1、椭圆 一、椭圆的定义和标准方程 1.取一条长度一定且不可伸缩的细绳，把它的两 个端点固定在黑板上的F1，F2两点 (使绳长大于 F1到F2的距离)，用粉笔尖把绳子拉紧，使笔尖在 黑板上慢慢移动一周，得到的图形是什么？ 得到的图形是椭圆得到的图形是椭圆 2.在画椭圆的过程中需要注意哪几个问题？ (3)绳长大于F1到F2的距离 椭圆的焦距： F1 F2 (1) F1，F2为固定两点 平面内与两定点F1、F2 的距离之和为常数 (大 于| F1F2|) 的点的轨迹(或集合)叫做椭圆。 椭圆的定义： F1、F2 椭圆的焦点： |F1F2| (2)笔尖到F1与F2的距离之和为绳长(定长) M 平面内与两
2、定点F1、F2 的距离之和为常数的点 的轨迹(或集合)叫做椭圆。 椭圆的定义： 精品PPT O |MF1|+|MF2|= 2a (a0) 2222 (x+c) +y + (x-c) +y =2a (-c,0) (c,0) X Y 求求平面内与两定点F1、 F2 的距离之和为常数(大 于| F1F2|)的点的轨迹(或集合) ？ F1 F2 M 椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2 的距离之和 为常数(大于| F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆。 (c0) 设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点 解： | F1F2|=2c 常数=2a (a0) ac 2222 (x+c) +y =2a- (x
3、-c) +y 2222222 (x+c) +y =4a -4a (x-c) +y +(x-c) +y 222 a -cx=a(x-c) +y 42222222 222 a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y 22222222 (a -c )x +a y =a (a -c ) 222222 b x +a y =a b 222 bac(b0) 焦点在Y轴的椭圆的标准方程： 焦点在X轴的椭圆的标准方程： 22 22 1 xy ab (0)ab 12 (,0),( ,0)FcF c 222 cab 22 22 1 yx ab (0)ab 12 (0,),(0, )Fc Fc
4、 222 cab 常数(绳长) =2a 焦距: 222 bac| F1F2|=2c (c0) (a0) (b0) 设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点 |MF1|+|MF2|= 2a (a0) 2222 x +(y+c) + x +(y-c) =2a 22 22 1 yx ab 令F1(0，-c), F2 (0，c) | F1F2|=2c (c0) 常数常数=2a=2a (a0)(a0) 解： 设点M(x,y)为所求轨迹上任意一点 解： |MF1|+|MF2|= 2a (a0) 22 22 1 xy ab 2222 (x+c) +y + (x-c) +y =2a 令F1(-c,0)，F2 (c
5、,0) |F1F2|=2c (c0)(c0) 常数常数=2a=2a (a0)(a0) 22222222 222 222222 (a -c )x +a y =a (a -c ) ba -c b x +a y =b (0) a b 222222 x +b y =a ba X Y M F2 F1 o 22222222 a x +(a -c )y =a (a -c ) 222 ba -c (0)b F1 F2 M Y X o 1.求下列椭圆的焦点和焦距。 22 (1)1 54 xy 22 (2)216xy 54解 ： 因为 所以焦点在X轴上 22 a =5,b = 4 222 1 1 cab c 焦点
6、为： 1 2 ( 1,0),(1,0)FF 22 1 168 yx 22 16,8ab 222 1688 2 2 cab c 焦点为： 12 (0, 2 2),(0,2 2)FF 焦距为： 2 22c 焦距为： 4 2 24 2c 168 所以焦点在Y轴上 因为 2 . 已知椭圆的焦点为 F1 (-3，0) ，F2 (3，0)， 椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，求椭圆的 标准方程。 210 5 a a 222 22222 5316 cab bac 故所求椭圆的标准方程为： 22 1 2516 xy 22 22 1 xy ab (0)ab 设椭圆标准方程为 解： 因为 12 ( 3,0),(
7、3,0)FF 所以焦点在X轴上，c=3 F1 F2 M Y X O 3.已知椭圆上某点到两定点的距离之和为6， 两个定点之间的距离为 ，求椭圆的标 准方程。 2 5 解：因为 2a=6 2c= 所以 a=3 c= 2 5 5 222 954bac 焦点在X轴的椭圆标准方程为 22 1 94 xy 焦点在Y轴的椭圆标准方程为 22 1 94 yx 设焦点在X轴的椭圆标准方程为 22 22 1 xy ab 222 954bac 22 22 1 yx ab 设焦点在Y轴的椭圆标准方程为 的焦点， 12 PF F 三角形，求 的周长？ 22 1 259 xy 设F1、 F2为椭圆 P为椭圆上一点，与F
8、1、 F2 构成一个 解： 12 PFF 周长 1122 1212 22 PFFFPF PFPFFF ac 22 1 259 xy F1 F2 P 222 25916 4 28 cab c c 2 25 5 210 a a a 12 PFF =10+8=18 所以的周 长长 Y X F1 F2 P o A B F1 已知椭圆 与X轴，Y轴 的正半轴分别交于A、B两点，左焦点 为F1，求 的面积？ 22 1 2516 xy 1 ABF A B F1 X Y O X 1 ABF1 1 S=AFOB 2 1 1 =OF + OAOB 2 解 因为点A为椭圆与X轴正半轴交点 所以 2 0 155 2516 x xOA 因为点B为椭圆与Y轴正半轴交点 所以 2 0 144 2516 y yOB 22 1 25 1633cabOF 1 1 53416 2 ABF S 位置 焦点在X轴上 焦点在Y轴上 图形 方程 相同点 不同点 222 cab2. 12 (,0),( ,0)FcF c 12 (0,),(0, )Fc Fc 1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程 1.ab0 22 22 xy +=1 ab 22 22 1 yx ab F1 F2 M Y X X Y M F2 F1 o o 课 堂 小 结 课 堂 小 结 作业： 根据椭圆定义求焦点在Y轴的椭圆 标准方程。
