1、庄浪县大庄庄浪县大庄中学中学 在在新课程标准的指引下，数学教学方法新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新。数学教学不应局限也在不断改进、创新。数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，应该是让于一个狭窄的课本知识领域里，应该是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三，适当地应用数运用课本的知识举一反三，适当地应用数学学“变式教学变式教学”是一种十分有效的手段。是一种十分有效的手段。所谓所谓“变式变式”，就是指教师有目的、有计划，就是指教师有目的、有计划地
2、对某种范式（数学教材中具体的知识、地对某种范式（数学教材中具体的知识、问题、思维模式等）的变形形式，通过不问题、思维模式等）的变形形式，通过不断变更问题的情境或改变思维的角度，在断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物本质特征的情况下，使事物的外保持事物本质特征的情况下，使事物的外在非本质的属性不断迁移，变化。在非本质的属性不断迁移，变化。采用变式方式进行教学就是变式教学。变采用变式方式进行教学就是变式教学。变式教学是一种有效的数学教学途径，可以式教学是一种有效的数学教学途径，可以提高学生的思维能力、应变能力；也可以提高学生的思维能力、应变能力；也可以培养学生的创新精神。教师利用变式教学，
3、培养学生的创新精神。教师利用变式教学，能引导学生对数学问题多角度，多方位，能引导学生对数学问题多角度，多方位，多层次地思考和讨论，使学生更深刻地理多层次地思考和讨论，使学生更深刻地理解数学知识；引导学生从解数学知识；引导学生从“变变”得现象中发得现象中发现现“不变不变”的本质，从的本质，从“不变不变”的本质中探究的本质中探究“变变”的规律，提高学生的思维能力和创新的规律，提高学生的思维能力和创新精神。精神。一、对变式教学的理解一、对变式教学的理解 数学变式教学，是指通过不同角度、不同数学变式教学，是指通过不同角度、不同的侧面、不同的背景，从多个方面变更所提供的侧面、不同的背景，从多个方面变更所
4、提供的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学形式学形式.1.1 1.1 数学变式教学的本质含义数学变式教学的本质含义一、对变式教学的理解一、对变式教学的理解1.2 1.2 初中数学变式教学的意义初中数学变式教学的意义 初中数学变式教学，对提高学生初中数学变式教学，对提高学生的思维能力、应变能力是大有益处的思维能力、应变能力是大有益处 变式教学在教学过程中不仅是对基础知识、基本变式教学在教学过程中不仅是对基础知识、基本技能和思维的训练，而且也是有效实现新课程三维教技能和思维的
5、训练，而且也是有效实现新课程三维教学目标的重要途径学目标的重要途径 一、对变式教学的理解一、对变式教学的理解在复习“坐标系内的图形对称”时，曾经设计过如下的题目【案例1】点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是()；关于y轴对称的点的坐标是()；关于原点对称的点的坐标是().变式1 直线y=2x-1关于x轴对称的直线的解析式是 ；关于y轴对称的直线的解析式是 ；关于原点对称的直线的解析式是 .变式2 双曲线y=1/x，关于x轴对称的解析式是 ；关于y轴对称的解析式是 关于原点对称的解析式是 .变式3 抛物线y=3x2+2x-1，关于x轴对称的是 关于y轴对称的解析式是 ;关于原点对称的解析式是
6、.一、对变式教学的理解一、对变式教学的理解【案例案例2】又如，】又如，在在勾股定理的应用勾股定理的应用中中。题目：题目：如如图图1，在，在ABC中，中，C=90，在在ABC外，分别以外，分别以AB、BC、CA为边作正方形，为边作正方形，这三个正方形的面积分别记为这三个正方形的面积分别记为s1,s2，s3，探索，探索三者三者之间的关系。之间的关系。图1 变式变式1：如图：如图2，在，在ABC中，中，C=90，在在ABC外，分别以外，分别以AB、BC、CA为边作为边作正三角形，这三个正三角形的面积分别记正三角形，这三个正三角形的面积分别记为，为，s1,s2,s3.请探索三者之间的关系。请探索三者之
7、间的关系。图2 变式变式2：如图：如图3，在，在ABC中，中，C=90，在在ABC外，分别以外，分别以AB、BC、CA为直径为直径作半圆，这三个半圆的面积分别记为作半圆，这三个半圆的面积分别记为 s1,s2,s3.请探索三者之间的关系。请探索三者之间的关系。变式变式3：你认为所作的图形具备什么特征时，：你认为所作的图形具备什么特征时，均有这样的关系。均有这样的关系。图3二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.3 参与性原则2.1 针对性原则2.2 可行性原则二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.1 针对性原则 变式教学要根据学习需要，遵循学生的认知规律设计，变式教学要
8、根据学习需要，遵循学生的认知规律设计，其目的是通过变式使学生在理解知识的基础上，把学其目的是通过变式使学生在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力，形成解题技能，最终完成到的知识转化为能力，形成解题技能，最终完成“知知识识-应用应用-理解理解-形成技能形成技能-培养能力培养能力”的认知过程。所以的认知过程。所以对于不同的课型，对变式教学的目的应不同。例如，对于不同的课型，对变式教学的目的应不同。例如，新授课的变式教学应服务于本节课的教学目的；习题新授课的变式教学应服务于本节课的教学目的；习题课的课的“变式教学变式教学”应以本章节内容为主，适当渗透一应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数
9、学方法；复习课的变式教学不但要渗些数学思想和数学方法；复习课的变式教学不但要渗透数学思想和数学方法，还要进行纵向和横向的联系，透数学思想和数学方法，还要进行纵向和横向的联系，同时变式习题要紧扣课标；在试卷讲评课时，变式教同时变式习题要紧扣课标；在试卷讲评课时，变式教学就要根据学生答题的情况进行有针对性地查漏补缺、学就要根据学生答题的情况进行有针对性地查漏补缺、巩固、提高巩固、提高。二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.2 可行性原则 1、变式设计要有差异性。设计数学问题变式，要强调一个、变式设计要有差异性。设计数学问题变式，要强调一个“变变”字，但不能字，但不能“变变”得过于简单
10、，不能让学生认为是简单的得过于简单，不能让学生认为是简单的“重复劳重复劳动动”，打消学生思考问题的积极性；难度较大的变式习题容易挫伤学，打消学生思考问题的积极性；难度较大的变式习题容易挫伤学生的学习积极性，使学生丧失自信心，难以获得成功的喜悦，所以在生的学习积极性，使学生丧失自信心，难以获得成功的喜悦，所以在选择习题进行变式时要变得有选择习题进行变式时要变得有“度度”。从心理学角度分析，新颖的题。从心理学角度分析，新颖的题目对学生刺激强，学生做题的兴奋度高，注意力容易集中，积极性高，目对学生刺激强，学生做题的兴奋度高，注意力容易集中，积极性高，思维敏捷，能收到较好的训练效果。所以变式题组的题目
11、之间要有明思维敏捷，能收到较好的训练效果。所以变式题组的题目之间要有明显的差异，要使学生对每道题既感到熟悉，又觉得新鲜，深深吸引学显的差异，要使学生对每道题既感到熟悉，又觉得新鲜，深深吸引学生的好奇心与求知欲。生的好奇心与求知欲。二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.2 可行性原则 2、变式设计要有层次性。刚才讲到变式教学要难易适、变式设计要有层次性。刚才讲到变式教学要难易适中，同时，变式教学中问题的设计还要层层递进，让问题中，同时，变式教学中问题的设计还要层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区，充分激发学生的好奇心处于学生思维水平的最近发展区，充分激发学生的好奇心和求知欲
12、。要让学生经过思考，能够跨过一个个和求知欲。要让学生经过思考，能够跨过一个个“门槛门槛”，这样既达到训练的目的，又可以培养学生的思考问题的方这样既达到训练的目的，又可以培养学生的思考问题的方式。式。二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.2 可行性原则 3、变式设计要有内涵性。变式设计的问题要争取具有、变式设计要有内涵性。变式设计的问题要争取具有典型性，要注意知识之间的横、纵向联系，具有延伸性，典型性，要注意知识之间的横、纵向联系，具有延伸性，争取内涵丰富，给学生留下充足的思维空间。要通过争取内涵丰富，给学生留下充足的思维空间。要通过“变变式训练式训练”让学生体会到相应的数学思想方
13、法，提高学生的让学生体会到相应的数学思想方法，提高学生的思维品质，让学生在美丽的变式中领略数学的魅力。思维品质，让学生在美丽的变式中领略数学的魅力。二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.3 参与性原则 在变式教学中，教师要让学生主在变式教学中，教师要让学生主动参与，不要总是教师动参与，不要总是教师“变变”，学生，学生“练练”。要鼓励学生大胆地。要鼓励学生大胆地“变变”，培养学生的创新意识和创新精神。不培养学生的创新意识和创新精神。不要小看学生的能力，他们会创造出令要小看学生的能力，他们会创造出令老师惊讶的结果。老师惊讶的结果。三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例3.1 概念变
14、式【案例案例3】“平方根平方根”概念的教学概念的教学【案例案例4】“矩形矩形”的概念教学的概念教学【案例案例5】“绝对值绝对值”的概念教学的概念教学3.1 概念变式【案例3】“平方根”概念的教学正方形正方形面积面积416494/250.81边长边长x2416494/250.81x 三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例3.1 概念变式【案例案例4】“矩形矩形”的概念教学的概念教学 B C D A B C D A D C B A三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例3.1 概念变式【案例案例5】“绝对值绝对值”的概念教学的概念教学填空填空(在横线内填在
15、横线内填、或或=)若若a=5,则则|a|0 若若a=-3,则则|a|0 若若a=0,则则|a|0若若a0,则则|a|0 若若a0则则|a|0 若若a=0,则则|a|0总结得出结论总结得出结论：无论无论a为何值为何值|a|0三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例3.1 概念变式【案例案例5】“绝对值绝对值”的概念教学的概念教学变式变式1：若若|a|=0，则，则a=()若若|a|+|b|=0,则则a=(),b=()若若|a|+|b|+|c|=0,则则a=(),b=(),c=()若若|a1|+|a2|+|a3|+|an|=0,则则a1=()a2=(),an=()三、变式教学应用举例三、变式教学应用
16、举例3.1 概念变式【案例案例5】“绝对值绝对值”的概念教学的概念教学变式变式2：若若|a-1|=0，则，则a=()若若|a-1|+|b+2|=0,则则a=(),b=()若若|a-1|+|b+2|+|c-3|=0,则则a=(),b=(),c=()三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例3.1 概念变式【案例5】“绝对值”的概念教学变式3：若a2=0，则a=()若a2+b2=0,则a=(),b=()若|a|+b2=0,则a=(),b=()概念在数学教学中的比例较大，能概念在数学教学中的比例较大，能否正确理解概念是学生学好数学的关否正确理解概念是学生学好数学的关键，但是概念通常比较抽象，学生感键，
17、但是概念通常比较抽象，学生感觉枯燥，学习起来索然无味，并且难觉枯燥，学习起来索然无味，并且难以理解，通过变式等手段，不仅能有以理解，通过变式等手段，不仅能有效的解决这一难题，使学生渡过难关，效的解决这一难题，使学生渡过难关，而且还可加深学生对概念内涵和外延而且还可加深学生对概念内涵和外延的更深层次的理解。的更深层次的理解。三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例3.2 图形变式【案例案例6】在直线上找一点到已知两点的距在直线上找一点到已知两点的距离之和最小问题离之和最小问题【案例案例7】等腰三角形底边上一点到两腰距等腰三角形底边上一点到两腰距离之和问题离之和问题【案例案例8】弦切角的性质弦切角
18、的性质3.2图形的变式图形的变式案例案例6如图、已知直线如图、已知直线L和和L外两点外两点A、B在直线在直线L上求作一点上求作一点P，使，使PA+PB最短最短。LBAP如图、已知直线如图、已知直线L和和L外两点外两点A、B在直线在直线L上求作一上求作一点点P，使，使PA+PB最小。最小。PLBAA1C3.2图形的变式图形的变式变式变式1如图：四边形如图：四边形ABCD是正方形，是正方形，E是是BC的中点，在对角线的中点，在对角线BD上求作一上求作一点点P使使PC+PE最小。最小。ABCDEPABCDEP3.2图形的变式图形的变式如图：正方形如图：正方形ABCD的边长为的边长为4，E是是BC的中
19、的中点，点，P是是BD上的动点，求上的动点，求PE+PC的最小值的最小值。ABCDEP3.2图形的变式图形的变式链接中考链接中考解解：连接：连接AE交交BD于于P，则则P为所求且为所求且AE的长就是的长就是PE+PC的最小值的最小值。P抛物线抛物线y=x2-2x-3，在对称轴上能否找到一点，在对称轴上能否找到一点P,使得使得APC的周长最短？若存在，求出的周长最短？若存在，求出点点P的坐标，若不存在，说明理由。的坐标，若不存在，说明理由。解：存在。连接解：存在。连接BC交直线交直线X=1于点于点P,则则P为所求的点。为所求的点。B(3，0)C(0，-3)直线直线BC的解析式为：的解析式为：y=
20、X-3当当X=1时时 y=-2点点P的坐标是（的坐标是（1，-2）。）。CyAXOB3-1X=1链接中考链接中考P案例7已知：如图（已知：如图（1）在）在ABC中，中，AB=AC,P是是BC的中点，的中点，PEAB，PFAC，E、F为垂足。为垂足。求证：求证：PE=PF证明：连接证明：连接APAB=AC BP=CPPAB=PAC PEAB PFACPE=PFAFCPBE（1）3.2图形的变式已知：如图（已知：如图（2）在）在ABC中，中，AB=AC,D是是BC的的中点，中点，P是是AD上一点，且上一点，且PEAB，PFAC，E、F为垂足。求证：为垂足。求证：PE=PF证明同上。证明同上。AFC
21、DBEP（2）3.2图形的变式已知：如图（已知：如图（3）在）在ABC中，中，AB=AC,D是是BC的的中点，中点，P是是DA延长线上一点，且延长线上一点，且PEAB交交BA的的延长线于延长线于E，PFAC交交CA的延长线于的延长线于F。求证：求证：PE=PF证明同上。证明同上。AFCDBEP3.2图形的变式如图：在如图：在ABC中中AB=AC，P是是BC边上任意一点，边上任意一点，PEAB，PFAC，E、F为垂足。为垂足。求证：求证：PE+PF=定值。定值。证明：连接证明：连接AP则则SABC=SABP+SACPACBD=ABPE+ACPFAB=ACACBD=ACPE+ACPFBD=PE+P
22、F即即PE+PF=定值定值ABCFDEP3.2图形的变式问题：当动点在等腰三角形底边所在直线（底边之问题：当动点在等腰三角形底边所在直线（底边之外）上运动时，其动点到两腰的距离之间有何关外）上运动时，其动点到两腰的距离之间有何关系呢？系呢？此时，此时，SABPSACP=SABC即即ABPEAPPF=ABCD因此很自然地得到因此很自然地得到PEPF=常量常量EAPFBCD3.2图形的变式问题：当动点在三角形内部运动时，动点到题：当动点在三角形内部运动时，动点到三边的距离之间是否有一定的等量关系。三边的距离之间是否有一定的等量关系。SABC=SPAB+SPBC+SPACABCD=ABPE+BCPG
23、+ACPF（在这里我们找不到有价值的东西，（在这里我们找不到有价值的东西，那如果那如果ABC是等边三角形呢？是等边三角形呢？）ABCFPEDG3.2图形的变式SABC=SPAB+SPBC+SPACABCD=ABPE+BCPG+ACPFAB=BC=ACPE+PG+PF=CDPE+PG+PF=常量常量ADEBGCFP3.2图形的变式问题：当动点在等边三角形外运动时，又能得到什么结论呢？问题：当动点在等边三角形外运动时，又能得到什么结论呢？由图知：由图知：SPABSPBCSPAC=SABCABPGBCPEACPF=ABCDAB=BC=ACPG-PE-PF=CD=常量常量ADBCEPFG3.2图形的变
24、式案例8 弦切角的性质 观察：如图观察：如图1，如果将线段，如果将线段DE以点以点D为中心作逆时为中心作逆时针旋转，同时保证线段针旋转，同时保证线段BC与与DE仍然相交于圆周仍然相交于圆周上，当上，当DE变为圆的切线时（如图变为圆的切线时（如图2），你能发现），你能发现什么现象？什么现象？ABDCEOAD(C)BEO 1 3.2图形的变式2根据圆内接四边形的性质可知，图根据圆内接四边形的性质可知，图1中中BCE=A，当图形，当图形变化为图变化为图2后，后，DE成为切线，那么成为切线，那么BCE=A仍然成立仍然成立吗？吗？猜想：猜想：ABC是是 O的内接三角形，的内接三角形，CE是是 O的切线，
25、则的切线，则BCE=A。分析：我们先从特殊的情形入手证明该猜想。当分析：我们先从特殊的情形入手证明该猜想。当ABC为直为直角三角形时可能会使证明简单化，如果这时猜想能够成立，角三角形时可能会使证明简单化，如果这时猜想能够成立，那么就增大了一般情形猜想成立的可能性，于是再讨论锐那么就增大了一般情形猜想成立的可能性，于是再讨论锐角三角形和钝角三角形的情形。角三角形和钝角三角形的情形。3.2图形的变式证明：（证明：（1）如图）如图3，圆心，圆心O在在ABC的边的边BC上，即上，即ABC是直角三角形。是直角三角形。CE为切线，所以为切线，所以 BCE=90。A是半圆上的圆周角是半圆上的圆周角 A=90
26、。BCE=A。ABOEC 图33.2图形的变式（2）如图）如图4，圆心，圆心O在在ABC的内部，即的内部，即ABC为锐角三角为锐角三角形。作形。作 O的直径的直径CP，连结，连结AP，则，则PCE=CAP=90。BCE=PCE-PCB=90-PCB，BAC=CAP-PAB=90-PAB，而而 PAB=PCB，BCE=BAC。OAECPB图43.2图形的变式（3）如图）如图5，圆心，圆心O在在ABC的外部，的外部，即即ABC为钝角三角形。为钝角三角形。作作 O的直径的直径CP，连结，连结AP，则，则PCE=CAP=90。BCE=PCE+PCB=90+PCB，BAC=CAP+PAB=90+PAB，
27、而而 PAB=PCB，BCE=BAC。综上所述，猜想成立。综上所述，猜想成立。图5AOBPEC3.2图形的变式如图如图6，由于，由于BDE是由一条弦和一条切线组成的角，是由一条弦和一条切线组成的角，因此给它取名为弦切角。准确地说，顶点在圆上，一因此给它取名为弦切角。准确地说，顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角。于是边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角。于是我们可以将上述经过证明后的猜想表述为：弦切角定我们可以将上述经过证明后的猜想表述为：弦切角定理理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。3.2图形的变式AD(C)BEO图6 案例案例7中的图形
28、变式，能够发现几何中中的图形变式，能够发现几何中的一些有价值的结论。的一些有价值的结论。案例案例8中猜想的证明渗透了分类思想、中猜想的证明渗透了分类思想、特殊化思想和化归思想。特殊化思想和化归思想。反思反思:数学之间的联系往往不是十分明数学之间的联系往往不是十分明显，经常隐藏于例题或习题之中。教显，经常隐藏于例题或习题之中。教学中如果重视对课本例题和习题进行学中如果重视对课本例题和习题进行拓展延伸，最大可能的覆盖知识点，拓展延伸，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识串成一条线，往往会起把分散的知识串成一条线，往往会起到意想不到的结果。到意想不到的结果。3.2图形的变式三、变式教学应用举例三、变式
29、教学应用举例3.3 结构变式【案例9】圆中的有关结论DPABOCCADOBPPOABCDOPABCPOABPA2=PBPDPAPC=PBPDPAPC=PBPDPB2=PAPCPA=PB三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例 图1【案例案例10】已知：如图已知：如图1 1，在，在RtRtCABCAB和和RtRtECDECD中，中，AC=CE,AC=CE,点点D D在边在边BCBC的延长线上，且的延长线上，且ACE=B=D=90ACE=B=D=900 0.求证：求证：CABCABECD.ECD.3.4 题目变式分析：分析：ACE=B=D=90ACE=B=D=900 0.A A+ACACB=ECD
30、 B=ECD+ACACB BA A=ECD =ECD B=DB=D AC=CE AC=CECABCABECD.ECD.三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例 图2 变式变式1 如图如图2 2，在，在RtRtCABCAB和和RtRtECDECD中，点中，点D D在边在边BCBC的延的延长线上，且长线上，且ACE=B=D=90ACE=B=D=900 0.求证：求证：CABCABECD.ECD.3.4 题目变式弱化条件弱化条件“AC=CEAC=CE（线段相等）（线段相等）”，则结论由三角形则结论由三角形全等弱化为三角全等弱化为三角形相似形相似三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例 图3变式变式2
31、 如图如图3 3，在，在ABC和和CDE中，点中，点D在边在边BC的延的延长线上，长线上，AC=CE，且，且ACE=B=D,则则ABCCDE.3.4 题目变式弱化条件弱化条件“直角直角”，则，则“全全等等”结论仍然成立结论仍然成立三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例 图4 变式3 如图4，在ABC和 CDE中，点D在边BC的延长线上，ACE=B=D，则ABC CDE3.4 题目变式同时弱化条件“线段相等”和“直角”,则结论由全等弱化为相似 试题试题1 如图如图5，正方形正方形ABCD的边长为的边长为4cm，点点P是是BC边上不与点边上不与点B，C重合的任意一点，连接重合的任意一点，连接AP
32、，过点，过点P作作PQAP交交DC于点于点Q，设设BP的长的长为为xcm,CQ的长的长为为y cm（1）求点求点P在在BC上运动的过程中上运动的过程中y的最大值的最大值；（2）当当y=3/4 cm时时，求求x的值的值 图5链接中考解：（解：（1）ABPPCQ AB:PC=BP:CQ即即4:（4-X）=x:y y=-1/4x2+X (0 x4)=-1/4(x2-4x+4-4)=-1/4(x-2)2+1 当当x=2时时Y有最大值有最大值1（2）当）当y=3/4时，时，-1/4x2+x=3/4，解得，解得x1=1，x2=3当当x=1或或x=3时时y=3/4试题试题2 2 如图如图6 6，在等边，在等
33、边ABC 中，中，P为为BC边上一点，边上一点，D为为AC边上一点，且边上一点，且APD=60，BP=1，CD=2/3,则则ABC的边长为（的边长为（）A3 B4 C5 D6 图6链接中考分析：由分析：由ABPPCD AB:PC=BP:CD设设AB=x,则则PC=x-1x:(x-1)=1:2/3x=3A试题试题3 3 如图如图7 7，在，在RtCAB中，中，CAB=90，AB=AC=2,点点D在在BC上运动（不能到达点上运动（不能到达点B,C）,过点过点D作作ADE=45,DE交交AC于点于点E (1)(1)求证：求证：ABDDCE;(2)(2)设设BD=x,AE=y,求求y关于关于x的函数关
34、系式的函数关系式 图7链接中考（1）证明：）证明：AB=AC,CAB=90，B=CB=C=45ADB=DEC,ABDDCE（2）ABDDCE AB:DC=BD:CEAB:DC=BD:CE2:(2:(-x)=x:(2-y)-x)=x:(2-y)化简得化简得 y=1/2x2_ x+2x+2 222试题4 在ABC中，ACB=900，AC=BC，直线MN经过点C，ADMN，垂足为D，BEMN，垂足为E（1）当直线MN绕点C旋转到图8(1)的位置时，求证：ACD CBE;DE=AD+BE.（2）当直线MN绕点C旋转到图8(2)的位置时，试问：DE，AD，BE具有怎样的等量关系？试写出这个等量关系，并加
35、以证明 图8 分析：第一问中两三角形的全等的证明就分析：第一问中两三角形的全等的证明就是案例是案例11的题目，我们已经证明过了。的题目，我们已经证明过了。由全等可知由全等可知AD=CE,CD=BE 又又DE=DC+CEDE=AD+BE.第二问中第二问中DE，AD，BE之间的关系可能是之间的关系可能是 DE=AD-BE 同理可证同理可证ACD CBEAD=CE,CD=BE 又又DE=CE-CD DE=AD-BE 3.5 方法变式 所谓所谓“方法变式方法变式”就是把同一个问题的不就是把同一个问题的不同解决过程作为变式，将各种不同的解决方法同解决过程作为变式，将各种不同的解决方法联结起来（联结起来（
36、“一题多解一题多解”）.三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例【案例案例12】如图如图1 1，已知在，已知在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，延长，延长ABAB到点到点D D，使，使BD=ABBD=AB，E E是是ABAB的中点，求证：的中点，求证：CD=CD=2 2CE.CE.图1 思路思路1 1：（延长法）：（延长法）如图如图1 1，延长延长CECE至点至点D D,使使EDED=CECE，连，连接接ADAD，BDBD，则，则CDCD=2=2CECE，然，然后利用后利用CBDCBDCBDCBD，得出，得出CDCD=CD CD 即可即可.三、变
37、式教学应用举例三、变式教学应用举例【案例案例12】如图如图1 1，已知在，已知在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，延长，延长ABAB到点到点D D，使，使BD=ABBD=AB，E E是是ABAB的中点，求证：的中点，求证：CD=CD=2 2CE.CE.思路思路2 2：（截取法）：（截取法）如图如图1 1，取，取CDCD的中点的中点E E，连接，连接BEBE，利用，利用CBECBECBECBE，得出，得出CECE=CECE，而而12CECD，得证.图1三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例【案例案例12】如图如图1 1，已知在，已知在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，延长，延长
38、ABAB到点到点D D，使，使BD=ABBD=AB，E E是是ABAB的中点，求证：的中点，求证：CD=CD=2 2CE.CE.图1 思路思路3：（相似法）：（相似法）如图如图1，利用利用AECACD，相似比为，相似比为 12，得，得12ECCD，得证得证.案例案例11：过：过ABC的顶点的顶点C任作一直线，与边任作一直线，与边AB及及中线中线AD分别交于点分别交于点F和点和点E求证：求证：AE:ED=2AF:FB分析：过点分析：过点D作作DMCF交交AB于于MBD=DC DMCF BM=FM=1/2FB DMCF AE:ED=AF:FMAE:ED=AF:1/2FBAE:ED=2AF:FB三、
39、变式教学应用举例三、变式教学应用举例MACBDFE例：过例：过ABC的顶点的顶点C任作一直线，与边任作一直线，与边AB及中线及中线AD分别交于点分别交于点F和点和点E求证：求证：AE:ED=2AF:FB分析：过点分析：过点D作作DNAB交交CF于于NBD=DC DNABFN=CN BD=DC DN=1/2FB DNCF AE:ED=AF:DNAE:ED=AF:1/2FBAE:ED=2AF:FB三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例ACBDFEN例：过例：过ABC的顶点的顶点C任作一直线，与边任作一直线，与边AB及中线及中线AD分别交于点分别交于点F和点和点E求证：求证：AE:ED=2AF:F
40、B分析：过点分析：过点A作作APBC交交CF的延的延长线于长线于P APCBAE:ED=AP:CDAF:FB=AP:BCBD=CD=1/2BCAE:ED=2AF:FB三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例PACBDEF例：过例：过ABC的顶点的顶点C任作一直线，与边任作一直线，与边AB及中线及中线AD分别交于点分别交于点F和点和点E求证：求证：AE:ED=2AF:FB分析：过点分析：过点A作作AQFC交交BC的延的延长线于长线于Q AQCFAE:ED=CQ:CDAF:FB=CQ:CBBD=CD BC=2CDAE:ED=2AF:FB三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例QABDFEC例：过例
41、：过ABC的顶点的顶点C任作一直线，与边任作一直线，与边AB及中线及中线AD分别交于点分别交于点F和点和点E求证：求证：AE:ED=2AF:FB分析：过点分析：过点B作作BLFC交交AD的延的延长线于长线于L、则、则BDL CDELD=DE=1/2EL BLCFAF:FB=AE:ELAE:ED=2AF:FB三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例ACBDFEL例：过例：过ABC的顶点的顶点C任作一直线，与边任作一直线，与边AB及中线及中线AD分别交于点分别交于点F和点和点E求证：求证：AE:ED=2AF:FB分析：过点分析：过点B作作BSAD交交CF的延的延长线于长线于S、BSAD BD=CD
42、SE=CE BS=2ED BSADAF:FB=AE:BSAF:FB=AE:2EDAE:ED=2AF:FB三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例ACBDFES 说明：上面六种方法，都是过某个点作平行线来说明：上面六种方法，都是过某个点作平行线来解决问题的。其中第解决问题的。其中第1、2种方法是过种方法是过D点作的平行点作的平行线（线（DMCF或或DNAB）;第第3、4种方法是过种方法是过A点点作的平行线（作的平行线（APBC或或AQFC);第第5、6种方法是种方法是过过B点作的平行线点点作的平行线点B作的平行线（作的平行线（BLFC交交AD的的延长线于延长线于L;过点过点B作作BSAD交交CF
43、的延长线于的延长线于S)。在这六种方法中用到的知识点有：中点的性质，全在这六种方法中用到的知识点有：中点的性质，全等三角形的判定、性质、三角形中位线的性质，等三角形的判定、性质、三角形中位线的性质，相似三角形的判定、性质、平行线分线段成比例相似三角形的判定、性质、平行线分线段成比例定理、等量代换等。定理、等量代换等。三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例 一题多解有利于启迪思维，开阔视野，全方位一题多解有利于启迪思维，开阔视野，全方位思考问题，分析问题，有利于培养学生的发散思思考问题，分析问题，有利于培养学生的发散思维能力和解体技巧。而采取一题多变的形式，可维能力和解体技巧。而采取一题多变的
44、形式，可以训练学生积极思维，触类旁通，提高学生思维以训练学生积极思维，触类旁通，提高学生思维的敏捷性、灵活性、和深刻性。不管是一题多解的敏捷性、灵活性、和深刻性。不管是一题多解还是一题多变都有利于将知识、能力和思想方法还是一题多变都有利于将知识、能力和思想方法在更多的新情景。更高的层次中，不断地反复渗在更多的新情景。更高的层次中，不断地反复渗透，从而达到了螺旋式的再认识，再深化，乃至透，从而达到了螺旋式的再认识，再深化，乃至升华的效果。通过升华的效果。通过“一题多变、一题多解一题多变、一题多解”的训的训练，能激发学生的兴趣和求知欲。不过，所有的练，能激发学生的兴趣和求知欲。不过，所有的变式都要
45、鼓励学生从多角度去分析，选最优的方变式都要鼓励学生从多角度去分析，选最优的方法去解决法去解决。三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例 案例12：求证：顺次连结任意（凸）四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。.3.6 问题变式变式变式1：顺次连结任意平行四边形各边中点所得的四边形是：顺次连结任意平行四边形各边中点所得的四边形是_形形,并证明。并证明。变式变式2：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是_形形,并证并证明。明。变式变式3：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是_形形,并证并证明
46、。明。变式变式4：顺次连结正方形各边中点所得的四边形：顺次连结正方形各边中点所得的四边形_形形,并证并证明。明。三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例.3.6 问题变式变式变式5：顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形：顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形_形形,并并证明。证明。变式变式6：顺次连结满足什么条件的四边形各边中点得到平行四边：顺次连结满足什么条件的四边形各边中点得到平行四边形。形。变式变式7：顺次连结满足什么条件的四边形各边中点得到矩形：顺次连结满足什么条件的四边形各边中点得到矩形变式变式8：顺次连结满足什么条件的四边形各边中点得到菱形。：顺次连结满足什么条件的四边形各边中点得到
47、菱形。变式变式9：顺次连结满足什么条件的四边形各边中点得到正方形：顺次连结满足什么条件的四边形各边中点得到正方形。三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例.3.6 问题变式 通过这样一系列变式，一方面使学生充分掌握了四边形的中点四边形与原四边形的对角线有关。当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形；当原四边形的对角线垂直时，中点四边形是矩形；当原四边形的对角线互相垂直且相等时，中点四边形是正方形；其余四边形的中点四边形都是平行四边形。另一方面使学生也掌握了这一章节所有基础知识和基本概念，沟通了不同知识间的内在联系，为进行数学问题演变奠定了坚实的知识基础。三、变式教学应用举例三、变式教学应用举
48、例.3.6 问题变式 通过这样一系列变式，一方面使学生充分掌握了四边形的中点四边形与原四边形的对角线有关。当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形；当原四边形的对角线垂直时，中点四边形释具行；当原四边形的对角线互相垂直且相等时，中点四边形是正方形；其余四边形的中点四边形都是平行四边形。另一方面使学生也掌握了这一章节所有基础知识和基本概念，沟通了不同知识间的内在联系，为进行数学问题演变奠定了坚实的知识基础。案例案例13 如图：如图：AD是是ABC的高，的高，AE是是ABC的外接圆的直径。求证：的外接圆的直径。求证：ABAC=AEAD本题考查的知识点是相似三角形的性质，变本题考查的知识点是相似三
49、角形的性质，变换问题，则得到一组变式题。换问题，则得到一组变式题。OACBED变式变式1、已知、已知AD是是ABC的高，的高，BC、AE是是ABC外接圆的直径。连接外接圆的直径。连接BE,则图中共有则图中共有多少个三角形相似于多少个三角形相似于ABC。EOACBD有有3个，分别是个，分别是BAE,DBA,DAC变式变式2、已知、已知AD是是ABC的高，的高，BE是是ABC外接圆的直径，外接圆的直径，AB=4，AC=3，AD=2。求。求ABC外接圆的面积外接圆的面积。OACBED连接连接AE，证，证ABE相似于相似于DAC即可即可案例案例13：已知：已知m、n是整数，解关于是整数，解关于m、n的
50、方程的方程mn=m+n解：解：mn=m+n 变形为（变形为（n-1)m=n当当n=1时，时，0m=1 不成立不成立 n1m=1+1nn111nn11n三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例m、n都是整数都是整数 n-1是是1的约的约数数即即n-1=1 n=2或或n=0当当n=2时时 m=2当当n=0时时 m=0m=n=2或或m=n=0变式变式1：已知：已知m、n是整数，解关于是整数，解关于m、n的方程的方程mn=m+n+1解：解：mn=m+n+1 变形为（变形为（n-1)m=n+1 当当n=1时，时，0m=2 不成立不成立 n1 m=1+三、变式教学应用举例三、变式教学应用举例11nn121
