1、第五章第五章 分析力学分析力学引言：经典力学引言：经典力学 分析力学矢量力学一、一、二者特点比较二者特点比较析基本量：能量、数学分以变分原理为基础，分析力学.12.采用广义坐标、消除理想采用广义坐标、消除理想约束，解决变量不独立的问约束，解决变量不独立的问题、灵活方便，便于进行坐题、灵活方便，便于进行坐标变换、着重能量便于推广标变换、着重能量便于推广、基本量：为基础，以矢量力学,aFFam.1rrrr=所涉及的矢量较多，且常会所涉及的矢量较多，且常会对矢量进行分解，有较强的对矢量进行分解，有较强的矢量性矢量性.2分析问题的几何直观性强，处理作用力之外，所涉及的处理作用力之外，所涉及的多是动能、
2、势能等标量，标多是动能、势能等标量，标量性较强量性较强3.推演较多容易忽略物理实质推演较多容易忽略物理实质二、发展史二、发展史1.最早：最早：Lagrange（法籍意大利人）（法籍意大利人）1788年年分析力学分析力学 是由虚功原理和达兰贝尔原理相结合而得到的拉格朗日是由虚功原理和达兰贝尔原理相结合而得到的拉格朗日“动力学普遍方程动力学普遍方程”，进而推广为自由参数的一般动力学方，进而推广为自由参数的一般动力学方程程拉格朗日方程。拉格朗日方程。2.Hamilton（爱尔兰人）（爱尔兰人）1834年推出正则方程，年推出正则方程，3.1843年提出年提出 哈密顿原理，积分形式，是从莫培督的最小作哈
3、密顿原理，积分形式，是从莫培督的最小作用量原理发展起来的变分原理。用量原理发展起来的变分原理。4.其它人的贡献：如莫培督、欧拉、高斯、雅科毕等人其它人的贡献：如莫培督、欧拉、高斯、雅科毕等人 分析力学的基本理论体系有微分形式和积分形式两种。分析力学的基本理论体系有微分形式和积分形式两种。5.1约束与广义坐标约束与广义坐标 一、约束及分类一、约束及分类 1.力学体系：有相互作用的质点的集合，该集合称为力学体力学体系：有相互作用的质点的集合，该集合称为力学体 系系简称体系简称体系,即第二章所讲的质点组即第二章所讲的质点组2.约束：加在体系上限制其运动（位置和速度）的条件。约束：加在体系上限制其运动
4、（位置和速度）的条件。约束方程，如：约束方程，如：0),(=tzyxzyxf3.分类：分类：1）稳定和不稳定约束）稳定和不稳定约束 约束方程中不显含约束方程中不显含t，称为稳定约束。如：，称为稳定约束。如：0),(=zyxf约束方程中显含约束方程中显含t，称为不稳定约束。如：，称为不稳定约束。如：0),(=tzyxf如：小虫在吹着的气球上运动，如：小虫在吹着的气球上运动，20222)(tRzyx=0),(=zyxf0),(=tzyxf仅限制位置仅限制位置几何约束，或称完整约束几何约束，或称完整约束 0),(=tzyxf3)几何约束、运动约束几何约束、运动约束 2）可解和不可解约束）可解和不可解
5、约束 以等式表示的为不可解，以不等式表示的为可解。如以等式表示的为不可解，以不等式表示的为可解。如 不仅限制位置，且限制速度不仅限制位置，且限制速度运动约束，或称微分约束运动约束，或称微分约束 0),(=trrfrr0:=ax如若可积分为几何约束的仍为完整约束。反之，为非完整若可积分为几何约束的仍为完整约束。反之，为非完整约束，另外可解约束也称为非完整约束约束，另外可解约束也称为非完整约束 4.凡受完整约束的体系叫凡受完整约束的体系叫完整系完整系，否则为，否则为非完整系非完整系。我们。我们主要研究完整系主要研究完整系 5.约束力：约束是运动质点间的相互作用实现其效果的，该作约束力：约束是运动质
6、点间的相互作用实现其效果的，该作 用就是约束力用就是约束力，注意施力物体是施加约束的面、线等，注意施力物体是施加约束的面、线等0),(=zyxf0),(=tzyxf是不可解的，而是不可解的，而是可解的是可解的czyxf),(二、自由度、广义坐标二、自由度、广义坐标 1.自由度：自由度：确定一力学体系的运动（或位形）所需求的确定一力学体系的运动（或位形）所需求的独立坐标变独立坐标变更数更数，叫体系的自由度。，叫体系的自由度。如如:n个自由质点组成的体系，个自由质点组成的体系，3n个独立坐标，有个独立坐标，有3n个独立的坐标变更数个独立的坐标变更数xi ,3n个自由度。个自由度。1）完整系）完整系
7、：一个约束方程，有一个坐标位置之间的：一个约束方程，有一个坐标位置之间的关系式，独立坐标减少一个，若有关系式，独立坐标减少一个，若有k个完整约束，则个完整约束，则自由度自由度=3n-k=s，如约束在圆周上运动的一质点，自如约束在圆周上运动的一质点，自由度为由度为2-1。2）非完整系）非完整系：非完整约束中含有速度限制，即限制坐：非完整约束中含有速度限制，即限制坐标变更项，该关系式可以使独立的坐标数减少，则自标变更项，该关系式可以使独立的坐标数减少，则自由度数由度数s独立坐标数。我们不研究这样的体系独立坐标数。我们不研究这样的体系2.广义坐标广义坐标 若体系有若体系有k个几何约束，则有个几何约束
8、，则有3n-k个独立坐标，引进个独立坐标，引进s个个独立坐标独立坐标q1,q2qs121212(,)(,)(,)iisiisiisxx q qq tyy q qq tzz q qq t=12(,)1,2,3,3iisrr q qq tinsn=或12,sq qq 为广义坐标，可完全描述体系的位形222R0,cossin0zxyRqxRyRz=例如：质点被约束在半径为 的圆周上运动约束方程：引进广义坐标则注：注：1）q不一定是线量，可以是面积，体积，电极化强度等不一定是线量，可以是面积，体积，电极化强度等 2）q可自由选取，但必须方便确定体系的位置，可自由选取，但必须方便确定体系的位置，3）几何
9、约束下，独立坐标数）几何约束下，独立坐标数=自由度自由度=广义坐标数广义坐标数=3n-k 5.2虚功原理虚功原理一、实位移，虚位移一、实位移，虚位移1.实位移：实位移：质点在运动中实际发生的位移，质点在运动中实际发生的位移，dtvrdr=它总是与时间的改变相伴随，它总是与时间的改变相伴随，变化引起的。是基本变量则trddt,0,0=4）广义坐标的确定，一方面可通过对力学体系运动的分）广义坐标的确定，一方面可通过对力学体系运动的分析，确定需要多少个独立变量才能确定其位形，一方面析，确定需要多少个独立变量才能确定其位形，一方面可通过可通过 的方式确定的方式确定kn32.虚位移：虚位移：是想象的在某
10、时刻、在约束许可的条件下，是想象的在某时刻、在约束许可的条件下，可可 能能发生的位移，以发生的位移，以r 表示。表示。该位移不是时间变化引起的，只取决于该时刻在其上的该位移不是时间变化引起的，只取决于该时刻在其上的 约束和位置。约束和位置。的变分称为rtr)0(=3.二者区别：二者区别：1）实位移满足一定的运动规律，符合约束，由力和初始）实位移满足一定的运动规律，符合约束，由力和初始条件唯一确定条件唯一确定 2）虚位移与力，初始条件无关，是纯几何概念，它只满）虚位移与力，初始条件无关，是纯几何概念，它只满足某时刻的约束条件，约束许可的虚位移可能有无数个。足某时刻的约束条件，约束许可的虚位移可能
11、有无数个。如：否则不同中的一个，为如在稳定约束中,rrdf(x,y,z,t)f(x,y,z,t+dt)rdrPP二、理想约束二、理想约束称为虚功任虚位移上的功虚功：质点受到的力在wrF=.1）第质点受约束力的合力为（即束叫理想约束。元功之和为零，这种约位移上到诸约束力，在任意虚理想约束：力学体系受iRrRiii0.2=3.常见理想约束常见理想约束 1)光滑曲面，曲线，铰链；光滑曲面，曲线，铰链；2)刚性杆；刚性杆；3)不可伸长的轻绳不可伸长的轻绳；0)coscos(coscos22112221112211=rrTrTrTrTrTrRiiT1T2r1r212三、三、虚功原理：虚功原理：1.有一受
12、有一受k个稳定的约束体系，处于平衡状态，对每一质点均有个稳定的约束体系，处于平衡状态，对每一质点均有）是作用到质点上的合力iiiiRFniRF,(),2,1(0=0,11=niiiniiiirRrFrr则置发生一令每一质点在其平衡位则若为理想约束,0,1=niiirR01=niiirF0)(1=niiiziiyiixzFyFxF.可证处于平衡反之，若满足上式，则虚功原理动力的虚功之和等于零在任何虚位移上所有主件是，体系处于平衡的充要条即：受理想稳定约束的由于约束，3n个坐标不完全独立，系数全为零则可能变为n个自由质点的平衡方程变化率乘变化量)0(=tr2.虚功原理用广义坐标表示：虚功原理用广义
13、坐标表示：qqrrtqqqrrsiisii=121),(0)(1111=siniisiniiqQqqrFrFw，则有是各自独立，且为任意由于q称为广义力QsqrFQinii),2,1(01=于零。作用于体系的广义力等件是，体系处于平衡的充要条即：受理想稳定约束的广义力和广义坐标相对应，只有满足广义力和广义坐标相对应，只有满足二者的乘积具有功的形式即可，在二者的乘积具有功的形式即可，在5.3节进一步讲解。节进一步讲解。实际就是质点或刚体在广义坐标下的平衡时的条件解：解：3.应用：应用：1)可求得体系平衡时主动力之间所满足的条件可求得体系平衡时主动力之间所满足的条件;2)由于约束力自动消去，在求约
14、束力时，解除约束，可由于约束力自动消去，在求约束力时，解除约束，可 视为主动力视为主动力.例例1：求平衡时，：求平衡时，与主动力之间的关系与主动力之间的关系 oyxP2FP1(x1,y1)(x2,y2)AB=2121,1qqlABlOABA取，故只有两个自由度令需四个坐标则位置确定确定坐标）确定自由度，选广义coscos,sinsincos21cos,sin21sincos21,sin21),(221B21B2122121111llyllxllyllxlylxtqrrii=）写出0332211=yFxPxPw）应用定理计算0)sinsin(cos21cos(cos212121211=llFll
15、PlP0sincos21,0sincoscos210422211211=FllPQFllPlPQq，得前的系数）令FPtgFPPtg2,22221=0)sincos21()sincoscos21(22211211=FllPFllPlP),.,(21tqqqrrsiirr=小结：小结：1.约束的分类约束的分类 2.广义坐标广义坐标 3.实位移实位移 与虚位移与虚位移 4.理想约束理想约束 5.虚功原理：虚功原理：条件：理想完整约束条件：理想完整约束利用虚功原理处理理想约束平衡问题的步骤利用虚功原理处理理想约束平衡问题的步骤 （1）建立固定坐标系（）建立固定坐标系（2）确定广义坐标（自由）确定广义
16、坐标（自由度），并把主动力的作用点的直角坐标用广义坐标表示度），并把主动力的作用点的直角坐标用广义坐标表示 （3）利用虚功原理求解）利用虚功原理求解rdrrr12,sq qq 为广义坐标，可完全描述体系的位形0.1=iniirRrr0)(1=niiiziiyiixzFyFxF0)(1111=siniisiniiqQqqrFrFw称为广义力QsqzFqyFqxFqrFQiiziiyniiixinii),2,1(0).(11=核心思想是把动力学问题转换为静力学问题来研究核心思想是把动力学问题转换为静力学问题来研究 5.3 拉格朗日方程拉格朗日方程 一、基本形式的拉格朗日方程一、基本形式的拉格朗日方
17、程1.达朗贝尔原理达朗贝尔原理体系由体系由n个质点组成，每个质点有个质点组成，每个质点有 0)(1=iniiiiiiirRrFrrm 0(1=niiiiirFrm）称为称为达朗贝尔达朗贝尔-拉格朗拉格朗方程，此方程，此即质点系普遍的动力学方程即质点系普遍的动力学方程2.达朗贝尔达朗贝尔-拉格朗日方程拉格朗日方程(1)0=iiiiiiiiRFrmRFrm 则利用虚功原理可得对理想约束,01=iniirRirr),.,(21tqqqrrsiirr=2.把达朗贝尔把达朗贝尔-拉格朗日方程用广义坐标表示拉格朗日方程用广义坐标表示1）坐标变换）坐标变换 设：体系受设：体系受k个几何约束个几何约束s=3n
18、-k个个q 0(1=niiiiirFrm）由于受到约束，诸由于受到约束，诸 不完全独立，因而不能令上式的所有不完全独立，因而不能令上式的所有系数都为零，否则就成了自由质点的运动，所以需把普通系数都为零，否则就成了自由质点的运动，所以需把普通坐标换为相互独立的广义坐标（完整约束），同时力也要坐标换为相互独立的广义坐标（完整约束），同时力也要发生相应变化发生相应变化dttrdqqrdqqrdqqrrdissiiii=rrrrr.2211iirrdrrqqrrsii=1令令则则2）把）把 代入代入 qqrrsii=10(1=niiiiirFrm）0)()(1111111=siniisiniiinis
19、iiiiniiiiiqqrFqqrrmqqrFrmrFrm ）即是上节讲的广义力，它的求解过程，就与即是上节讲的广义力，它的求解过程，就与应用虚功原理求解类似（在该过程，实际就是求广义应用虚功原理求解类似（在该过程，实际就是求广义力，只是让它等于零罢了）力，只是让它等于零罢了）),2,1(1sqrFQinii=QqrFPqrrminiiiniii=)()(11 0(111=ssniiiiiqQqPrFrm）irr关键是简化关键是简化 P因因所以所以qrdtdrmqrrmqrrmdtdiniiiiniiiiniii=111)(qrdtdrmqrrmdtdqrrmPiniiiiniiiiniii=
20、111)(qrqrii=trqqrdtrdrisiii=rrr1的函数不是qtrqrisir=,1qrtrqqrqtqrqqrqqrtqqrqqrdtdisiiiisiisi=)()()()(1211的函数和是tqqri 对时间t的微商和对广义坐标 的偏微商可对易和和 相互独立相互独立qq 在数学上就是求复合函数的微商qrqrii=qrtrqqrqtqrqqrqqrtqqrqqrdtdisiiiisiisi=)()()()(1211qrrmqrrmdtdqrdtdrmqrrmdtdqrrmPiniiiiniiiiniiiiniiiiniii=rr 11111)()(qrrmqTqrrmqTrm
21、Tiniiiiniiiinii=1121,21qTqTdtdP=0(111=ssniiiiiqQqPrFrm）qTqTdtdP=把把代入达拉方程代入达拉方程)4,3,2,1(sQqTqTdtd=此即便是基本形式的拉格朗日方程此即便是基本形式的拉格朗日方程0)(11=qQqTqTdtdss因诸因诸 相互独立相互独立q为广义力qrFQinii=13)4,3,2,1(sQqTqTdtd=为广义速度q 1 拉格朗日方程是以拉格朗日方程是以q为变量的为变量的s个二阶线性微分方程组个二阶线性微分方程组,方程个数方程个数=自由度数自由度数，约束越多，自由度越少，方程越少，约束越多，自由度越少，方程越少，只要
22、写出只要写出T，Q，代入方程即可得到运动方程，代入方程即可得到运动方程.适用条件：理想的完整体系适用条件：理想的完整体系 也可以是角动量动量，我们常见的，可以是线为广义动量，如,2122xmxTxmTqT=注明：注明：如力，力矩，压强，电场强度等，如力，力矩，压强，电场强度等，总之广义力和相应广义坐标之积总之广义力和相应广义坐标之积有功的量纲即可有功的量纲即可.,)(,4力称为仿照LagrangeqTQqTqTdtdRFdtdP=二、保守系的二、保守系的L方程方程 ttqqqqxVtzyxzyxVVkzVjyVixVVFsiiiii,),(),()(3211222111=qVqzzVqyyVq
23、xxVkqzjqyiqxkzVjyVixVqrFQniiiiiiiiiniiiiiinii=)()()(111qVqTqTdtd=0)()(0,=qVTqVTdtdqVqV的函数不是,VTLlet=),3,2,1(0sqLqLdtd=保守体系的拉保守体系的拉格朗日方程格朗日方程L是体系在广义坐标所确定的位形空间中重要的特性函是体系在广义坐标所确定的位形空间中重要的特性函数，表征体系的约束、运动及其相互作用等情况，称为数，表征体系的约束、运动及其相互作用等情况，称为拉格朗日函数拉格朗日函数对拉格朗日方程的认识对拉格朗日方程的认识:(1)地位的重要性：是解决受理想完整约束的力学体系的地位的重要性：
24、是解决受理想完整约束的力学体系的普遍动力学方程，在分析力学中占有重要的地位普遍动力学方程，在分析力学中占有重要的地位（2）拉格朗日方程是标量方程，以力学体系的动能为基本）拉格朗日方程是标量方程，以力学体系的动能为基本变量；应用时对非保守系，只需计算动能和广义力，对保守变量；应用时对非保守系，只需计算动能和广义力，对保守系只需计算系统的动能和势能系只需计算系统的动能和势能（3）拉格朗日方程是用一组与体系自由度数目相等的）拉格朗日方程是用一组与体系自由度数目相等的广广义坐标（相互独立）义坐标（相互独立）表示的力学体系的二阶运动微分方程表示的力学体系的二阶运动微分方程（4）避开了约束反力，约束越多，
25、独立坐标数越少，越容）避开了约束反力，约束越多，独立坐标数越少，越容易求解，对于受复杂约束的体系的动力学研究开辟了捷径易求解，对于受复杂约束的体系的动力学研究开辟了捷径从拉格朗日方程推导过程及结论从拉格朗日方程推导过程及结论,可以判断应用拉格朗可以判断应用拉格朗日方程解题的一般步骤：日方程解题的一般步骤：（1）明确是否是受理想完整约束的力学体系）明确是否是受理想完整约束的力学体系（2）判断力学体系的自由度（确定广义坐标数）判断力学体系的自由度（确定广义坐标数）（3）选广义坐标（根据题意，需要灵活选取），数目与）选广义坐标（根据题意，需要灵活选取），数目与自由度相等自由度相等（4）计算系统的动能
26、，且用广义速度来表示）计算系统的动能，且用广义速度来表示（5）对非保守系计算广义力，对保守系计算势能（用）对非保守系计算广义力，对保守系计算势能（用广义坐标表示）广义坐标表示）（6）代入拉格朗日方程求得质点系的运动微分方程，）代入拉格朗日方程求得质点系的运动微分方程，进而求得运动进而求得运动三三 拉格朗日方程的应用拉格朗日方程的应用ol例例1、应用拉格朗日方程求单摆的动力学方程、应用拉格朗日方程求单摆的动力学方程解：由题意受理想完整约束，可用解：由题意受理想完整约束，可用保守系下的拉格朗日方程求解。保守系下的拉格朗日方程求解。(1)自由度确定。受绳子约束，所自由度确定。受绳子约束，所以小球运动
27、的自由度为以小球运动的自由度为1，（2）选广义坐标。）选广义坐标。如右图所示选如右图所示选 为广义坐标为广义坐标（3）计算动能势能。以）计算动能势能。以O为零势能为零势能点点cosmglV=（4）代入保守系下的拉格朗日求解。拉氏）代入保守系下的拉格朗日求解。拉氏函数函数),3,2,1(0sqLqLdtd=sinmglL=2221mlT=cos2122mglmlVTL=2mlL=2)(mlLdtd=0sin2=gll 例例2：5.12(应用基本形式的拉格朗日方程）应用基本形式的拉格朗日方程）ABFCyxmgO2a解：解：1）确定自由度，选广义坐标）确定自由度，选广义坐标=21,qxq2 2）写出
28、）写出T，Q=cossinCCayaxx22222222222221)cos2(2121)sin()cos(2121)(21mkaxaxmmkaaxmIyxmTccc=杆受到平面的约束3)代入方程代入方程FaaxmxTmamaxmxTdtdmaxmxT=)sincos(0,sincos)(cos22 )sincos2()cos()sin2(1mgaaFxFamgaxFymgxFqQWcBs=sincos2,mgaaFQFQx=实际就是力矩sincos2)(cossinxma)(sincos)()(coscos22222222mgaFakaxamTkamxmaxmaTdtdkamxmamkmax
29、maT=相应于广义坐标相应于广义坐标rFrFrrxzyOxFzF例例3，应用拉格朗日方程，求质点在力，应用拉格朗日方程，求质点在力 的作用下相对的作用下相对以角速度以角速度 绕竖直轴转动的坐标系绕竖直轴转动的坐标系O-xyz的动力学方的动力学方程程 分析：用一般形式的拉格朗日方程分析：用一般形式的拉格朗日方程解：（解：（1）确定自由度为）确定自由度为3（2）选广义坐标，由于无特征，）选广义坐标，由于无特征，所以就选所以就选x,y,z为广义坐标，相应的为广义坐标，相应的广义力就为广义力就为yF（3）计算动能）计算动能k zjxyiyxk zj yi xkk zj yi xrvvrrrrrrrrr
30、rrrrr=)()()()(ymxmxT=ymxmxTdtd=)()22(21)()(212222222222yxxyxyzyxmzxyyxmT=)4,3,2,1(sQqTqTdtd=ymxmxT=2xFxmymxm=22 zyFzmFyxym=)2(2同理=zyxFzmymxmFymxmymFxm 2222与采用非惯性系，所得的动力学方程一样，可见拉格朗日方与采用非惯性系，所得的动力学方程一样，可见拉格朗日方程的优势所在程的优势所在drdddrsinrdddrdrrddasinsin.2=drddrdrrddsinsin.2=选选 为广义坐标为广义坐标 小六面体对角线长的平方小六面体对角线长
31、的平方方法二：在球坐标系下求解方法二：在球坐标系下求解球坐标与直角坐标间的变换关系：球坐标与直角坐标间的变换关系：cossinsincossinrzryrx=,r2222)sin()()()(drrddrds=2222222sinrrrs=,rsin,rFrFFr对点O的力矩222sinmrTmrTrmrT=0cossinsin22222=TmrTmrmrrT2222222sinrrrs=所以在球坐标系下质点的动能为所以在球坐标系下质点的动能为广义坐标广义坐标 相应的广义力为相应的广义力为)4,3,2,1(sQqTqTdtd=)sin(21212222222rrrmsmT=)sincossin
32、2sin2()sin()()2()()()(22222222 rrrrmrdtdmTdtdrr rmrdtdmTdtdrmrTdtd=FrrrmrFrrrrmFrrrmrFmrrr rmFrrrmr=)sincos2sin2(sin)sincossin2sin2()cossin2(cossin)2()sin(22222222222 对z轴的力矩1l2l1m1q2q11qrl1q2qOx例例4，两个滑轮及三个砝码组成一滑轮组，如图所示，约去，两个滑轮及三个砝码组成一滑轮组，如图所示，约去摩擦及滑轮本身的重量，求每一砝码的加速度摩擦及滑轮本身的重量，求每一砝码的加速度2m3m22qrl解解:(1)
33、确定体系的自由度为确定体系的自由度为2（2）选广义坐标如图所示，）选广义坐标如图所示，为为（3）计算体系的动能和势能）计算体系的动能和势能（是保守力系，无需计算广义（是保守力系，无需计算广义力）以图示的力）以图示的O点为零势能点点为零势能点)(2)()(21)(21)(212123212322132122132212211mmqqqmmqmmmqqmqqmqmT=)()()(2132212111qqgmqrlqgmqrlgmV=)()()(2132212111qqgmqrlqgmqrlgmV=)(2)()(21)(21)(212123212322132122132212211mmqqqmmqm
34、mmqqmqqmqmT=拉氏函数拉氏函数),3,2,1(0sqLqLdtd=)()()(2)()(2121322121112321223221321qqgmqrlqgmqrlgmmmqqqmmqmmmVTL=)()()()(231232223213211mmqqmmqLmmqqmmmqL=gmmqLgmmmgmgmgmqL)()(2323211231=0)()()(0)()()(232321233212231321=gmmqmmqmmgmmmqmmqmmm 0)()()(0)()()(232321233212231321=gmmqmmqmmgmmmqmmqmmm 解方程并讨论：解方程并讨论：给
35、出初始条件，可求出全部运动情况，若只求加速度，给出初始条件，可求出全部运动情况，若只求加速度，在在 的情况下，代入上两式可得的情况下，代入上两式可得kgmkgmkgm1,2,3321=03062121=gqqqq 1771751721321211gqqagqqagqa=（方向向上）（方向向上）q四、循环积分（针对保守系下的拉格朗日方程）四、循环积分（针对保守系下的拉格朗日方程）1.循环积分：循环积分：如在如在L函数中，不显含函数中，不显含q或者说不出现或者说不出现 则则该坐标为循环坐标（可遗坐标），有该坐标为循环坐标（可遗坐标），有0=qL0=qLdtd),3,2,1(0sqLqLdtd=Cq
36、L=拉格朗日方程是二阶常微分方程，若在一定条件下拉格朗日方程是二阶常微分方程，若在一定条件下使其降为一阶方程，则就得到所谓的第一积分使其降为一阶方程，则就得到所谓的第一积分即体系的广义动量守恒即体系的广义动量守恒一个循环坐标一个循环坐标循环积分循环积分一个循环积分一个循环积分一个广义动量守恒一个广义动量守恒,r系统有多少个循环坐标，就有多少个循环积分（广系统有多少个循环坐标，就有多少个循环积分（广义动量积分），但循环坐标的多少与广义坐标选取义动量积分），但循环坐标的多少与广义坐标选取有密切关系；同时广义坐标选取不同，与之相应的有密切关系；同时广义坐标选取不同，与之相应的广义动量的物理意义也不同
37、广义动量的物理意义也不同（1）有心力场中：）有心力场中：I，平面极坐标：此时广义，平面极坐标：此时广义坐标为坐标为rmkrrmVTL2222)(21=此时不出现此时不出现 ，即为循环坐标即为循环坐标循环积分为：循环积分为：CJmrL=2角动量守恒角动量守恒II，直角坐标：此时广义坐标为，直角坐标：此时广义坐标为x,y)()(2122222yxmkyxmVTL=无循环坐标无循环坐标1CxmxL=（2）自由质点在重力场中的运动）自由质点在重力场中的运动I、若选择与地面固连的坐标系、若选择与地面固连的坐标系O-xyz，z轴竖直向上，轴竖直向上，并以并以x,y,z为广义坐标，则为广义坐标，则mgzzy
38、xmVTL=)(21222此时不出现此时不出现x,y ，x,y 即为循环坐标即为循环坐标,对对应的两个广义动量积分应的两个广义动量积分2CymyL=物理意义：即质点在物理意义：即质点在x方向和方向和y方向动量守恒方向动量守恒II，若选择球坐标，若选择球坐标)sin(21212222222rrrmsmT=cosmgrV=cos)sin(21222222mgrrrrmVTL=仅仅 是循环坐标，所以只存在是循环坐标，所以只存在一个广义动量积分：一个广义动量积分：CmrL=22sin物理意义：对物理意义：对z轴的角动量守恒轴的角动量守恒五、能量积分五、能量积分设一完整保守系，有设一完整保守系，有s个自
39、由度个自由度 trqqrrisi=1012011,21111111112112121)(21)(21).(21)(21TTTaqaqqatrmqtrqrqqqrqrtrqqrtrqqrmtrqqrmTssiniiisniisniiisisiisiniiisinii=次函数的二次，一次，分别为0,012qTTTtrqrii,因因仅是仅是 和和 t 的函数，所以的函数，所以 不含不含 qq),(yxfz=)()(tytx=dtdyyzdtdxxzdtdz=若体系是稳定的，可以适若体系是稳定的，可以适当当选取广义选取广义坐坐标，让标，让 不含不含t,即即),.,(21siiqqqrrrr=0=tri
40、r则则0,0=aaTT=2),.,(21sqqqVV=在拉格朗日方程的两边同乘以在拉格朗日方程的两边同乘以q qVqTqTdtd=qqVqqTqqTdtd=qqTqqTdtdqqTdtd=)(qqTqqTdtdqqTdtd=)(irrqqVqqTqqTdtd=qqTqqTdtdqqTdtd=)(qqVqqTqqTqqTdtd=)()(Tmvvvmv2.)21(22=TqqT2=又又 仅是仅是 的函数，不是的函数，不是t的显函数，所以的显函数，所以Tqq,qqTqqTdtdT=)(21222rrmT=如：质点在平面极坐标系运动的动能dtdVdtdTTdtd=)2(),.,(21sqqqVV=aq
41、qVdtdV=qqVqqTqqTqqTdtd=)()(TqqT2=qqTqqTdtdT=0=dtdVdtdT积分得积分得EVT=积分常数即为能量，所以称能量积分，表明保守、积分常数即为能量，所以称能量积分，表明保守、完整，稳定的力学体系其机械能守恒，这与在稳完整，稳定的力学体系其机械能守恒，这与在稳定约束下，约束反力不做功，只有保守力做功，定约束下，约束反力不做功，只有保守力做功，所得的结论一致。所得的结论一致。若约束不是稳定的，则若约束不是稳定的，则),.,(21tqqqrrsiirr=0trir012011,21111111112112121)(21)(21).(21)(21TTTaqaq
42、qatrmqtrqrqqqrqrtrqqrtrqqrmtrqqrmTssiniiisniisniiisisiisiniiisinii=T仍不是时间t的显函数，V也假定不是120122TTqqTqqTqqTqqT=qqTqqTdtdT=aqqVdtdV=qqVqqTqqTqqTdtd=)()(hVTTVTTTTTVTTT=02012121222广义能量不能得出能量积分的原因？例例:5.6oxycM(x,y)at解解:选选q=为广义坐标为广义坐标约束方程约束方程 222)sin()cos(ataytax=是非稳定约束是非稳定约束)sin(sin)cos(cos=tataytatax2cos22co
43、s221)(21,0222222222mamamayxmLLTV=0sin0sin)()2cos2(22222=amammadtdL方程代入不是循环坐标，不是循环坐标，L中不显含中不显含t,有广义能量积分有广义能量积分.222222021,2cos2maTamT=2cos22cos221)(21,0222222222mamamayxmLLTV=)0(02=VhTTV常量=2cos22122222ammah讨论：讨论：例例5.9：求运动方程：求运动方程zyxorztgrzqrqs=,2)1(21tgrmgVtgrrrmzrrmT=)(21)(21)2(222222222mgrctgctgrrrm
44、VTL=)(2122220)1()(0)()()3(2222=mgctgmrrmctgdtdrLrLdtdrmrdtdLLdtd常数0sincossin0csc2222=grrmgctgmrrm 5.7 s=1(约束方程约束方程x2=4ay)xyoxmgPv222222222)(21,xyxmTxyxvxvj yi xvxqe=取axmgVxaxxmTxaxyaxymgyV4)41(212,4,2222222=axmgxaxxmVTL4)41(21222222=axmgxmxaxmxLxaxmaxxmxLdtdaxxmxL242)41()(),41(222222222=024)41(22222
45、=axmgxmxaxmxaxm 5.5 哈密顿正则方程哈密顿正则方程 一、保守系下拉格朗日方程一般意义上的降阶一、保守系下拉格朗日方程一般意义上的降阶）（）（21),3,2,1(),(321321qLpsqTqLptqqqqqqqqLLss=),3,2,1(0sqLqLdtd=),(),(,(L,),(,1321321321321tppppqqqqLtpqqLLtppppqqqqqqtqqqTqssss=则代入的函数，因而的函数，还可能是时间一般是，因）解出（微观世界常说到动量空间和坐标空间，所以有了动量对时间的导数还应求得坐标对时间的导数同时，拉氏函数的自变量也从同时，拉氏函数的自变量也从
46、变成了变成了tqq,tpq,即即),(321321tppppqqqqqqss=从而我们得到两个仅仅是对时间一阶导数的方从而我们得到两个仅仅是对时间一阶导数的方程，即程，即qLP=),(),(,(321321tppppqqqqLtpqqLLss=分析：上述两个方程是一阶方程，达到了降阶目的，与拉分析：上述两个方程是一阶方程，达到了降阶目的，与拉格朗日方程相比，独立变量从格朗日方程相比，独立变量从s+1个变为个变为2s+1个。但关键个。但关键的一个不足是既不对称，不美观，也难以计算。的一个不足是既不对称，不美观，也难以计算。解决方案：当独立变量发生改变时函数也发生改变，则问解决方案：当独立变量发生
47、改变时函数也发生改变，则问题就可能变得相对简单，所以需把拉格朗日函数题就可能变得相对简单，所以需把拉格朗日函数 变换为变换为新的函数新的函数 勒让德变换勒让德变换二、勒让德变换二、勒让德变换),(yxff=yu,fyu,),(yuf 一组独立变数变为另一组独立变数，同时函数本身也一组独立变数变为另一组独立变数，同时函数本身也发生改变的变换发生改变的变换两个自变量的勒让德变换：两个自变量的勒让德变换：根据问题需要，根据问题需要，中，任何两个都可做为中，任何两个都可做为独立变量，若将独立变量，若将 当做独立变量，则当做独立变量，则vuyx,此时，可将函数此时，可将函数 改用为改用为 表出，记为表出
48、，记为vdyudxdyyfdxxfdf=xfu=yfv=),(),(yuvvyuxx=),(),(yyuxfyuf=yxuvyxxfyyyfyf=uxuuxxfuyyfuxxfuf=),(yxfz=)()(tytx=dtdyyzdtdxxzdtdz=yx,vu,yu,vx,但利用上述表达式，能推得但利用上述表达式，能推得xxffuxfg=vx,yu,yxuvyxxfyyyfyf=uxuuxxfuyyfuxxfuf=原函数对旧的独立变量原函数对旧的独立变量 的偏微商能表达出的偏微商能表达出 但但对新的独立变量对新的独立变量 的偏微商不能表达出的偏微商不能表达出用新函数用新函数 便其对新独立便其对
49、新独立变量变量 的偏微商表出的偏微商表出 ；该新函数所具；该新函数所具有的特点是：有的特点是：新的函数等于不要的变量乘以原新的函数等于不要的变量乘以原函数对该变量的偏微分，再减去原函数函数对该变量的偏微分，再减去原函数。对多。对多个变量的勒让德变换可依次类推。这就是勒让个变量的勒让德变换可依次类推。这就是勒让德变换的规律或本质所在。德变换的规律或本质所在。和 是等价的ffu,y相互独立，0=yuxxuxuuxuuxfuug=)(vyxuyxuvyuxyxuyfuxfyyg=)(q pH三、哈密顿正则方程三、哈密顿正则方程 根据勒让得变换，要使拉氏函数的一种独立变数根据勒让得变换，要使拉氏函数的
50、一种独立变数 变为变为 ，则应引入新的函数，则应引入新的函数 qpLHs=1)(1dpqqdpdLdHs=dttLqdpdqpdttLqdqLdqqLdLss=11)(拉氏函数仍是拉氏函数仍是 的函数的函数tqq,dttLdpqdqpdHs=)(1),(),(,(321321tppppqqqqLtpqqLLss=dttLdpqdqpdHs=)(1变换后的函数变换后的函数 ，是，是 的函数，则的函数，则Htqp,dttHdppHdqqHtpqdHs=)(),(1所以对比上面两方程有：所以对比上面两方程有：),3,2,1(sqHppHq=tLtH=Hamilton 正则方程正则方程有2s个独立变量
