1、5.3.2 命题、定理、证明命题、定理、证明问题问题1 请同学们读下列语句，它们在表述形式上，请同学们读下列语句，它们在表述形式上，有没有对事情作出判断？有没有对事情作出判断？（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两 条直线也互相平行；条直线也互相平行；（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；（3）对顶角相等；）对顶角相等；（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式）等式两边都加同一个数，结果仍是等式一、命题的概念：一、命题的概念：判断一件事情的语句，叫做判断一件事情的语句，叫做命题命题.问题问题
2、2 请同学读下列语句，它们在表述形式请同学读下列语句，它们在表述形式 上，有没有对事情作出判断？上，有没有对事情作出判断？（1）画一个角等于已知角；）画一个角等于已知角；（2）a、b两条直线平行吗？两条直线平行吗？（3）若）若a24，求，求a的值；的值；（4）两直线平行，同旁内角相等）两直线平行，同旁内角相等2 2、如果一个句子、如果一个句子没有没有对某一件事情作出任何判对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。断，那么它就不是命题。如：如：画线段画线段AB=CDAB=CD。判断一件事情的语句叫做判断一件事情的语句叫做命题命题。1 1、只要对一件事情、只要对一件事情作出了判断作出了判断，不管
3、正确与否不管正确与否，都是命题。都是命题。如：如：两直线平行，同旁内角相等两直线平行，同旁内角相等注意：注意：相等的角是对顶角。相等的角是对顶角。a、b两条直线平行吗？两条直线平行吗？练习：练习：判断下列语句是不是命题？判断下列语句是不是命题？（1）两点之间，线段最短；（）两点之间，线段最短；（）（2）请画出两条互相平行的直线；（）请画出两条互相平行的直线；（）（3）过直线外一点作已知直线的垂线；（）过直线外一点作已知直线的垂线；（）（4）如果两个角的和是）如果两个角的和是90，那么这两个角，那么这两个角 互余（互余（）（5）内错角相等（）内错角相等（）（1）如果两条直线都与第三条直线平行，）
4、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；那么这两条直线也互相平行；（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角）如果两个角互补，那么它们是邻补角二、命题的形式、构成：二、命题的形式、构成：题设（条件）题设（条件）结论结论“如果如果，那么，那么”“如果如果”后接后接的部分是的部分是题设题设，“那么那么”后接后接的部分是的部分是结结论论。题设（条件）题设（条件）结论结论命题是由命题是由题设题设(或或条件条件)和和结论结论两部分组成。两部分组成。三、简写形式的命题如何改写为三、简写形式的命题如何改写为“如果如果，那么，那么”的形式的形式：把下列命题改写成把下列命题改写成“如果如果，那么，
5、那么”的形式的形式.（1 1）内错角相等，两直线平行）内错角相等，两直线平行如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补。如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补。（2）两直线平行，同旁内角互补；）两直线平行，同旁内角互补；两条直线被第三条直线所截，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，如果内错角相等，那么这两条直线平行。那么这两条直线平行。问题问题：把下列命题改写成把下列命题改写成“如果如果，那么，那么”的形式，并指出题设和结论。的形式，并指出题设和结论。（1 1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2 2）等式两边都加同一个数，结
6、果仍是等式；）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；（3 3）互为相反数的两个数相加得）互为相反数的两个数相加得0；（4 4）同旁内角互补；）同旁内角互补；（5 5）对顶角相等）对顶角相等如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式；如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式；如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0；如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等如果两个角互为对顶角，那么这两个
7、角相等注意：注意：添加添加“如果如果”、“那么那么”后，后，命题命题 的意义不能改变的意义不能改变，改写的，改写的句子要完句子要完 整，语句要通顺整，语句要通顺，使命题的题设和，使命题的题设和 结论更明朗，易于分辨，改写过程结论更明朗，易于分辨，改写过程 中，要适当增加词语，切不可生搬中，要适当增加词语，切不可生搬 硬套。硬套。改写成改写成“如果如果那么那么”的形式。的形式。并指出下列各命题的并指出下列各命题的题设题设和和结论结论，1 1、对顶角相等；、对顶角相等；2 2、内错角相等；、内错角相等；3 3、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；4 4
8、、3 32 2；5 5、同平行于一直线的两直线平行；、同平行于一直线的两直线平行；6 6、直角三角形的两个锐角互余；、直角三角形的两个锐角互余；7 7、等角的补角相等；、等角的补角相等；8 8、正数与负数的和为、正数与负数的和为0 0。问题：问题：下列哪些命题是下列哪些命题是正确的正确的，哪些命题是，哪些命题是错误的错误的？（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；（3）互为相反数的两个数相加得）互为相反数的两个数相加得0；（4）同旁内角互补；）同旁内角互补；（5）对顶
9、角相等）对顶角相等 四、命题的真假：四、命题的真假：真命题：真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做这样的命题叫做真命题真命题 假命题：假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定如果题设成立时，不能保证结论一定 成立，这样的命题叫做成立，这样的命题叫做假命题假命题正确的命题叫正确的命题叫真命题真命题，错误的命题叫，错误的命题叫假命题假命题。2 2、如果两个角互补，那么它们是邻补角。、如果两个角互补，那么它们是邻补角。1 1、如果一个数能被、如果一个数能被4 4整除，那么它也能被整除，那么它也能被2 2整除。整除。判断一个命题真假的方法：判断一个命题真
10、假的方法：利用已有的知识，通过利用已有的知识，通过观察观察、验证验证、推理推理、举反例举反例等方法。等方法。问题问题：请同学们判断下列命题的真假，并思考如何请同学们判断下列命题的真假，并思考如何 判断命题的真假判断命题的真假3 3、相等的角是对顶角、相等的角是对顶角121212下列句子哪些是命题？是命题的，指出下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？是真命题还是假命题？1 1、猪有四只脚；、猪有四只脚；2 2、内错角相等；、内错角相等；3 3、画一条直线；、画一条直线；4 4、四边形是正方形；、四边形是正方形；5 5、你的作业做完了吗？你的作业做完了吗？6 6、同位角相等，两直线
11、平行；、同位角相等，两直线平行；7 7、对顶角相等；、对顶角相等；8 8、同垂直于一直线的两直线平行；、同垂直于一直线的两直线平行；9 9、过点、过点P P画线段画线段MNMN的垂线；的垂线；1010、x x2 2是是真命题真命题否否是是假假命题命题是是假假命题命题否否是是真真命题命题是是真真命题命题是是假命题假命题否否是是假假命题命题 已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：如果ab，ac，那么bc;如果ba，ca，那么bc；如果ba，ca，那么bc；如果ba，ca，那么bc其中真命题的是（填写所有真命题的序号）判断一个命题是假命题，只要举判断一个命题是假命题，只要举出一个例
12、子，说明该命题不成立就可出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为以了，这种方法称为举反例举反例。判断一个命题是判断一个命题是假命题假命题的方法：的方法：1 1、数学中有些命题的正确性是数学中有些命题的正确性是人们在人们在长期实践长期实践中总结中总结出来的，并把它们出来的，并把它们作为判断其他命题真作为判断其他命题真假的原始依据假的原始依据，这样的真命题叫做，这样的真命题叫做公理公理。2 2、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据进一步
13、作为判断其他命题真假的依据，这样的，这样的真命题叫做真命题叫做定理定理。公理公理和和定理定理都可作为判断其他命题真假的都可作为判断其他命题真假的依据依据。五、公理、定理：五、公理、定理：公理举例：公理举例：经过两点有且只有一条直线。经过两点有且只有一条直线。2、线段公理：、线段公理：两点之间，线段最短。两点之间，线段最短。1、直线公理：、直线公理：3、平行公理：、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。直线与已知直线平行。同角或等角的补角相等。同角或等角的补角相等。2、余角的性质：、余角的性质：同角或等角的余角相等。同角或等角的余角相等。4、垂线的
14、性质：、垂线的性质：在同一平面内，过一点有在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线且只有一条直线与已知直线垂直；垂直；5、平行公理的推论：、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直直线平行，那么这两条直线也互相平行。线也互相平行。1、补角的性质：、补角的性质：3、对顶角的性质：、对顶角的性质：对顶角相等。对顶角相等。垂线段最短。垂线段最短。定理举例：定理举例：内错角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。6、平行线的判定定理：、平行线的判定定理：7、平行线的性质定理：、平行线的性质定理：两直线
15、平行，内错角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。两直线平行，同旁内角互补。定理举例：定理举例：同位角相等，两直线平行。同位角相等，两直线平行。两直线平行，同位角相等。两直线平行，同位角相等。小结小结思考题：思考题：请同学们判断下列两个命题的真假，并思考如何判断命题的真假命题1：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条（1）命题1是真命题还是假命题？（2）你能将命题1所叙述的内容 用图形语言来表达吗？命题命题1在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条（3）这个命题的题设和结论分别是什么呢？题设：在同一平面内，一条
16、直线垂直于两条平行线中的一条；结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条（4）你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？命题命题1 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.已知：bc，ab 求证：ac（5）请同学们思考如何利用已经学过的定义定理来证明这个结论呢？已知：bc，ab 求证：ac证明：ab（已知），又 bc（已知），1=2（两直线平行，同位角相等）.2=1=90（等量代换）1=90（垂直的定义）ac（垂直的定义）思考题：思考题：请同学们判断下列两个命题的真假，并思考如何判断命题的真假命题2：相等的角是对顶角（1）判断这个命题的真假（2）这个命题题设和结论分别是什么？题设：两个角相等；结论：这两个角互为对顶角（3）我们知道假命题是在条件成立的前提下，结论不一定成立，你能否利用图形举例说明当两个角相等时它们不一定是对顶角的关系.思考题：思考题：请同学们判断下列两个命题的真假，并思考如何判断命题的真假命题2：相等的角是对顶角
