典型元部件的传递函数2 数学工具拉普拉斯变换与反变换 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 拉氏变换基本定理线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理 dtetfst0)(dtetftfLsFst0)()()()()()()(22112211sFasFatfatfaL)()(asFtfeLat)()(sFetfLs)(lim)(lim0ssFtfst3数学工具拉普拉斯变换与反变换续初值定理 微分定理 积分定理 拉氏反变换F(s)化成下列因式分解形式：a.F(s)中具有不同的极点时，可
2、展开为)(lim)(lim0ssFtfst)0()()(fssFdttdfL)0()0()()(222fsfsFsdttfdLsfssFdttfL)0()()(1sfsfssFdttfL)0()0()()(2212)()()()()()()(2121nmpspspszszszsksAsBsF nnpsapsapsasF 2211)(kpskkpssAsBa)()()(4b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为 nnpsapsapspsasasF 332121)()(11)()()(2121pspspspssAsBasac.F(s)含有多重极点时，可展开为)()()()()()(11111111
3、nnrrrrrrpsapsapsbpsbpsbsF 1)()()(1psrrpssAsBb111)()()(psrrpssAsBdsdb11)()()(!1psrjjjrpssAsBdsdjb1)()()()!1(11111psrrrpssAsBdsdrb其余各极点的留数确定方法与上同。52.3 控制系统的复域数学模型2.3.1 传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型传递
4、函数。定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。)()(sRsC零初始条件输入信号的拉氏变换输出信号的拉氏变换传递函数6式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，和是与系统结构和参数有关的常系数。设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令R(s)Lc(t)，R(s)=Lr(t)，可得s的代数方程为：于是，由定义得系统传递函数为：)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnn
5、nnnn )()(11101110sRasbsbsbsCasasasammmmnnnn 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：7mmmmbsbsbsbsM 1110)(nnnnasasasasN 1110)()()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm G G(s s)R R(s s)C C(s s)图图2 2-6 6G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。传递函数是复变量s的有理真分式函数，mn，且所具有复变量函数的所有性质。性质1性质28)()()(sRsCsG如果将dtdS 置换 微分方程传递函
6、数 性质3G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。性质4如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。性质5传递函数数学模型 是（表示）输出变量和输入变量微分方程的运算模型（operational mode）传递函数与微分方程之间有关系。性质692.3.2 传递函数的极点和零点对输出的影响 为传递函数的零点 为传递函数的极点极点是微分方程的特征跟，因
7、此，决定了所描述系统自由运动的模态。)()()()()(11*jnjimiPSZSKsNsMsG),2,1(mi iZjP),2,1(nj 性质7传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。1)()(tLsRttdgtrdtgtrsRsCLsCLtc0011)()()()()()()()(10零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小如果零极点重合该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。-0 0.5 5-1 1.3 33 3-1 1-2 2z z1 1z z2
8、 2图图2 2-7 7 传传递递函函数数的的零零极极点点图图112.3.4典型元部件的传递函数电位器将线位移或角位移变换为电压量的装置。单个电位器用作为信号变换装置。E -电位器电源(v)电位器最大工作角(rad)max12)()(1sKsU1)()()(KssUsG(c c)H H(s s)U U(s s)1KE EU U(t t)(a a)图图2 2-8 8 电电位位器器-)()(1tKtUmmEEK221(b)(b)(tU)(t132.3.5典型环节及其传递函数任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。KsG)(11)(TSsG典型环节通常分为以下六种：1 比例环节2 惯性环节式中
9、 K-增益特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式变送器等。14式中 T-时间常数 特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出KSsG)(1)(SsG12)(22SSsG不能立即复现，输出无振荡。实例：一阶RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入 信号的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。3 微分环节理想微分一阶微分二阶微分15TSsG1)(1212)(22222TSSTSSsGnnn)10(nnT14 积分环节式中 阻尼比,-自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率
10、）特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。5 振荡环节振荡环节的单位阶跃响应曲线16)()(trtcsesG)(6 延迟环节式中 延迟时间特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。17图图2 2-9 9 电电位位器器1 12 2U U(t t)21K11K)()()()(1211tKttKtuK1是单个电位器的传递函数
11、，)()()(21ttt是两个电位器电刷角位移之差，称误差角。1)()(KssU电位器的负载效应，一般要求plRR10一对电位器可组成误差检测器18图图2 2-1 10 0 测测速速发发电电机机TGU U(t t)永永磁磁铁铁TG激激磁磁绕绕组组U U(t t)(a a)（b b)输输出出绕绕组组、相相互互垂垂直直dttdKtKtUt)()()(t)(t转子角速度（rad/s）tK输出斜率（v/rad/s）SKssUsGt)()()(tKssUsG)()()(K Kt t(s s)U U(s s)S SK Kt tU U(s s)图图2 2-1 11 1(s s)H H直流测速发电机交流测速发
12、电机测速发电机测量角速度并将它转换成电压量的装置19)()()()(21tMKtUKtdttdTcammm)(tMc可视为负载扰动转矩。根据线性系统的叠加原理，分别求)(tUa到)(tm和)(tMc到)(tm的传递函数。)(tMc0)()()(1sUKssSTammm)()()1(1sUKsSTamm由传递函数定义 1)()()(1STKsUssGmamA 令B 令0)(tUa)()()(2sMKssSTcmmm 1)()()(2STKsMssGmmcm例2-9中求得电枢控制直流电动机简化后的微分方程为电枢控制直流伺服电动机20M M(s s)U Ua a(s s)U Ua a(s s)(sm)(sm12sTKm11sTKm)1(1sTsKm)(s图图2 2-1 12 2dtd)()(sSsm两相伺服电动机 两相定子线圈和一个高电阻值的转子组成。定子线圈的一相是激磁绕组，另一相是控制绕组，通常接在功率放大器的输出端，提供数值和极性可变的交流控制电压。
