1、第第 3 讲讲 平面向量的数量积及应用平面向量的数量积及应用 考纲展示 考纲解读 1. 平面向量的数量积 ( 1) 理解平面向量数量积的含义及其 物理意义. ( 2) 了解平面向量的数量积与向量投 影的关系. ( 3)掌握数量积的坐标表达式,会进 行平面向量数量积的运算. ( 4) 能运用数量积表示两个向量的夹 角,会用数量积判断两个平面向量 的垂直关系. 2. 向量的应用 ( 1) 会用向量方法解决某些简单的平 面几何问题. ( 2) 会用向量方法解决简单的力学问 题和其他一些实际问题. 1. 平面向量数量积的运算、化简、证明 问题以及数量积的应用,如证平行、垂 直,求夹角、向量的模等问题是
2、每年必 考内容,单独命题时,主要考查向量的运 算及性质. 2. 高考中与向量有关的解答题均与其他 章节相结合( 如解析几何、三角函数、 平面几何) 考查,重在考查向量的工具性 作用.向量作为一项工具与其他知识交 汇已成为高考命题的一种趋势,考查力 度正在逐渐增强. 3. 题型上多以选择题、填空题的形式出 现, 难度适中, 但灵活多变. 精品PPT 1.平面向量的数量积 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 ,则数量|a| |b|cos 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a b=|a|b| cos . 规定:零向量与任一向量的数量积为 0. 两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条
3、件是 a b=0,两非零向量 a 与 b 平行 的充要条件是 a b= |a|b|. 2.平面向量数量积的几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的投影|b|cos 的乘积( 为 向量 a 与 b 的夹角). 3.平面向量数量积的重要性质 (1)e a=a e=|a|cos ( 为向量 a 与单位向量 e 的夹角); (2)非零向量 a,b,若 ab,则 a b=0; (3)当 a 与 b 同向时,a b=|a|b|, 当 a 与 b 反向时,a b=-|a|b|, a a=a2,|a|= aa; (4)cos =ab |a|b| ( 为向量 a 与 b 的夹角)
4、; (5)|a b|a|b|. 4.平面向量数量积满足的运算律 (1)a b=b a(交换律); (2)(a) b=a b=a b(为实数); (3)(a+b) c=a c+b c. 5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a b=x1x2+y1y2,由此得到 (1)若 a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|= x2+ y2. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点间的距离|AB |= (x1-x2)2 + (y1-y2)2. (3)设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 abx1x2+y1y2=0. 6
5、.向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决 平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题. (1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线向量定 理:aba=b(b0)x1y2-x2y1=0. (2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质 aba b=0(a0,b0)x1x2+y1y2=0. (3)求夹角问题,利用夹角公式 cos =ab |a|b| = x1x2+y1y2 x1 2+y 1 2 x22+y 2 2( 为 a 与 b 的夹角). 7.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成
6、与向 量的加法和减法相似,可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量,这是力 F 与位移 s 的数量积.即 W=F s=|F|s|cos ( 为 F 与 s 的夹角). 1.已知|a|=4,|b|=3,a 与 b 的夹角为 120 ,则 b 在 a 方向上的投影为( ) A.2 B.3 2 C.-2 D.-3 2 【答案】D 【解析】b 在 a 方向上的投影为|b|cos =3cos 120 =-3 2. 2.已知|a|=3,|b|=2,若 a b=-3,则 a 与 b 的夹角为( ) A. 3 B. 4 C.2 3 D.3 4 【答案】C 【解析】设 a 与 b 的夹角为 ,则
7、cos =ab |a|b| = -3 32=- 1 2. 又 0, =2 3 . 3.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|等于( ) A.1 B. 2 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 |a-b|2=a2-2ab+b2=4, ab=1 2. 而|a+b|2=a2+2ab+b2=6, |a+b|= 6. 4.已知|a|=3,|b|=2,=60 ,如果(3a+5b)(ma-b),则 m 的值为( ) A.32 23 B.23 42 C.29 42 D.42 23 【答案】C 【解析】(3a+5b)(ma-b)=0,即 3ma2+(5m-3)ab-5b2
8、=0 3m32+(5m-3)3 2cos 60 -5 22=0,解得 m=29 42. 5.(2012武汉联考)平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满 足OP OA =4,则点 P 的轨迹方程是 . 【答案】 x+2y-4=0 【解析】由OP OA =4,得(x,y)(1,2)=4,即 x+2y=4. T题型一题型一数数 量积的基本运算量积的基本运算 例 1(2012天津卷,7)已知ABC 为等边三角形,AB=2.设点 P,Q 满足AP =AB ,AQ =(1-)AC ,R.若BQ CP =-3 2,则 =( ) A.1 2 B.1 2 2 C.1 10 2 D
9、.-32 2 2 利用数量积的定义,把夹角和模代入,通过解方程的手段求 解. 【答案】A 【解析】 设AB =a,AC =b, 则|a|=|b|=2,且= 3. BQ = AQ AB =(1-)b-a,CP = AP AC =a-b. BQ CP =(1-)b-a(a-b)=(1-)+1ab-a2-(1-)b2 =(-2+1) 2-4-4(1-)=-22+2-2=-3 2. 即(2-1)2=0, =1 2. 向量的数量积的运算律类似于多项式乘法法则,但并不是所有乘 法法则都可以推广到向量数量积的运算,如(a b)ca(b c). 1.(2012辽宁卷,1)已知向量 a=(1,-1),b=(2,
10、x).若 a b=1,则 x=( ) A.-1 B.-1 2 C.1 2 D.1 【答案】D 【解析】由 ab=1,得 12-1x=1, 解得 x=1,故选 D. T题型二题型二利利 用数量积解决模的用数量积解决模的问题问题 例 2已知|a|=3,|b|=4,a 与 b 的夹角为3 4 ,求: (1)(3a-2b) (a-2b); (2)|a+b|. 利用平面向量数量积的定义及运算律,可求出(1);求|a+b|可 先求(a+b)2,再开方,即可求出(2). 【解】(1) ab=|a|b|cos3 4 =3 4 - 2 2 =-6 2, a2=9,b2=16, (3a-2b)(a-2b)=3a2
11、-8ab+4b2 =3 9-8 (-6 2)+64=91+48 2. (2)|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2 =9+2 (-6 2)+16=25-12 2, |a+b|= 25-12 2. 利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握 此类问题的处理方法: (1)|a|2=a2=a a; (2)|a b|2=a2 2a b+b2; (3)若 a=(x,y),则|a|= x2+ y2. 2.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120 . 求:(1)|a+b|;(2)|4a-2b|. 【解】由已知,ab=48 - 1 2 =-16. (1) |a+b|2=a2+2a
12、b+b2 =16+2 (-16)+64=48, |a+b|=4 3. (2) |4a-2b|2=16a2-16ab+4b2 =16 16-16 (-16)+4 64 =3 162, |4a-2b|=16 3. T题型三题型三利利 用数量积解决夹角问题用数量积解决夹角问题 例 3已知|a|= 2,|b|=1,a 与 b 的夹角为 45 ,求使向量(2a+b)与 (a-3b)的夹角是锐角的 的取值范围. 要使向量(2a+b)与(a-3b)的夹角为锐角,只需夹角的余弦 值大于零且不等于 1 即可. 【解】由|a|= 2,|b|=1,a 与 b 的夹角为 45 , 得 ab=|a|b|cos 45 =
13、 2 1 2 2 =1. 而(2a+b)(a-3b)=2a2-6ab+2ab-3b2=2+-6. 设向量(2a+b)与(a-3b)的夹角为 , 则 cos =(2a+b)(a-3b) |2a+b|a-3b| 0, 且 cos 1. 由(2a+b)(a-3b)0 得 2+-60. 2或 0), 2 = k, = -3k, 解得 k2=-2 3. 故使向量 2a+b 和 a-3b 夹角为 0 的 不存在. 当 2或 0). 利用向量的运算求轨迹要理解解析几何关系与向量表 示的内在联系,正确理解向量条件是解题的基础. 向量的坐标表示,使向量成为解决解析几何问题的有利工具,对于证明 垂直、 求夹角、
14、写直线方程等问题显示出了它的优越性,在处理解析几何问 题时,需要将向量用点的坐标表示,利用向量的有关法则、性质列出方程,从 而使问题解决. 1.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=4,且 a b=2,则 a 与 b 的夹角为( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】cos=ab |a|b| = 2 14 = 1 2. 0, a 与 b 的夹角为 3. 2.对于向量 a,b,c 和实数 ,下列命题中真命题是( ) A.若 a b=0,则 a=0 或 b=0 B.若 a=0,则 =0 或 a=0 C.若 a2=b2,则 a=b 或 a=-b D.若 a b=a c,
15、则 b=c 【答案】B 【解析】排除法.A中 ab=0,还可能有 ab;C中 a2=b2a2-b2=0(a+b) (a-b)=0,此时若 a 与 b 的模相等或 a+b 与 a-b 互相垂直即可;D中 ab= aca(b-c)=0,a=0 或 b=c 或 a(b-c). 3.已知向量 a=(-2,2),b=(5,k),若|a+b|不超过 5,则 k 的取值范围是( ) A.-4,6 B.-6,4 C.-6,2 D.-2,6 【答案】C 【解析】a=(-2,2),b=(5,k), 故 a+b=(3,2+k). |a+b|5, |a+b|2=(a+b)2=32+(2+k)225. -6k2. 4. 已知两点 F1(-3, 0), F2(3, 0), 且点 P使F1P 2+F2P 2=36, 则点 P( x, y) 的轨迹方程 是 . 【答案】x 2+y2=9 【解析】设 P( x, y), 则有F1P =(x+3, y), F2P =(x-3, y), 由题意可得, (x+3) 2+y2+(x-3)2+y2=36. 故 x 2+y2=9.
