1、 如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢？物件呢？ 生生 活活 中中 的的 椭椭 圆圆 一一.问题情境问题情境 精品PPT 动画演示：动画演示：“神六神六”飞行飞行 注意注意: 椭圆定义中容易遗漏的三处地方：椭圆定义中容易遗漏的三处地方： （1） 必须在平面内必须在平面内. （2）两个定点）两个定点-两点间距离确定两点间距离确定 （3）绳长）绳长-轨迹上任意点到两定点距离和确定轨迹上任意点到两定点距离和确定 思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的 椭圆较扁（椭圆较
2、扁（ 线段）在同样的绳长下，两定点间距离较线段）在同样的绳长下，两定点间距离较 短，则所画出的椭圆较圆（短，则所画出的椭圆较圆（ 圆）圆） 由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关 P F2F1 1 椭圆定义： 平面内与两个定点平面内与两个定点 的距离和等于常数的距离和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫作的点的轨迹叫作椭圆椭圆，这两个定点叫做这两个定点叫做椭圆的焦椭圆的焦 点点，两焦点间的距离叫做，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距 12 ,F F 12 |FF 二、复习回顾：二、复习回顾： PF1+PF2=2a (2a2c0, F1F2=2c)
3、 y x O ),(yxP r 设圆上任意一点设圆上任意一点P(x，y) 以圆心以圆心O为原点，建立直角坐标系为原点，建立直角坐标系 rOP ryx 22 两边平方，得两边平方，得 222 ryx 2.学生活动学生活动 回忆在必修回忆在必修2中是如何求圆的方程的？中是如何求圆的方程的？ 2.学生活动：学生活动： 求动点轨迹方程的一般步骤：求动点轨迹方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线 上任意一点上任意一点M的坐标；的坐标； （2）写出适合条件）写出适合条件P的点的点M的集合；的集合；(可以省略，可以省略， 直接列出曲线方程直接列
4、出曲线方程) （3）用坐标表示条件）用坐标表示条件P（M），列出方程），列出方程 （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是 曲线上的点曲线上的点(可以省略不写可以省略不写,如有特殊情况，可以如有特殊情况，可以 适当予以说明适当予以说明) ( , )0f x y ( , )0f x y （4）化方程）化方程 为最简形式；为最简形式； 3.3.列等式列等式 4.4.代坐标代坐标 坐标法坐标法 5.5.化简方程化简方程 1.1.建系建系 2.2.设坐标设坐标 2.学生活动学生活动 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案 建立平面直角坐标系通常
5、遵循的原则：建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”对称、“简洁” O x y O x y O x y M F1 F2 方案一方案一 F1 F2 方案二方案二 O x y M O x y 解：取过焦点解：取过焦点F1、F2的直线为的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂的垂 直平分线为直平分线为y轴，轴，建建立平面直角坐标系立平面直角坐标系(如图如图). 设设M(x, y)是椭圆上任意一是椭圆上任意一 点，椭圆的焦距点，椭圆的焦距2c(c0)，M 与与F1和和F2的距离的和等于正的距离的和等于正 常数常数2a (2a2c) ，则，则F1、F2的的 坐标分别是坐标分别是( c,0)、(c,
6、0) . x F1 F2 M 0 y 3.建构数学建构数学 （问题：下面怎样（问题：下面怎样化化简？）简？） aMFMF2 21 22 2 22 1 )(,)(ycxMFycxMF aycxycx2)()( 2222 得方程 由椭圆的定义得，由椭圆的定义得，限限制条件制条件： 代代入坐标入坐标 1)椭圆的标准方程的推导 222222 bayaxb 22b a两边除以两边除以 得得 ).0(1 2 2 2 2 ba b y a x 设 所以即 ,0 ,22 22 ca caca ),0( 222 bbca 由椭圆定义可知由椭圆定义可知 整理得整理得 2222222 )()(44)(ycxycxa
7、aycx 222 )(ycxacxa 22222222224 22yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得 )()( 22222222 caayaxca 移项，再平方移项，再平方 ) 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距 式式 01 2 2 2 2 ba b y a x 焦点在焦点在y轴：轴： 焦点在焦点在x轴：轴： 2)椭圆的标准方程 1 o F y x 2 F M aycxycx2)()( 2222 axcyxcy2)()( 2222 1 2 y o F F M x 0 1
8、2 2 2 2 ba b y a x 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 图图 形形 方方 程程 焦焦 点点 F( (c，0)0) F(0(0，c) ) a,b,c之间的关系之间的关系 c2 2= =a2 2- -b2 2 MF1+MF2=2a (2a2c0) 定定 义义 1 2 y o F F M x 1 o F y x 2 F M 3)两类标准方程的对照表 注注: : 共同点： 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；中心在坐标原点的椭圆；方程的方程的左边是平方和，右边是左边是平方和，右边是1. 2 x
9、2 y 不同点：焦点在不同点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 例例1 ： 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆，个椭圆， 它的焦距为它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 3m，求这个椭圆的标准方程，求这个椭圆的标准方程 解：解： 以两焦点 以两焦点F1、F2所在直线为所在直线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，则这个椭圆
10、的标准，则这个椭圆的标准 方程可设为方程可设为 22 22 10 xy ab ab 根据题意有根据题意有 2 3a ， 22.4c 1.5a ，1.2c 即即 22222 1.51.20.81bac 因此，这个椭圆的标准方程为因此，这个椭圆的标准方程为 22 1 2.250.81 xy x y O F1 F2 4.数学应用数学应用 练习：练习： 1、 已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，请，请填空：填空： (1) a=_，b=_，c=_，焦点坐标为，焦点坐标为_，焦距等于，焦距等于_. (2)若若C为椭圆上一点，为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的左、右焦点， 并且
11、并且CF1=2,则则CF2=_. 1 1625 22 yx 变题：变题： 若椭圆的方程为若椭圆的方程为 ,试口答完成（试口答完成（1）. 144916 22 yx 若方程若方程 表示焦点在表示焦点在y轴上的椭圆，轴上的椭圆， 求求k的取值范围的取值范围; 1 32 22 k y k x 探究探究: 若方程表示椭圆呢若方程表示椭圆呢? 5 4 3 6 (-3,0)、(3,0) 8 1 169 22 yx 课堂练习：课堂练习： 1 1625 )2( 22 yx 1 1 )3( 2 2 2 2 m y m x 1 1616 )1( 22 yx 0225259)4( 22 yx 123)5( 22 y
12、x 1 1624 )6( 22 k y k x 1.口答：下列方程哪些表示椭圆？口答：下列方程哪些表示椭圆？ 22 ,ba 若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？ 并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标. ? 解：解： 例例2 ：将圆将圆 = 4= 4上的点的横坐标保持不变，上的点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， 并说明它是什么曲线？并说明它是什么曲线？ y x o 22 yx 设所的曲线上任一点的坐标为（x， y）,圆 上的对应点的 坐标为（x，y），由题意可得： 22 yx yy xx 2 / / 22 y
13、x因为 所以 44 22 yx 即 1 4 2 2 y x 1 1）将圆按照某个方向均匀地压缩）将圆按照某个方向均匀地压缩 （拉长），可以得到椭圆（拉长），可以得到椭圆。 2 2）利用中间变量求点的轨迹方程）利用中间变量求点的轨迹方程 的方法是解析几何中常用的方法；的方法是解析几何中常用的方法； 例例3、写出适合下列条件的椭圆的标准方程、写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4，b=1，焦点在，焦点在 x 轴轴上上； (2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上；，焦点在坐标轴上； (3) 两个焦点的坐标是（两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（）和（ 0 ，2），并且经），并且经 过点过
14、点P（ - -1.5 ，2.5）. 解解： 因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在y轴上，轴上， 设它的标准方程为设它的标准方程为 )0(1 2 2 2 2 ba b x a y c=2，且 c2= a2 - b2 4= a2 - b2 又又椭圆经过点椭圆经过点 2 5 2 3 ， 1 )()( 2 2 2 3 2 2 2 5 ba 联立可求得：联立可求得： 6,10 22 ba 1 16 2 2 y x 椭圆的椭圆的标准方程为标准方程为 1 610 22 xy (法一法一) x y F1 F2 P 1 16 2 2 y x1 16 2 2 y x 或 (法二法二) 因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在
15、y轴上，所以设它的轴上，所以设它的 标准方程为标准方程为 由椭圆的定义知，由椭圆的定义知， .6410 ,2.10 ,102 10 2 1 10 2 3 )2 2 5 () 2 3 ()2 2 5 () 2 3 (2 222 2222 cab ca a 又 所以所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为 . 1 610 22 xy )0(1 2 2 2 2 ba b x a y 5、回顾小结、回顾小结 6、作业布置、作业布置 求椭圆标准方程的方法求椭圆标准方程的方法 一种方法：一种方法： 二类方程二类方程: 三个意识：三个意识： 求美意识，求美意识， 求简意识，前瞻意识求简意识，前瞻意识 1 2 2 2 2 b y a x 0 1 2 2 2 2 ba b x a y
