1、统计学第六章 时间数列分析 本章主要内容 第一节 时间数列的一般问题 第二节 时间数列的水平分析 第三节 时间数列的速度分析 第四节 长期趋势的测定 第五节 季节变动的测定 本章学习要求 1、理解时间数列的概念、种类和编制原则；2、熟练掌握时间数列各种水平指标和速度指标的计算方法和具体应用；3、掌握长期趋势和季节变动的测定方法。导入案例同一统计指标的数值按时间先后顺序排列而成。通过对过去的回顾，可以知道这几年的变化情况，分析发展趋势进而预测未来。第一节 时间数列的一般问题一、时间数列的概念 将反映社会经济现象变动的一系列指标数值按照时间的先后顺序进行排列所形成的数列，叫时间数列(times s
2、eries)，又叫动态数列(dynamic series)。时间数列具有重要的作用：第一，它可以反映社会经济现象的发展状况和结果；第二，它是计算动态指标，进行动态分析的依据；第三，它可以反映社会经济现象的发展趋势和发展规律；第四，可以根据时间数列所反映的发展趋势和发展规律，进行经济预测；第五，不同总体的同类指标，可以通过时间数列进行动态对比时间序列的构成 一是社会经济现象所属的时间，即反映时间顺序的序列，二是现象在各个时间的指标数值，净利润单位：百万元人民币2009年 2010年 2011年 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年18,235 25,769 36,12945
3、,268 51,743 55,911 57,696 62,081二、时间数列的种类二、时间数列的种类时间数列平均数数列绝对数数列相对数数列时期数列时点数列(一)绝对数时间数列净利润单位：百万元人民币时期序列时点序列2009年 2010年 2011年 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年18,235 25,769 36,129 45,268 51,743 55,911 57,696 62,081(二)相对数（相对指标）时间数列（三）平均数（平均指标）时间数列三、时间数列的编制原则(一)时间长短应一致 (二)总体范围应一致 (三)计算口径应一致 (四)经济内容应一致时间序列的
4、分析方法构成分析法长期趋势的测定季节变动的测定 发展水平指标分析法水平指标速度指标 增长水平平均发展水平平均增长水平 发展速度 增长速度平均发展速度平均增长速度第二节 时间数列的水平分析一、发展水平 发展水平(developing level)就是时间数列中每一项具体的指标数值。它反映社会经济现象在不同时期所达到的规模和水平。发展水平多以总量指标表示，如国内生产总值、工资总额、人口总数等；发展水平有时也表现为相对指标或平均指标，如废品率、劳动生产率等。指时间序列中每一项指标数值NNaaaa,121nnaaaa,110最初水平中间水平最末水平（N 项数据）（n+1 项数据）二、平均发展水平 平均
5、发展水平(average developing level)是把不同时期的发展水平加以平均而得到的平均数。统计上又叫“序时平均数”(chronological average)。平均发展水平代表一段时间的发展状况，概括地反映现象的一般水平2009年2010年2011年2012年2013年2014年18,23525,76936,12945,26851,74355,911净利润单位：百万元人民币010,00020,00030,00040,00050,00060,00001234567净利润净利润衡量招商银行最近几年的盈利情况。选择平均发展水平作为代表。(一)根据绝对数时间数列计算序时平均数 1由时
6、期数列计算序时平均数NaNaaaaNiiN1211a2a1NaNa2009年2010年2011年2012年2013年2014年18,23525,76936,12945,26851,74355,911)百万元(388436233055平均净利润naa由时点数列计算由连续时点数列计算 逐日登记算术平均法间隔相等时 11111141137139142138台)/(4.395/197日台日台111114137394238a )(90.38311206台1615451416371539442538a由间断时点数列计算每隔一段时间登记一次，表现为期初或期末值 间断的间隔首末折半法122121naaaaan
7、n一般有：1a2a3a1nana223221aaaa21nnaa当间隔相等(T T1=T T2=T Tn-1)时，有 122)4137(214)3739(213)3942(213)4238(21a)(29.39台naa时期数列ffaaanaaaafafanaaiiin)(2112121121间隔不等的间隔相等的间断时点数列非连续变动的连续变动的连续时点数列时点数列 计算公式小结(二)根据相对数或平均数时间数列计算序时平均数 先计算构成其分子与分母的两个绝对数时间数列的序时平均数，然后进行对比。其基本公式为We need changes Waifung.CHE首先分清分子、分母序列属于时期序列还
8、是时点序列 注意点然后分别计算各自的平均发展水平 年份201420152016营业收入（亿）409.92488.81507.14管理费用（亿）15.3114.4218.46管理费用率3.74%2.95%3.64%We need changes Waifung.CHE求每年的平均管理费用率%44.33%64.3%95.2%74.3平均管理费用率年份201420152016营业收入（亿）409.92488.81507.14管理费用（亿）15.3114.4218.46管理费用率3.74%2.95%3.64%62.468314.50781.48892.409平均营收06.16346.1842.1431
9、.15平均管理费用%42.362.46806.16平均管理费用率We need changes Waifung.CHE某商业企业商品销售额与库存额情况1月2月3月a 商品销售额(万元)801502401月1日2月1日3月1日4月1日b 商品库存额(万元)35455565)次(13.3507.156)14/()265552554524535(3/)24015080(商品流转次数第一季度月平均计算平均商品周转次数三、增长量 增长量(increment)是用来说明某种现象在一定时期内所增长的绝对数量的，它等于报告期水平减去基期水平。即 增长量=报告期水平-基期水平 由于采用的基期不同，增长量可分为逐
10、期增长量和累计增长量。11201,nnaaaaaa累计增长量：00201,aaaaaan逐期增长量：逐期增长量和累计增长量之间存在的运算关系：逐期增长量之和等于累计增长量，即：011201)()()(aaaaaaaannn两个相邻的累计增长量之差等于报告期的逐期增长量，即：1010)()(iiiiaaaaaa四、平均增长量 平均增长量(average increment)是用来说明某种现象在一定时期内平均每期增长的数量的，它也是一种序时平均数。例：某厂2010201420102014年冰箱产量资料如下年份年份2010201020112011201220122013201320142014产量（
11、千台）产量（千台）7687689189189809801044104410601060逐期增长量逐期增长量（千台）（千台）累计增长量累计增长量（千台）（千台）150166462150212276292第三节 时间数列的速度分析一、发展速度 发展速度(speed of development)是两个时期发展水平指标对比的结果，主要说明报告期水平已发展到基期水平的若干倍或百分之几。0030201.aaaaaaaan、1231201.nnaaaaaaaa、定基发展速度环比发展速度1211201nnnnaaaaaaaa100010iiiiaaaaaaaa0aan),2,1(1niaaii例：某厂201
12、0201420102014年冰箱产量资料如下年份年份2010201020112011201220122013201320142014产量（千台）产量（千台）7687689189189809801044104410601060环比发展速环比发展速度（度（%）定基发展速定基发展速度（度（%）119.5 106.8 106.5 101.5119.5 127.6 135.9 138.0二、增长速度与增长1%的绝对值 增长速度(increase speed)是反映现象增长程度的相对指标，由增长量对比基期水平而得。其计算公式为 由于采用基期的不同，增长速度可分为定基增长速度与环比增长速度。2016年环比增
13、长=388.6/326.6-1=19.0%2016年定基增长=388.6/315.7-1=23.1%2015年环比增长=326.6/315.7-1=3.5%315.7326.6388.60501001502002503003504002014年2015年2016年贵州茅台营业收入（亿元）同比(二)增长1%的绝对值1%100逐期增长量增长的绝对值环比增长速度100前一期水平增长1%的绝对值与增长速度结合使用年份甲企业乙企业利润/万元增长率%利润/万元增长率%2019年500NA60NA2020年600208440虽然乙的增长速度40%大于甲的增长速度20%，这判断乙的经营较好还为时尚早，乙的增长
14、1%的绝对值0.6万元小于甲的增长1%的绝对值5万元。这说明甲的经营并不比乙的差。万元6.010060的绝对值%1乙的增长,万元5100500的绝对值%1甲的增长三、平均速度 平均速度是各个时期环比速度的平均数，说明社会经济现象在较长时期内速度变化的平均程度。平均速度可分为平均发展速度和平均增长速度两种。平均增长速度=平均发展速度-1(或100%)路遥知马力(一)水平法（几何法）计算平均发展速度 现象发展的总速度等于各期环比发展速度的连乘积 平均发展速度各期环比发展速度的几何平均数。假定从最初水平出发，各期以平均发展速度的速度增长。第一期的理论水平：xaa01xxaxaa012303xaa第二
15、期的理论水平：第三期的理论水平：第n期的理论水平：nnxaa0nRx nnaax0(一)水平法（几何法）计算平均发展速度水平法：只关注现象的最后时点所得达到的规模或水平腾讯控股营业收入复合增长率 2011年营业收入为284亿元 2019年营业收入为3772亿元 复合增长率=power（1519/284，1/5）-1=39.75%腾讯控股营业收入复合增长率 2011年营业收入为284亿元 2016年营业收入为1519亿元 复合增长率=power（1519/284，1/5）-1=39.75%（二)累计法计算平均发展速度解这个高次方程式，求出 的正根，就是所求的平均发展速度。累计法：关注现象的现象各
16、时点水平的累计。在实际统计工作中，一般采用查累计法递增速度查对表的方法。其具体步骤如下。(1)计算各期发展水平之和与最初水平之比的百分数，用M表示。则(2)将上述比值除以时期数，所得结果如果大于1或100%，就可以判断这是一个递增速度资料，据此可查累计法递增速度查对表；。如果所得结果小于1或100%，就可以判断这是一个递减速度资料，据此可查累计法递减速度查对表。(3)根据各期发展水平之和与最初期水平之比的百分数M查表。例：参考P156，表6-14第四节 长期趋势的测定 这个时代最悲哀的事情，就是 你努力，但你不在风口上，你聪明，但你不在潮流中。知道趋势，意味着已经胜利在望。凯文凯利（Kevin
17、 Kelly）一、长期趋势 长期趋势(long-time trend)是指现象在相当长的时间内，发展过程表现为不断增长或不断下降的总趋势。影响因素 任何现象的发展变化都同时受到多种因素的影响，有些因素是长期起作用的，有些因素只是短期或偶然起作用的。长期趋势因素是指在较长时间内比较稳定，经常起作用的根本性因素。偶然因素则是指在目前科学技术条件下不能预测或控制的因素。长期趋势测定方法修匀法数学模型法时距扩大法移动平均法分割平均法 最小平方法 二、测定长期趋势的方法（一）时距扩大法 时距扩大法也称为间隔扩大法，是测定长期趋势最原始、最简单的方法。它是指将原时间序列中若干时期资料加以合并或平均，得出扩
18、大间隔的较大时距单位的新时间序列，以消除由于时距较短而受偶然因素影响所引起的不规则变动，反映现象发展变化长期趋势的分析方法。We need changes Waifung.CHE 某企业2014年各月产量动态月份1234567891011 12产量8085828684888685 929492 98季度一二三四总产量247258263284平均产量82.38687.794.7时距扩大法要扩大什么程度，主要根据现象的性质而定，以能够显示现象的发展趋势为度。（二）移动平均法 移动平均法(moving averages)是通过时距(项数)扩大，计算其移动平均数来削弱偶然因素的影响。根据各移动平均数编
19、制的新的时间数列，能较明显地反映现象的发展趋势。月份 123456789101112收入 47869812108141715月份收入三项移动平均法142738465968712810981014111712156.337.07.677.679.67101010.671315.53We need changes Waifung.CHE月份123456789101112增加值y(万元)50.5455251.550.455.55358.45759.25860.5三项移动平均yc-49.249.551.352.55355.656.158.258.159.2-Note：若采用奇数项移动平均(如上例“三项
20、”)，则平均值是对准在奇项的居中时间处。一次可得趋势值；若采用偶数项移动平均，则平均值也居中，因未对准原来的时间，还要再计算一次平均数，故一般都用奇数项移动平均。奇数项移动平均:1t2t3t4t5t6t7t原数列移动平均3321ttt3432ttt3543ttt3654ttt3765ttt新数列2t3t4t5t6t移动平均移正平均新数列原数列1t2t3t4t5t6t7t441tt452tt463tt474tt3t4t5t偶数项移动平均:用四项移动平均后的资料作图，趋势更明显，上升得更均匀，可见修匀的项数越多，效果越好。(但丢掉的数据多一些)月份123456789101112y50.545525
21、1.5 50.4 55.55358.45759.25860.5四项移动平均 49.8 49.7 52.4 52.6 54.3 56.0 56.9 58.2 58.7二项移正yc 49.8 51.1 52.5 53.5 55.2 56.5 57.6 58.5We need changes Waifung.CHE由此可见，该厂的增加值趋势是上升的。注意：修匀后的序列，较原序列项数少。(在进行统计分析时，若需要两端数据，则此法不宜使用)取几项进行移动平均为好，一般若现象有周期变动，则以周期为长度。例，季度资料可三项移动平均；各年月资料，可十二项移动平均；五年一周期，可五项移动平均。移动平均法可消除周
22、期变动。We need changes Waifung.CHESupplement：移动平均数预测We need changes Waifung.CHETime PeriodTime PeriodVCRs Sold13323833143553063673483993910361140123805101520253035404512345678910 11 12VCRs SoldVCRs Sold如何预测第13个时点的VCR销售量39238402121113yyycTime PeriodVCRs Sold(Y)k=2(YC)13323833135.5 43534.5 53033.0 63632.
23、5 73433.0 83935.0 93936.5 103639.0 114037.5 123838.0 1339.0 We need changes Waifung.CHE5.38239382131214ycyycTime PeriodVCRs Sold(Y)k=2(YC)13323833135.5 43534.5 53033.0 63632.5 73433.0 83935.0 93936.5 103639.0 114037.5 123838.0 1339.0 1438.5 We need changes Waifung.CHETime PeriodVCRs Sold(Y)k=2(YC)13
24、323833135.5 43534.5 53033.0 63632.5 73433.0 83935.0 93936.5 103639.0 114037.5 123838.0 1339.0 1438.5 1538.8 8.3825.38392141315ycycyc要点：当实际销售数据（y）用完之后，就用预测数据yc作移动平均数计算We need changes Waifung.CHE051015202530354045123456789101112131415图表标题图表标题VCRs Sold(Y)k=2(YC)（三）最小平方法 最小平方法(Least square method)是分析长期趋
25、势最常用、最科学的方法。这种方法是用一定的数学模型，对原有的动态数列配合一条适当的趋势线来进行修匀。最小平方法既可以配合直线，也可以配合曲线。(一)长期趋势类型的判定 (1)如果时间数列的逐期增长量(或称一次差)大体相同，可拟合直线；若时间数列的二次增长量(二次差)大体相同，可拟合抛物线；当时间数列的环比发展速度(或环比增长速度)大体相同，可拟合指数曲线。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 4 7 11 16 22 29 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1直线二次曲线 (2)画散点图。在平面直角坐标系中绘出t、y的坐标点，若这些点
26、大致散布在一条直线的周围，则拟合直线；若散布在一条曲线的周围，则拟合曲线。(二)最小平方法建立趋势方程的方法 1直线趋势y2y1yn最小值2)(cnyybtayc使得使得实际操作步骤：用最小平方法拟合最佳的直线tbayt其中a是截距，b是斜率，t是时间序号，y是趋势值22)(ttnyttynbntbnya令令2ttYbnYa0t如何令0t当时点项数是奇数项时，令中间位置的时点为t=0，以上各项为-1，-2，-3，以下各项为1，2，3.年份序时t1999-22000-1200102002120032当时点项数是偶数项时，令中间位置的两个时点为分别为-1，1，（间隔相差为2）以上各项为-3，-5，
27、-7，以下各项为3，5，7.年份序时t1999-52000-32001-1200212003320045 例如、某地区2009-2014年粮食产量资料如表6-20所示。年份时间代码t粮食产量y逐期增长量t2tyyc2009185.6-185.685.620102915.4418290.92011396.15.19288.396.220124101.25.116404.8101.5201351075.825535106.820146112.25.236673.2112.1合计21593.1-912168.9593.1表6-20 某地区粮食产量计算表单位：万吨单位：万吨 根据表6-20的资料计算，
28、逐期增长量大体相等，所以可拟合直线趋势方程。其计算方法如下。23.8062132.561.59332.5219161.593219.216862ab将a、b代入直线方程式，得tyc32.523.80如果将趋势直线向外延伸，可预测该地区2013年的粮食产量。)万吨(79.122832.523.802013y年份时间代码t粮食产量yt2tyyc2009-585.625-42885.62010-3919-27390.92011-196.11-96.196.220121101.21101.2101.5201331079321106.820145112.225561112.1合计0593.170186.
29、1593.166.2701.18685.9861.5932ttybnyatyc2.6698.85 2曲线趋势 常用的曲线趋势包括抛物线和指数曲线两种。(1)抛物线方程为假定时间数列的中点为原点，使t=0，t 3=0，则上式简化为 解方程组得(2)指数曲线方程为 式中：a时间数列的基期水平；b 现象的发展速度；t时间序号。进行指数曲线拟合时，一般是将指数方程通过取对数转化成直线方程，然后按直线方程办法确定出参数，再对直线方程求得的结果查反对数表还原。先对上述方程两边各取对数，得 设 则 使用前面最小平方法的直线趋势线，分别求出A，B 最后还原a，b。第五节 季节变动的测定一、季节变动分析的意义
30、概念：季节变动(seasonal fluctuation)是指某些现象由于受自然因素和社会条件的影响，在一年之内表现出有规律的、周期性的变动。季节变动不仅是指一年中四季的变动，而是泛指所有有规律的、在一定周期(如年、季、月、周、日)内重复出现的变化。目的：掌握季节变动带来的数量规律，合理安排资源。测定方法：按月(季)平均法（同期平均数）和移动平均趋势删除法。按月(季)平均法（同期平均数）第一步，计算各年所有月(季)的总平均数。第二步，计算各年同月(季)的平均数。第三步，计算季节比率(season ratios)。%100)(总平均水平月季同季（月）平均数季节指数注意：季节比率大于或小于100%
31、，旺季。若小于100%的幅度比较大，“淡季”。若为月资料，12个月的季节比率之和应等于1200%；若为季资料，4个季度的季节比率之和应等于400%。如果不等，即是计算过程中的四舍五入造成的，应计算调整系数并加以调整。调整系数的计算公式为We need changes Waifung.CHE月份2015y 2016y 2017y(1)(2)(3)1月5458682月5254703月5058644月4854625月4448566月4244487月3638448月3236409月37424610月46545811月50566012月586476合计549606692Step1 求出总平均数31.51
32、121212692606549月总平均数We need changes Waifung.CHEStep2：分别求出同月的平均数月份2015y 2016y 2017y同月平均数(1)(2)(3)(1)+(2)+(3)/31月54586860.00 2月52547058.67 3月50586457.33 4月48546254.67 5月44485649.33 6月42444844.67 7月36384439.33 8月32364036.00 9月37424641.67 10月46545852.67 11月50566055.33 12月58647666.00 合计54960669251.31 eg：
33、1月份平均数00.603685854eg：2月份平均数67.583705452We need changes Waifung.CHE月份 2015y 2016y 2017y同月平均数季节比率(1)(2)(3)(1)+(2)+(3)/31月54586860.00 116.95%2月52547058.67 114.35%3月50586457.33 111.75%4月48546254.67 106.55%5月44485649.33 96.16%6月42444844.67 87.06%7月36384439.33 76.66%8月32364036.00 70.17%9月37424641.67 81.21
34、%10月46545852.67 102.65%11月50566055.33 107.85%12月58647666.00 128.64%合计54960669251.31 1200.00%Step3：分别求出各月季节比率eg：1月季节比率%98.11631.5100.60eg：2月季节比率%35.11431.5167.58预测 若知，2018年4月份销售量为50百千克，预测2018年10、11月份销售量：根据上表，4月份的季节比率为106.55%（百千克）月份销售量17.48%65.102%55.1065010（百千克）月份销售量61.50%85.107%55.10650111/10/202310
35、2例子：移动平均趋势剔除法例子：移动平均趋势剔除法 2006年年2007年年2008年年2009年年第一季度第一季度第二季度第二季度第三季度第三季度第四季度第四季度2116503932287452433195836056112101要求：移动平均趋势剔除法计算各季度的季节比率。u某企业2006-2009年销售额资料如下表所示：单位：万元 1/10/2023103解（解（1 1）：用移动平均法测定各季的长期趋势：用移动平均法测定各季的长期趋势：（Ti）年年 份份 季季 度度销售额销售额y移动平均移动平均 n=4移动平均移动平均 n=2（Ti）季节比率季节比率Si2006 2007 1234123
36、4211650393228745231.5033.5037.2543.2546.5049.2532.5035.3840.2544.8847.8849.63153.85110.2379.5062.39154.55104.78续前表：续前表：年年 份份 季季 度度销售额销售额 y移动平均移动平均 n=4移动平均移动平均 n=2（Ti）季节比率季节比率Si2008 2009 1234123443319583605611210150.0055.2563.0067.2573.5077.7582.2552.6359.1365.1370.3875.6380.0081.7052.43145.86117.937
37、9.3370.00（2）计算各季平均季节比率）计算各季平均季节比率S年份年份 第第1季度季度第第2季度季度第第3季度季度第第4季度季度200620072008200979.5081.7079.3362.3952.4370.00153.85154.55145.86110.23104.78117.93平均季节比率平均季节比率S%80.1861.61151.42110.98（3）计算修正系数）计算修正系数9896.0%98.110%42.151%61.61%18.80%400%400 Si修修正正系系数数修正后季节比率（%）=S 修正系数为什么是400%。（2）计算各季平均季节比率）计算各季平均季节比率S年份年份 第第1季度季度第第2季度季度第第3季度季度第第4季度季度200620072008200979.5081.7079.3362.3952.4370.00153.85154.55145.86110.23104.78117.93平均季节比率平均季节比率S%80.1861.61151.42110.98修正后季节比率修正后季节比率%79.3560.97149.85109.83
