1、第一节第一节 微分方程的概念微分方程的概念一一.实例实例例例1.曲线过曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐 标标,求此曲线方程求此曲线方程.设曲线方程为设曲线方程为 y=y(x),则则1|,0 xyxycxxdxy221c122xy例例2.质量为质量为m的物体自由落下的物体自由落下,t=0 时时,初始位移和初速度分别为初始位移和初速度分别为,00vS求物体的运动规律求物体的运动规律.,21)(212ctcgttS则则设运动方程为设运动方程为S=S(t),)(gtS 0000|,|vSSStt两次积分分别得出两次积分分别得出:,)(1
2、cgttS条件代入条件代入:,0201Scvc,21)(002StvgttS二二.概念概念1.微分方程微分方程:含有未知函数的导数或微分的方程含有未知函数的导数或微分的方程.未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.(前例前例)未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.本章内容本章内容2.阶阶:未知函数的最高阶导数的阶数未知函数的最高阶导数的阶数.例例1是一阶微分方程是一阶微分方程,例例2是二阶微分方程是二阶微分方程.n阶方程一般形式阶方程一般形式:0),()(nyyyyxF必须出现必须出现3.解解:如果将
3、函数如果将函数 y=y(x)代入方程后恒等代入方程后恒等,则称其为方程的解则称其为方程的解.如果解中含有任意常数如果解中含有任意常数,且个数与阶数相同且个数与阶数相同通解通解不含任意常数的解不含任意常数的解特解特解必须独立必须独立n阶方程通解一般形式阶方程通解一般形式:),(21ncccxyy 4.定解条件定解条件:确定通解中任意常数值的条件确定通解中任意常数值的条件.定解条件的个数要和阶数相同定解条件的个数要和阶数相同,才能确定唯一特解才能确定唯一特解;定解条件中自变量取相同值时定解条件中自变量取相同值时,叫做初始条件叫做初始条件.5.几何意义几何意义:通解通解积分曲线族积分曲线族特解特解积
4、分曲线积分曲线例例:验证验证 是是 的通解的通解cyx22yxy对对 用隐函数求导法得用隐函数求导法得:cyx22yxy故故 是方程的解是方程的解,cyx22且含有一个任意常数且含有一个任意常数.通解通解第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程本节介绍一阶微分方程的基本类型和常见类型本节介绍一阶微分方程的基本类型和常见类型.一阶微分方程一般形式一阶微分方程一般形式:0),(yyxF我们研究其基本形式我们研究其基本形式:),(yxfdxdy如果可化成如果可化成:dyygdxxf)()(1)则则(1)称为称为可分离变量的方程可分离变量的方程.解法解法:1.分离变量分离变量:dyygdxxf)()(2
5、.两边积分两边积分:dyygdxxf)()(3.得出通解得出通解:CxFyG)()(只写一个任意常数只写一个任意常数例例:xydxdy2).1(xdxdyy21xdxdyy21,|ln12Cxy2112xCCxeeey任意常数任意常数,记为记为C2xCey 绝对值号可省略绝对值号可省略1|,).2(022xyyxyxyxydxxxdyyy2211dxxxdyyy2211122)1ln()1ln(Cxy)(),1(1222CeCxCy定解条件代入定解条件代入:C=2故特解为故特解为:).1(2122xy二二.齐次方程的解法齐次方程的解法如果方程如果方程(1)可化成可化成:)(xydxdy齐次方程
6、齐次方程解法解法:令令 化成可分离变量方程化成可分离变量方程.xyu xuy dxduxudxdy)(udxduxudxxuudu1)(例例:22xxyydxdy1)(2xyxydxdy12uudxduxudxxduu1)11(xCuulnln1xyu xyu xyCey 三三.一阶线性方程微分方程一阶线性方程微分方程一般形式一般形式:)()(xQyxPdxdy(2):0)(xQ0)(yxPdxdy(3)一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程:0)(xQ自由项自由项方程方程(3)是可分离变量方程是可分离变量方程,其通解为其通解为:dxxPCey)(方程方程(2)的
7、通解的通解常数变易法常数变易法设设(2)的通解的通解:dxxPexCy)()(代入方程代入方程(2):dxxPdxxPexPxCexCy)()()()()(dxxPexQxC)()()(CdxexQxCdxxP)()()(则方程则方程(2)的通解的通解:)()()(CdxexQeydxxPdxxP(4)注注:1.一阶线性非齐次方程的通解可用常数变易法或公式一阶线性非齐次方程的通解可用常数变易法或公式(4)计算皆可计算皆可;.2.公式公式(4)中不定积分只求一个原函数即可中不定积分只求一个原函数即可;3.dxexQeCeydxxPdxxPdxxP)()()()(非齐次方程的特解非齐次方程的特解齐
8、次方程的通解齐次方程的通解非齐次方程非齐次方程解的结构解的结构例例:xexydxdyxcos22cos222Cdxexeeyxdxxxdxcos2Cxdxex)(sin2Cxex例例:求方程求方程 满足初始条件满足初始条件 的特解的特解.ydxdyyx)(21|3xy将将 y 视为自变量视为自变量,可以变成关于可以变成关于 x 的线性方程的线性方程:yxydydx1yyQyyP)(,1)(11Cdyyeexdyydyy)(Cyy由由 得得:1|3xy2C故所求特解为故所求特解为:)2(yyx四四.伯努利方程伯努利方程一般形式为一般形式为:)1,0(,)()(nyxQyxPdxdyn当当 n=0
9、 或或1时时,这是线性方程这是线性方程.当当 时时,可以化成线性方程可以化成线性方程:1,0n两端同除以两端同除以,ny),()(1xQyxPdxdyynn),()()(1111xQyxPdxydnnn令令,1 nyz则则).()1()()1(xQnzxPndxdz关于关于 z 的线性方程的线性方程求出通解后再还原回求出通解后再还原回 y的方程称为伯努利方程的方程称为伯努利方程例例:2yyxy211yxyxy两端同除以两端同除以,2yxyxyy1112令令,1 yz,11xzxz111Cdxexezdxxdxx)(1Cxx代入代入,1 yz通解为通解为.cxxy五五.全微分方程全微分方程0),
10、(),(dyyxQdxyxP对于微分方程对于微分方程),(yxdUCyxU),(则通解为则通解为全微分方程全微分方程注注:(1).当当P(x,y),Q(x,y)在单连域在单连域D内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,且且xQyP时时,上述方程为全微分方程上述方程为全微分方程.(2).DyxCdyyxQdxyxPyxUyyxx),(,),(),(),(00000(3).对于非全微分方程对于非全微分方程,有时可以找到函数有时可以找到函数 ,使得使得),(yx0),(),(),(),(dyyxQyxdxyxPyx全微分方程全微分方程积分因子积分因子(4).观察法往往很实用观察法往往很实用.例例:
11、0)(2)(2dyyxydxxyxQyyP2因因为为全微分方程全微分方程取取,0,000yxCdyyxydxxyxUyx00)(2)(),(Cyxyx3223221解法一解法一:解法二解法二:02)2(22dyyxdxxydydxy0)32()2()(322ydxdxyd0)322(322yxxydCyxyx3223221例例:0 xdyydx非全微分方程非全微分方程由于由于2)(yxdyydxyxd则则 是积分因子是积分因子,21yCyx同乘以积分因子并积分得通解同乘以积分因子并积分得通解:xyx1,12易知易知 也是积分因子也是积分因子例例:0)1()1(xdyxyydxxy非全微分方程非全微分方程变形变形0)()(xdyydxxyydxxdy0)()(22ydyxdxyxxyd则则 是积分因子是积分因子,221yx0)(22ydyxdxyxxyd.|ln1Cyxxy精品课件精品课件！精品课件精品课件！注意注意:其他类型的微分方程往往可以化成上述类型其他类型的微分方程往往可以化成上述类型例例:yyxy2sincos1视视 x 为为 y 函数函数,可化成线性方程可化成线性方程yxydydx2sincos通解为通解为:2sincoscosCdyeyexydyydy)sin1(2sinycey
