1、第二课时第二课时 椭圆方程及性质的应用椭圆方程及性质的应用 第二课时第二课时 课堂互动讲练课堂互动讲练 知能优化训练知能优化训练 课前自主学案课前自主学案 学习目标学习目标 精品PPT 学习目标学习目标 1.通过椭圆标准方程的求法通过椭圆标准方程的求法，体会一元二次方程的体会一元二次方程的 根与系数的关系的应用根与系数的关系的应用 2掌握椭圆的离心率的求法及其范围的确定掌握椭圆的离心率的求法及其范围的确定 3掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，并能掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，并能 利用椭圆的有关性质解决实际问题利用椭圆的有关性质解决实际问题 课前自主学案课前自主学案 温故夯基温故夯基
2、1椭圆椭圆x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的离心率的离心率 e_. 2椭圆的方程为椭圆的方程为 9x2y281，则它的长轴长为，则它的长轴长为_ ，短轴长为，短轴长为_，焦点坐标为，焦点坐标为_，顶点坐标为，顶点坐标为 _ c a 1b 2 a2 18 6 (3,0)，(0，9) (0， 6 2) 知新益能知新益能 点与椭圆、直线与椭圆的位置关系点与椭圆、直线与椭圆的位置关系 1点点 P(x0，y0)与椭圆与椭圆x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的位置关系：的位置关系： 点点 P 在椭圆上在椭圆上x 2 0 a2 y 2 0 b2 1； 点点 P 在椭圆内部在椭圆内部x 2 0
3、a2 y 2 0 b21. 2直线直线 ykxm 与椭圆与椭圆x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的位置的位置 关系判断方法：联立关系判断方法：联立 ykxm x2 a2 y 2 b2 1 ，消去，消去 y(或或 x)得得 一个关于一个关于 x(或或 y)的一元二次方程的一元二次方程. 位置关系位置关系 解的个数解的个数 的取值的取值 相交相交 _解解 0 相切相切 一个解一个解 _0 相离相离 无解无解 _0 两个两个 0；(2)直线与椭圆相切直线与椭圆相切 0；(3)直线与椭圆相离直线与椭圆相离0. 例例1 已知椭圆已知椭圆 4x 2 y 2 1及直线及直线 yxm.当直当直 线和椭圆
4、有公共点时，求实数线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围的取值范围 【思路点拨】【思路点拨】 有公共点有公共点 转化转化 方程组有解方程组有解 消元消元 方程有解方程有解 转化转化 判别式非负判别式非负 结果结果 【解】【解】 由由 4x2y21 yxm 得得 5x22mxm210. 因为直线与椭圆有公共点，因为直线与椭圆有公共点， 所以所以 4m 2 20(m21)0. 解得解得 5 2 m 5 2 . 【名师点评名师点评】 一般利用直线与椭圆的关系来求一般利用直线与椭圆的关系来求 直线方程未知量的取值范围时直线方程未知量的取值范围时，利用判别式较易利用判别式较易 求出求出 互动探究互动
5、探究 在例在例1条件下条件下，试求被椭圆截得的最试求被椭圆截得的最 长弦所在的直线方程长弦所在的直线方程 解：解：设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 由例由例 1 知，知，5x22mxm 2 10， 由根与系数的关系，由根与系数的关系， 得得 x1x22m 5 ，x1x21 5(m 2 1) 所以所以 d x1x2 2 y1y2 2 2 x1x2 2 2 x1x2 24x1x2 2 4m 2 25 4 5 m 2 1 2 5 108m 2， ， 所以当所以当 m0 时，时，d 最大，此时直线方程为最大，此时直线方程为 yx. 弦长问题弦长问题 弦长的求法：弦
6、长的求法： (1)求出直线与椭圆的交点，利用两点间的距离公式求出直线与椭圆的交点，利用两点间的距离公式 求弦长求弦长 (2)设而不求得弦长，设直线设而不求得弦长，设直线 ykxm(kR，m R)，弦长，弦长|AB|，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与，联立直线与 椭圆的方程，消去椭圆的方程，消去 y(或或 x)得关于得关于 x(或或 y)的一元二次的一元二次 方程，利用弦长公式方程，利用弦长公式|AB| x1x2 2 y1y2 2 1k2 |x1x2| 1k2 x1x2 24x1x2求解求解 例例2 已知斜率为已知斜率为 1 的直线的直线 l 过椭圆过椭圆x 2 4 y21 的右的
7、右 焦点，交椭圆于焦点，交椭圆于 A、B两点，求弦两点，求弦 AB的长的长 【思路点拨】【思路点拨】 求直线求直线l方程方程 构造方程组构造方程组 解方程组解方程组 两点间两点间 距离公式距离公式 求弦长求弦长 【解】【解】 a24，b21，c a2b 2 3， 右焦点右焦点 F( 3，0)，直线直线 l 的方程为的方程为 yx 3. 由由 yx 3， x2 4 y21， 消去消去 y 并整理得并整理得 5x28 3x80. 设直线设直线 l 与椭圆的交点为与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则则 x1x28 3 5 ，x1x28 5. |AB| x1x2 2 y1y2 2
8、x1x2 2 x1 3x2 3 2 2 x1x2 2 2 x1x2 24x1x2 2 8 3 5 2 4 8 5 8 5， ， 即弦即弦 AB的长为的长为8 5. 关于中点的问题一般可采用两种方法解决：关于中点的问题一般可采用两种方法解决：(1)联联 立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而 不解，从而简化运算解题；不解，从而简化运算解题；(2)利用“点差法”，利用“点差法”， 求出与中点、斜率有关的式子，进而求解求出与中点、斜率有关的式子，进而求解 中点弦问题中点弦问题 过椭圆过椭圆 x2 16 y 2 4 1 内一点内一点 P(2,1)作一条直线
9、作一条直线 交椭圆于交椭圆于 A、B两点，使线段两点，使线段 AB被被 P 点平分，求点平分，求 此直线的方程此直线的方程 例例3 【思路点拨】【思路点拨】 由于弦所在直线过定点由于弦所在直线过定点 P(2,1)， 所， 所 以可设出弦所在直线的方程为以可设出弦所在直线的方程为 y1k(x2)，与，与 椭圆方程联立，通过中点为椭圆方程联立，通过中点为 P，得出，得出 k 的值的值也可也可 以通过设而不求的思想求直线的斜率以通过设而不求的思想求直线的斜率 【解解】 法一：如图法一：如图，设所求直线的方程为设所求直线的方程为y1 k(x2)， 代入椭圆方程并整理代入椭圆方程并整理，得得 (4k21
10、)x28(2k2k)x4(2k1)2160， (*) 又设直线与椭圆的交点为又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则则x1、x2是是(*)方程的两个根方程的两个根， x1x28 2k 2 k 4k21 . P 为弦为弦 AB的中点，的中点， 2x 1 x2 2 4 2k 2 k 4k21 . 解得解得 k1 2， ， 所求直线的方程为所求直线的方程为 x2y40. 法二：设直线与椭圆交点为法二：设直线与椭圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， P 为弦为弦 AB的中点，的中点， x1x24，y1y22. 又又A、B在椭圆上，在椭圆上，x 2 1 4y 2 1 16
11、，x 2 2 4y 2 2 16. 两式相减，得两式相减，得(x 2 1 x 2 2) 4(y2 1 y 2 2) 0， 即即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0. y 1 y2 x1x2 x1x2 4 y1y2 1 2， ， 即即 kAB1 2. 所求直线方程为所求直线方程为 y11 2(x 2)， 即即 x2y40. 【名师点评】【名师点评】 中点弦问题求解的关键是充分利中点弦问题求解的关键是充分利 用用“中点中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及这一条件，灵活运用中点坐标公式及 根与系数的关系根与系数的关系本题中的法一是设出方程，根本题中的法一是设出方程，根 据中点坐标求
12、出据中点坐标求出 k； 法二是； 法二是“设而不求设而不求”， 即设出， 即设出 交点坐标，代入方程，整体求出斜率交点坐标，代入方程，整体求出斜率 1直线与椭圆有三种位置关系直线与椭圆有三种位置关系 (1)相交相交直线与椭圆有两个不同的公共点；直线与椭圆有两个不同的公共点； (2)相切相切直线与椭圆有且只有一个公共点；直线与椭圆有且只有一个公共点； (3)相离相离直线与椭圆没有公共点直线与椭圆没有公共点 方法感悟方法感悟 2直线与椭圆的位置关系的判断直线与椭圆的位置关系的判断 把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线和椭圆把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线和椭圆 的公共点问题，而直线与椭圆的公共点问题，又的公共点问题，而直线与椭圆的公共点问题，又 可以转化为它们的方程所组成的方程组的解的问可以转化为它们的方程所组成的方程组的解的问 题，而它们的方程所组成的方程组的解的问题通题，而它们的方程所组成的方程组的解的问题通 常又可以转化为一元二次方程解的问题，一元二常又可以转化为一元二次方程解的问题，一元二 次方程解的问题可以通过判别式来判断，因此，次方程解的问题可以通过判别式来判断，因此， 直线和椭圆的位置关系，通常可由相应的一元二直线和椭圆的位置关系，通常可由相应的一元二 次方程的判别式来判断次方程的判别式来判断
