1、专转本数学辅导专转本数学辅导2012年年3月月18日日考点十二、二元函数的导数考点十二、二元函数的导数题型题型1.计算二元函数的偏导数与全微分计算二元函数的偏导数与全微分1.偏导数偏导数方法：对求方法：对求x偏导，就是把偏导，就是把y当做常数，此时二元函数当做常数，此时二元函数的求导就可以看成一元函数的求导的求导就可以看成一元函数的求导.1,(,),(,),xxzfzfx yfx yxx对x求偏导数对y求偏导数2,(,),(,),yyzfzfx yfx yyy2.二元隐函数二元隐函数看成三元函数看成三元函数(,)0F x y z FzxFxz FzyFyz 方法：对求方法：对求x偏导，就是把偏
2、导，就是把y，z当做常数当做常数.(2009-10)设函数设函数 由方程由方程 所确所确定，则定，则 12 yzxz),(yxzz _zx(2011-4)设函数设函数 由方程由方程 所确所确定，则定，则 3338zyzx(,)zf x y00_xyzyA.B.C.D.1212223.二阶偏导数二阶偏导数(,)(,)xyzzfx yfx yxy)(xz22xz(,);x xfx yx先对先对x求导，再对求导，再对x求导求导)(xzy yxz2(,)x yfx y先对先对x求导，再对求导，再对y求导求导)(yzx 2(,);y xzfx yy x 先对先对y求导，再对求导，再对x求导求导22()(
3、,)y yzzfx yyyy先对先对y求导，再对求导，再对y求导求导4.全微分全微分dzzzdxd yxy偏微分偏微分223yyxxz（1 1）求求 在点在点(1,2)处的偏导数处的偏导数.yxez2（2）求函数求函数 的二阶偏导数的二阶偏导数.（3）计算函数计算函数 在点在点(2,1)处的全微分处的全微分.yxez 例例1.(2008-5)函数函数 在点在点 处的全微分处的全微分 为为 A.A.B.B.C.C.D.D.xyzln(2,2)dzdydx21211122dxdy1122dxdy1122dxdy(2007-11)设设 ，则全微分，则全微分 yxz _dz(2010-11)设函数设函
4、数 ，则，则 2ln4zxy10_xydz题型题型2.计算二元计算二元(抽象抽象)复合函数的导数复合函数的导数(链式法则链式法则)(),()zftt(,),(),()zf u v ut vtdzz duz dvdtu dtv dtzvutt(全导数公式全导数公式)1.中间变量是一元函数的情形中间变量是一元函数的情形2.中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形(,),(,),(,)zf u vux yvx y12xxzzuzvxuxvxff zvuyxyx12yyzzuzvyuyvyff(,),(,)zf x vvx y口诀：分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导fz xyxv3.中间变
5、量只有一个是多元函数的情形中间变量只有一个是多元函数的情形12xzffvffxxvx 2yzfvfyvy,costzu v ue vtd.dzt（2）设设 ，求，求sin,uzev uxy vxy2,.zzxx y 例例2.（1）设设 ，求全导数，求全导数(2011-18)设设 ，其中函数，其中函数 具有二阶连续具有二阶连续偏导数，求偏导数，求(,)yzxfyxf2zx y(2009-19)设设 ，其中函数，其中函数 具有二阶连续具有二阶连续偏导数，求偏导数，求(sin,)zfx xyf2zx y(2010-19)设设 ，其中函数，其中函数 具有二阶连续具有二阶连续偏导数，求偏导数，求2(,)
6、xzy f xy ef2zx y(2008-18)设设 ，其中函数，其中函数 具有二阶连续具有二阶连续偏导数，求偏导数，求(,)yzf xyxf2zx y(2007-17)设设 ，其中函数，其中函数 具有二阶具有二阶连续偏导数，求连续偏导数，求f2zx y(23,)zfxy xy考点十三、二重积分的计算考点十三、二重积分的计算题型题型1.在直角坐标系下二重积分的计算在直角坐标系下二重积分的计算二重积分的计算可以归结为求两次定积分二重积分的计算可以归结为求两次定积分bxaxyxD)()(:21yyxfxxd),()()(21badx1.若若D为为 X 型区域型区域 Dyxyxfdd),(则)(1
7、xy)(2xyxboyDax上下看 2.若若D为为Y 型区域型区域dycyxyD)()(:21xyxfyyd),()()(21dcdyDyxyxfdd),(则左右看y)(1yx)(2yxxdocyoxy3.若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序选择积分序,必要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd4.若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域,321DDD
8、D则(2011-5)如果二重积分如果二重积分 可化为可化为 ,则积分域则积分域D可表示为可表示为()A.B.C.D.(,)01,11x yxxy(,)12,11x yxxy(,)01,10 x yxxy(,)12,01x yxyx(,)Df x y dxdy1201(,)ydyf x y dx(2010-5)二次积分二次积分 交换积分次序后交换积分次序后得得()A.B.C.D.1101(,)ydyf x y dx1101(,)xdxf x y dy2111(,)xdxf x y dy2110(,)xdxf x y dy2111(,)xdxf x y dy例例3.y1,x2yx（1）计算 ，其中
9、D是直线 及 所围的闭区域.（2）计算 ,Dxyd其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域.2 xy及直线（3)交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxIDxyd(2010-19)计算二重积分计算二重积分 ，其中，其中D是由是由曲线曲线 ，直线，直线 及及 轴所围成的闭区域轴所围成的闭区域.Dxdxdy21xyyxx(2009-18)计算二重积分计算二重积分 ，其中其中Dydxdy2,2,20|),(22yxyxxyxD(2008-19)计算二重积分计算二重积分 ，其中，其中D是由曲线是由曲线 、直线、直线 及及 所围成的平面区域所围成的平面区域.2Dx
10、 dxdy2,xxy1yx0y 1.极坐标的二重积分公式极坐标的二重积分公式(,)d dDf x yxysin,cosryrxrdrdDrrrrfdd)sin,cos(（一般（一般D为圆域、环域、扇域，为圆域、环域、扇域，或当被积函数为或当被积函数为 形式形式.）22(),()xf xyfy题型题型2.在直角坐标系下二重积分的计算在直角坐标系下二重积分的计算2.将二重积分化为二次积分计算将二重积分化为二次积分计算（一般先对（一般先对r，再对，再对 积分）积分）（1）极点在）极点在D的外部的外部,)()(:21rDDrrrrfdd)sin,cos()()(21d)sin,cos(rrrrfdDo
11、)(1r)(2r)(1ro)(2r0():rD Drrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrfd（2）极点在）极点在D的内部的内部)(rDoyx)(rDoyx20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD（3）极点在）极点在D的内部的内部22d dxyDex y.:222ayxD例例4.计算计算 ，其中，其中(2007-20)计算二重积分计算二重积分 ，其中其中22Dxy dxdy0,2|),(22yxyxyxD(2011-19)计算二重积分计算二重积分 ，其中，其中D是由曲线是由曲线 、直线、直线 及及 轴所围成
12、的平面闭区域轴所围成的平面闭区域.Dydxdyyx 22yxy考点十四、一阶微分方程求解考点十四、一阶微分方程求解一阶微分方程的形式：一阶微分方程的形式：(,)0F x y y 题型题型1.1.可分离变量方程的求解可分离变量方程的求解 ()()g y dyf x dx()()g y dyf x dx()()dyf x g ydx()()dyf x dxg y0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)()(222121()()()()NyMxdydxMyN x 转化转化 两边求两边求不定积分不定积分 （2）解初值问题解初值问题0d)1(d2yxxyx 1)0(y22()()0 xxydxx y
13、y dy例例5.（1）求方程求方程 的通解的通解.(2009-12)微分方程微分方程 的的 通解为通解为_ 0)2()1(2xdyyydxx()d yyfdxx形如 的方程叫做齐次方程齐次方程.（变量替换法）（1）令，则,xyu,yu x,ddddxuxuxy（2）两边积分,得dd()uxf uux（3）积分后再用 代替 u，得原方程的通解.xy解法:代入原方程得d()duuxf ux()dudxf uux分离变量题型题型2.2.齐次方程的求解齐次方程的求解 例例6.解微分方程解微分方程tanyyyxx(2006-17)求微分方程求微分方程 的通解的通解.22yxyyx一阶线性微分方程标准形式
14、:()0d()()()0dq xyp x yq xq xx称为线性齐次微分方程齐次微分方程题型题型3.3.一阶线性微分方程的求解一阶线性微分方程的求解 称为线性非齐次微分方程齐次微分方程d()0dyp x yx1.解线性齐次方程分离变量分离变量d()dyp xxy 通解()dp xxyce两边积分两边积分ln()dlnyp xxC 2.解线性非齐次方程d()()dyp x yq xx()d()p xxyc x e方程通解()?c x把通解 代入原方程y()d()()dp xxc xq x exC解得解得代入代入通解通解故原方程的通解()d()d()dp xxp xxyeq x exC常数变易法
15、例例7.解微分方程解微分方程 2(2)(1)2cos0 xyxyx32(1)(1)1yyxx(2010-24)设函数设函数 满足方程满足方程 ，且，且 ，记由曲线记由曲线 与直线与直线 及及y轴所围平面轴所围平面图形的面积为图形的面积为 ，试求，试求()()2xfxf xe()f x(0)2f()()fxyf x1,(0)yxt t()A tlim()tA t(2007-18)求微分方程求微分方程 满足初始满足初始条件条件 的特解的特解.22007xyxy20081xy(2008-20)求微分方程求微分方程 的通解的通解.22xyyx(2011-24)设函数设函数 满足微分方程满足微分方程 （
16、其中（其中 为正常数），且为正常数），且 ，由曲线，由曲线 与直线与直线 所围成的平面图形记为所围成的平面图形记为D，已知，已知D的面积为的面积为 ，（1 1）求函数）求函数 的表达式；的表达式；（2 2）求平面图形）求平面图形D绕绕 轴旋转一周所形成的旋转体的轴旋转一周所形成的旋转体的体积体积 ；（3）求平面图形求平面图形D绕绕 轴旋转一周所形成的旋转体的轴旋转一周所形成的旋转体的体积体积 .x()f x()2()(1)xfxf xax a(1)1f()(1)yf x x1,0 xy23()f xyxVyV考点十五、二阶微分方程求解考点十五、二阶微分方程求解二阶微分方程的基本形式：降阶法逐次
17、积分(,)0F x y y y 基本解法：1()yf x dxc 第一次积分12()yf x dxc xc 第二次积分1.()yf x 令,)(xpy xpydd 则不含未知函数y2.(,)yf x y(,)pf x p 1()(,)p xx c12(,)yx c dxc令,)(ypy yppydd 则不含自变量x3.(,)yf y y(,)ppf y p 1()(,)p yy c21(,)dyxcy c（2）求解）求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy例例8.2cosxyex（1）求方程）求方程 的解的解.考点十六、二阶常系数线性微分方程求解考点十六、二阶常系数线性微分方程求解题型
18、1.求解二阶常系数线性齐次微分方程),(0为常数qpyqypy 第一步：写出特征方程，求出特征根第一步：写出特征方程，求出特征根02qrpr21,:rr特征根第二步：根据特征根的情况，写出方程的通解第二步：根据特征根的情况，写出方程的通解xrxreCeCy212121rr 实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解根据解的结构定理,其通解为0ypyqy二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性非非齐次微分方程:)(xfyqypy),(为常数qp 是 的已知函数()f xxYy 通解*y 特解 待定系数法题型2.求解二阶常系数线性齐次微分
19、方程1.若不是特征方程的根*()xmyQx e待定系数法待定系数法2.若是特征方程的单根3.若是特征方程的二重根特解形式xmexQxy)(*2*()xmyxQx e()()xmf xeP x设 ，其中 为实数,为 次多项式.)(xPmm 与特征方程的关系 其中 是根据 假设的m次待定系数多项式()mQx()mP x 为特征方程的 k(0,1,2)重根,则设特解为xmkexQxy)(*小结小结例例9.求下列方程的通解求下列方程的通解(1)2331yyyx2(2)56xyyyxe(3)44xyyye(其中 为实数）例例10.已知二阶常微分方程xecybyay 有特解,)1(2xxexey求微分方程
20、的通解.(2010-20)已知函数已知函数 和和 是二阶常系数齐次是二阶常系数齐次线性微分方程线性微分方程 的两个解，试确定常数的两个解，试确定常数的值，并求微分方程的值，并求微分方程 的通解的通解.2xyexye0ypyqy,p qxypyqye(2011-20)已知函数已知函数 是一阶线性微分方程是一阶线性微分方程 的解，求二阶常系数线性微分方程的解，求二阶常系数线性微分方程 的通解的通解.(1)xyxe2()yyf x32()yyyf x(2007-12)设为某二阶常系数齐次线性微分方程设为某二阶常系数齐次线性微分方程 的通解，则该微分方程为的通解，则该微分方程为_.xxeCeCy322
21、1(2009-20)求微分方程求微分方程 的通解的通解.xyy(2008-6)微分方程微分方程 的通解为的通解为()A.B.C.D.123yyy1221xxececy2121xxyc ec e21212xxyc ec e21212xxyc ec e1.向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M,),(zyxM则kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji设点M的坐标为r任意向量 r 可用向径 OM 表示.考点十七、向量的坐标运算考点十七、向量的坐标运算设),(zyxaaaa,),(zyxbbbb 则，为实数2.利用坐标作向量的线性运算利
22、用坐标作向量的线性运算222xyzaaaa（3）向量的模：）向量的模：(,)xyzaaaa（2）向量的数乘：）向量的数乘：(,)xxyyzzabababab（1）向量的加减法：）向量的加减法：yxzxyzbbbbabaaaa（4）两向量平行：）两向量平行：0bacosxxyyzza baba ba ba b（6）两向量数量积（点积）：）两向量数量积（点积）：（5）两向量垂直：）两向量垂直：00 xxyyzzaba ba ba ba b （其中（其中 为向量为向量 的夹角）的夹角）,a b sinabab（7）向量积（叉积）：）向量积（叉积）：xyzxyzijkabaaabbb 的方向按右手法的
23、方向按右手法则垂直于则垂直于 所在平面所在平面.ab,a b cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbbba ba（8）两向量的夹角公式）两向量的夹角公式(2011-9)若若 ，则，则 .1,4,2aba b _a b(2010-10)设设 ，若，若 与与 垂直，垂直，则常数则常数(1,2,3),(2,5,)abkba_k(2009-9)已知向量已知向量 ，则，则 与与 的的夹角为夹角为_ (1,0,1),(1,2,1)ababa(2008-4)设向量设向量 ，则，则 等于等于()A.（2，5，4）B.（2，5，4）C.（2，5，4）D.（2，5，4）(1,2,3),
24、(3,2,4)ab ba(2007-10)已知已知 均为单位向量，且均为单位向量，且 ，则以向，则以向量量 为邻边的平行四边形的面积为为邻边的平行四边形的面积为_ 21ba,a b,a b 考点十八、有关平面方程与空间直线的运算考点十八、有关平面方程与空间直线的运算1.1.平面方程平面方程（1 1）点法式方程点法式方程0)()()(000zzCyyBxxA(,)nA B C为平面的法向量),(0000zyxMzyxo0MnM（2 2）一般式方程一般式方程0DzCyBxA)0(222CBA)1,1,1(1M2(0,1,1)M（2）一平面通过两点一平面通过两点 和和 ，且垂，且垂直于平面直于平面
25、，求其方程，求其方程.:x+y+z=0（3 3）求过点（求过点（1,1,11,1,1）且垂直于二平面）且垂直于二平面 的平面方程的平面方程.7zyx051223zyx（1）求通过求通过 x 轴和点轴和点(4,3,1)的平面方程的平面方程.例例11.2.2.空间直线方程空间直线方程01111DzCyBxA02222DzCyBxA（1 1）一般式方程一般式方程 （2）点向点向式方程式方程mxx0nyy0pzz0为直线的方向向量(,)sm n p),(0000zyxM为直线的点（3）参数式方程参数式方程tmxx0tnyy0tpzz0t为参数两平面两平面交线交线例例1212.用点向式及参数式表示直线1
26、02340 xyzxyz 3.3.线面间的位置关系线面间的位置关系（1）面与面面与面212 0212121CCBBAA12/212121CCBBAA11221nn 21/nn2n1n2n1n1111122222:(,):(,)nABCnA B C 法向量垂直法向量垂直 法向量平行法向量平行 平面法向量平面法向量12LL12/LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss方向向量垂直方向向量垂直 方向向量平行方向向量平行 （2）线与线线与线1111122222:(,):(,)LsmnpLsmnp 直线方向向量直线方向向量（3）线与面线与面L/L0pCnBmApCnBm
27、Ans/ns:(,):(,)nA B CLsm n p直线方向向量直线方向向量平面法向量平面法向量(2011-17)求通过求通过 轴与直线轴与直线 的平面方程的平面方程.x231xyz(2010-17)求通过点求通过点 ，且与直线，且与直线 垂直，又与平面垂直，又与平面 平行的直线的方程平行的直线的方程.23253xtytzt(1,1,1)250 xz(2009-17)求通过直线求通过直线 且垂直于且垂直于平面平面 的平面方程的平面方程.12321xyz02 zyx(2008-17)设平面设平面 经过点经过点 ，求经过点求经过点 且与平面且与平面 垂直的直线方程垂直的直线方程.(2,0,0),
28、(0,3,0),(0,0,5)ABC(1,2,1)P(2007-19)求过点求过点 且垂直于直线且垂直于直线 的平面方程的平面方程.01202zyxzyx(1,2,3)考点十九、判别级数的收敛性考点十九、判别级数的收敛性题型题型1.判别数项级数的敛散性判别数项级数的敛散性1.用级数收敛与发散的定义用级数收敛与发散的定义第一步先求出级数 的部分和 ；第二步再看 是否存在极限，存在即级数收敛.1nnunkknuS1limnnSS（求和：裂项相消法）2.用级数收敛的必要条件判断级数发散用级数收敛的必要条件判断级数发散若级数 收敛，则必有1nnulim0.nnu逆否命题：若 ，则级数 发散.lim0n
29、nu1nnu性质性质1.若级数1nnu收敛于S,1nnuS则各项乘以常数 c 所得级数1nnuc也收敛,即其和为 c S.性质性质2.设有两个收敛级数 与1nnSu1,nnv则级数)(1nnnvu 也收敛,其和为.S3.用级数的基本性质用级数的基本性质性质性质3.在级数前面加上或去掉在级数前面加上或去掉有限项有限项,不会影响级数不会影响级数 的敛散性的敛散性.性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和的和.例例13.判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性.11(2)(1)nn n11(1)lnnnn1111pnppnp 级数级数收敛级数
30、发散1111nnqaqq几何级数级数收敛级数发散调和级数 发散nnn13121111三个常用的级数：题型题型2.判别正项级数的敛散性判别正项级数的敛散性1.正项级数 收敛1nnu部分和序列 有界.nS2.比较判别法比较判别法（调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数）1nnv1nnu0nnukv大的收敛大的收敛小的收敛小的收敛1nnu小的发散小的发散小的发散小的发散1nnv比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式1nnu1nnv00limnnnllulvl 两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散收敛，收敛，收敛收敛1nnu1nnv发散，发散，发散发散比值判别法1nnu设 为正项级数,且1
31、1lim1,()1nnnuu 级数收敛级数收敛级数发散级数发散不能用此法判定不能用此法判定根值判别法1lim1,()1nnnu 级数收敛级数收敛级数发散级数发散不能用此法判定不能用此法判定3.比值判别法与根式判别法比值判别法与根式判别法(中含有阶乘中含有阶乘 、乘幂、多个因子连乘除）、乘幂、多个因子连乘除）nu!n(中含有中含有 次方形式的因子）次方形式的因子）nun必要条件0limnnu不满足发 散满足比值判别法 limn1nunu根值判别法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较判别法用它法判别部分和极限1小结：小结：（2）判别级数判别级数 与与 的敛散性的敛散性.11sinnn211ln
32、(1)nn（1）证明级数证明级数 发散发散.1)1(1nnn例例14.（3）讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性.)0(11xxnnn1.莱布尼兹莱布尼兹判别法判别法01nnuu0limnnu则交错级数 收敛nnnu1)1(题型题型3.判别交错级数的敛散性判别交错级数的敛散性111(1)(1)nnn111(2)(1)(1)!nnn例例15.判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性11(3)(1)10nnnn2.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 ,1收敛若nnu1nnu称绝对收敛,1发散若nnu条件收敛1nnu称设 为收敛级数1nnu例例16.证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛.2411
33、sin(1)(2)(1)nnnnnnne(2009-6)设设 为非零常数，则数项级数为非零常数，则数项级数 （）A.条件收敛条件收敛 B.绝对收敛绝对收敛 C.发散发散 D.敛散性与敛散性与 有关有关12nnanaa(2010-4)下列级数收敛的是下列级数收敛的是()A.B.C.D.2121nnnn11(1)nnn 11nnn212nnn(2007-6)下列级数收敛的是下列级数收敛的是()A.B.C.D.1)1(1nnn11nnn122nnn1)1(nnn(2006-5)设设 为正项级数，如下说法正确的是为正项级数，如下说法正确的是()A.如果如果 ，则，则 必收敛必收敛 B.如果如果 ，则，
34、则 必收敛必收敛C.如果如果 收敛，则收敛，则 必定收敛必定收敛 D.如果如果 收敛，则收敛，则 必定收敛必定收敛1nnu0lim0nnu0lim0nnu1nnu1lim(0)nnnullu 1nnu1nnu21nnu1)1(nnnu1nnu（2005-6）正项级数正项级数 ，则下列说法正，则下列说法正确的是确的是()A.若（若（1）发散、则（）发散、则（2）必发散）必发散 B.若（若（2）收敛、则（）收敛、则（1）必收敛）必收敛C.若（若（1）发散、则（）发散、则（2）不定）不定 D.若（若（1）、（）、（2）敛散性相同）敛散性相同311(1),(2)nnnnuu考点二十、幂级数的收敛域及展
35、开考点二十、幂级数的收敛域及展开题型题型1.求幂级数的收敛域求幂级数的收敛域 1.幂级数的定义幂级数的定义 幂级数的系数00 x 200102000()()()()nnnnnaxxaa xxaxxaxx20120nnnnna xaa xa xa x;1R;R.0R1)当 0 时,2)当 0 时,3)当 时,0nnnxa若 的系数满足,lim1nnnaa则 其中其中R是收敛半径是收敛半径 2.求幂级数收敛域的方法求幂级数收敛域的方法0nnnxa的收敛半径为1limnnnaaR先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.(2009-11)若幂级数若幂级数 的收敛半径为的收敛半径为 ，则常数则常数 _a 12
36、21(0)nnnaxan(2005-12)幂级数幂级数 的收敛区间为的收敛区间为_1)12(nnxn(2004-12)幂级数幂级数 的收敛区间为的收敛区间为_12)1(nnnx(2010-12)幂级数幂级数 的收敛域为的收敛域为_0(1)nnnxn(2008-12)幂函数幂函数 的收敛域为的收敛域为_12nnnnx(2011-12)幂级数幂级数 的收敛域为的收敛域为_01nnxn1.泰勒泰勒(Taylor)级数级数 ()20000000()()()()()()()2!nnfxfxf xfxxxxxxxn为f(x)的泰勒级数泰勒级数.当x0=0 时,泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数.若函数
37、 在 的某邻域内具有任意阶导数,则称 ()f x0 x()2()0(0)(0)()(0)(0)2!(0)!nnnnnfff xffxxxnfxn题型题型2.求函数展开成幂级数求函数展开成幂级数2.直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知,展开成幂级数的步函数)(xf第一步 求函数及其各阶导数在 x=0 处的值;第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;第三步 判别在收敛区间(R,R)内)(limxRnn是否为0骤如下:xe),(x)1(lnx(1,1x 201111!2!nnnxxxxnn 123410(1)111(1)12341nnnnnxxxxxxnnx11230(1)1(1),nnn
38、nnxxxxx )1,1(x11x2301,nnnxxxxx)1,1(x21357210(1)(1)(21)!3!5!7!(21)!nnnnnxxxxxxnn xsinxcos224620(1)1(1)(2)!2!4!6!(2)!nnnnnxxxxxnn ),(x),(x3.间接展开法间接展开法211x方法：方法：利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质质,将所给函数展开成幂级数将所给函数展开成幂级数.例例17.将函数将函数 展开成展开成x的幂级数的幂级数.(2011-6)若函数若函数 的幂级数展开式的幂级数展开式为为 ，则系数，则系数1()2f xx0()(22)nnnf xa xx na 1111(1)(1).2222nnnnnnABCD(2006-18)将函数将函数 展开为展开为 的幂函数的幂函数 （要求指出收敛区间）（要求指出收敛区间）.)1ln()(xxfx(2004-20)把函数把函数 展开为展开为 的幂级数，的幂级数，并写出它的收敛区间并写出它的收敛区间.21)(xxf2x
