1、 学案学案2 两直线的交点坐标与两直线的交点坐标与 距离公式距离公式 考点考点1 考点考点2 填填知学情填填知学情 课内考点突破课内考点突破 规规 律律 探探 究究 考考 纲纲 解解 读读 考考 向向 预预 测测 考点考点3 考点考点4 返回目录返回目录 考考 纲纲 解解 读读 两直线的 交点与距 离公式 1.能用解方程组的方法求两条相 交直线的交点坐标. 2.掌握两点间的距离公式、点到 直线的距离公式，会求两条平 行直线间的距离. 1.图片对齐 在我们插入PPT图片或是输入文字的时候，为了整齐都需要将插入的文本框对齐 ，但是又不想一个一个的进行操作，这时按住Ctrl键将需要进行对齐的文本选中
2、 ，点击开始排列对齐垂直居中即可； 2.巧用格式刷 在制作PPT的时候为了保证PPT风格的统一，很多任通常会使用复制粘贴来确保 每一页PPT格式相同，这样对于少页数来说可以进行操作，但是碎玉多页面的话 就有点麻烦了，其实我们可以巧用格式刷：首先，在开始菜单栏下方有一个格式 刷，点击格式刷，很快就能看到效果； 3.去除所有动画效果 很多人在制作PPT的时候都是直接在模板库里下载模板进行使用的，但是下载的 模板大多数都是有幻灯片的，这样在演讲的时候很不方便，怎样将其进行去除呢 ？单击幻灯片放映选择设置幻灯片放映，放映类型选择演讲者放映；换片方式 选择手动即可； 4.PPT快键 PPT逼格提升技巧逼
3、格提升技巧 考考 向向 预预 测测 从近两年的高考试题来看，两条直线的位置关系、从近两年的高考试题来看，两条直线的位置关系、 两条直线的平行与垂直、点到直线的距离、两条平行两条直线的平行与垂直、点到直线的距离、两条平行 线间的距离、两点间的距离是高考的热点，题型既有线间的距离、两点间的距离是高考的热点，题型既有 选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档题选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档题.客客 观题主要考查距离公式的应用；主观题主要是在知识观题主要考查距离公式的应用；主观题主要是在知识 交汇点处命题，全面考查基本概念、基本运算能力交汇点处命题，全面考查基本概念、基本运算能力. 预测
4、预测2012年高考仍将以点到直线的距离、两点间年高考仍将以点到直线的距离、两点间 的距离、两条直线的平行与垂直为主要考点，题型以的距离、两条直线的平行与垂直为主要考点，题型以 选择题、填空题为主，重点考查运算能力与对概念的选择题、填空题为主，重点考查运算能力与对概念的 理解能力理解能力. 返回目录返回目录 返回目录返回目录 1、两直线的交点 已知两条直线已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与与 l2:A2x+B2y+C2=0的交点坐标对应的是方程组的交点坐标对应的是方程组 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 的解，的解， 其中当其中当A1B2-A2B10时时,两条直线两条
5、直线 ， 当当A1B2-A2B1=0且且A1C2-A2C10（或（或B1C2-B2C10）时）时, 两条直线无交点两条直线无交点,即即 ，当，当A1B2-A2B1=0且且 A1C2-A2C1=0(或或B1C2-B2C1=0)时时,两条直线有无数个公共两条直线有无数个公共 点点,即即 . 2、距离公式 (1)两点间的距离两点间的距离 平面上两点平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离间的距离 |P1P2|= . (2)点到直线的距离点到直线的距离 平面上一点平面上一点P(x1,y1)到一条直线到一条直线l:Ax+By+C=0的距离的距离 d= . 返回目录返回目录 相交于一点相交
6、于一点 平行平行 2 12 2 12 )y-(y)x-(x+ 22 00 BA |CByAx| + + 重合重合 返回目录返回目录 (3)(3)两平行线的距离两平行线的距离 若若l1,l2是平行线，求是平行线，求l1,l2距离的方法：距离的方法： 求一条直线上一点到另一条直线的距离求一条直线上一点到另一条直线的距离. 设设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则则 d= . 22 21 BA C-C + 返回目录返回目录 一条直线过点一条直线过点P(1,2)且被两条平行直线且被两条平行直线4x+3y+1=0和和 4x+3y+6=0截取的线段长为截取的线段长为 ，求这条直线的方
7、程，求这条直线的方程. 【分析】【分析】确定一条直线需两个独立条件，本题中已确定一条直线需两个独立条件，本题中已 知直线知直线l过点过点P（1，2），故只需再求出直线的斜率即），故只需再求出直线的斜率即 可可. 考点考点1 两直线交点问题两直线交点问题 2 返回目录返回目录 【解析解析】（1）当斜率不存在时，直线方程为）当斜率不存在时，直线方程为x=1,与两与两 直线的交点为直线的交点为A(1, ),B(1, ), |AB|= .x=1不是所求直线不是所求直线. (2)当斜率存在时当斜率存在时,设为设为k,则所求直线的方程为则所求直线的方程为y-2=k(x- 1),它与两已知直线分别联立它与两
8、已知直线分别联立,求出它与两已知直线的交求出它与两已知直线的交 点坐标分别是点坐标分别是 A( , )，B( , ). 由由|AB|2= =2, 得得k=7或或k=- . 故所求直线的方程为故所求直线的方程为x+7y-15=0或或7x-y-5=0. 3 5 2 3 5 3 10 3 5 43k 7k3 7 1 22 43k 5k 43k 5 3 10 43k 8k5 43k 12k3 43k k108 返回目录返回目录 求与已知两直线的交点有关问题，可有以下两种求与已知两直线的交点有关问题，可有以下两种 解法：解法： （1）先求出两直线交点，将问题转化为过定点的）先求出两直线交点，将问题转化为
9、过定点的 直线，然后再依其他条件求解直线，然后再依其他条件求解. （2）运用过两直线交点的直线系方程：若两直线）运用过两直线交点的直线系方程：若两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0有交点，则过有交点，则过l1与与l2 交点的直线系方程为交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(为待定常数，不包为待定常数，不包 括直线括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解，设出方程后再利用其他条件求解. 求经过直线求经过直线l1:3x+2y-1=0和和l2:5x+2y+1=0的交点的交点,且垂且垂 直于直线直于直线l3:3x-5y+6=0的直线
10、的直线l的方程的方程. 返回目录返回目录 3x+2y-1=0 5x+2y+1=0, 得得l1,l2的交点的交点(-1,2),再由再由l3的斜率为的斜率为 求出求出l的斜率为的斜率为- , 于是由直线的点斜式方程求出于是由直线的点斜式方程求出l:y-2=- (x+1),即即5x+3y- 1=0. 【解析解析】解法一解法一:先解方程组先解方程组 5 3 3 5 3 5 解法二解法二:ll3,故故l是直线系是直线系5x+3y+C=0中的一条中的一条 直线直线,而而l过过l1,l2的交点的交点(-1,2),故故5(-1)+32+C=0,由此由此 求出求出C=-1.故故l的方程为的方程为5x+3y-1=
11、0. 解法三解法三:l过过l1,l2的交点的交点,故故l是直线系是直线系3x+2y- 1+(5x+2y+1)=0中的一条中的一条,将其整理将其整理,得得 (3+5)x+(2+2)y+(-1+)=0. 其斜率其斜率 解得解得= ,代入直线系方程即得代入直线系方程即得l的方程为的方程为5x+3y-1=0. 返回目录返回目录 3 5 22 53 5 1 返回目录返回目录 已知点已知点P（2，-1）. （1）求过）求过P点且与原点距离为点且与原点距离为2的直线的直线l的方程；的方程； （2）求过）求过P点且与原点距离最大的直线点且与原点距离最大的直线l的方程，最大的方程，最大 距离是多少？距离是多少？
12、 考点考点2 距离问题距离问题 【分析】【分析】设出直线方程，利用点到直线距离公式求系设出直线方程，利用点到直线距离公式求系 数即可数即可. 【解析解析】（1）当）当l的斜率的斜率k不存在时显然成立，不存在时显然成立， l的方程为的方程为x=2; 当当l的斜率的斜率k存在时，存在时， 设设l:y+1=k(x-2)，即，即kx-y-2k-1=0. 由点到直线距离公式得由点到直线距离公式得 , k= ,l:3x-4y-10=0. 故所求故所求l的方程为的方程为x=2或或3x-4y-10=0. (2)作图可得过作图可得过P点与原点点与原点O距离最大的直线是过距离最大的直线是过P点且与点且与 PO垂直
13、的直线，由垂直的直线，由lOP，得，得k1kOP=-1, 所以所以kl= . 由直线方程的点斜式得由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即即2x-y-5=0. 即直线即直线2x-y-5=0是过是过P点且与原点点且与原点O距离最大的直线，最大距离最大的直线，最大 距离为距离为 =5. 返回目录返回目录 2 k1 1k2 2 4 3 2 k 1 op 5 5 返回目录返回目录 （1）点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式）点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式 是常用的公式，应熟练掌握是常用的公式，应熟练掌握. （2）点到几种特殊直线的距离：）点到几种特殊直线的距离： 点点P(x0,y0)
14、到到x轴的距离轴的距离d=|y0|. 点点P(x0,y0)到到y轴的距离轴的距离d=|x0|. 点点P(x0,y0)到与到与x轴平行的直线轴平行的直线y=a的距离的距离d=|y0-a|. 点点P(x0,y0)到与到与y轴平行的直线轴平行的直线x=b的距离的距离d=|x0-b|. 返回目录返回目录 解法一解法一:设直线设直线l的方程为的方程为y-2=k(x+1), 即即kx-y+k+2=0.由题意知由题意知 即即|3k-1|=|-3k-3|,k=- . 直线直线l的方程为的方程为y-2=- (x+1), 即即x+3y-5=0. 当直线当直线l的斜率不存在时，直线方程为的斜率不存在时，直线方程为x
15、=-1，也符合题意，也符合题意. 求过点求过点P（-1，2）且与点）且与点A（2，3）和）和B（-4，5）距离）距离 相等的直线相等的直线l的方程的方程. 1k |2k5-4k| 1k |2k3-2k| 22 + + = + + 3 1 3 1 解法二解法二:当当ABl时时,有有k=kAB=- ，直线，直线l的方程为的方程为y-2= - (x+1),即即x+3y-5=0. 当当l过过AB的中点时，的中点时，AB中点坐标为中点坐标为 （-1,2）, 直线直线AB的方程为的方程为x=-1. 故所求直线故所求直线l的方程为的方程为x+3y-5=0或或x=-1. 返回目录返回目录 3 1 3 1 返回
16、目录返回目录 求直线求直线l1:y=2x+3关于直线关于直线l:y=x+1对称的直线对称的直线l2的方程的方程. 考点考点3 对称问题对称问题 【分析分析】转化为点关于直线的对称转化为点关于直线的对称,利用方程组求解利用方程组求解. y=2x+3 y=x+1 (-2,-1),在在l1上任取一点上任取一点A(0,3),则则A关于直线关于直线l的对称点的对称点 =-1 x1=2 y1=1, 即即B(2,1). l2的方程为的方程为y-1= (x-2),即即x-2y=0. 返回目录返回目录 得直线得直线l1与与l2的交点坐标为的交点坐标为 【解析解析】解法一解法一:由由 B(x1,y1)一定在一定在
17、l2上上,由由 得得 1 1 x 3-y 1 2 x 2 3y 11 += + 22 11 + + 解法二解法二:设所求直线上一点设所求直线上一点P(x,y), 则在直线则在直线l1上必存在一点上必存在一点P1(x0,y0)与点与点P关于直线关于直线l对称对称. 由题设由题设:直线直线PP1与直线与直线l垂直垂直,且线段且线段PP1的中点的中点 P2( )在直线在直线l上上. 1=-1 x0=y-1 , y0=x+1, 代入直线代入直线l1:y=2x+3得得x+1=2(y-1)+3, 整理得整理得x-2y=0. 所求直线方程为所求直线方程为x-2y=0. 返回目录返回目录 2 yy , 2 x
18、x 00 + x-x y-y 0 0 1 2 xx 2 yy 00 + + = + 变形得变形得 y=2x+3 y=x+1 设直线设直线l2的方程为的方程为y+1=k(x+2), 即即kx-y+2k-1=0. 在直线在直线l上任取一点上任取一点(1,2), 由题设知点由题设知点(1,2)到直线到直线l1,l2的距离相等的距离相等, 由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得 解得解得k= (k=2舍去舍去),直线直线l2的方程为的方程为x-2y=0. 返回目录返回目录 解法三解法三: 由由 , (-1)2 |32-2| k1 | 1-2k2-k| 2222 + + = + + 2 1 知直线
19、知直线l1与与l的交点坐标为的交点坐标为(-2,-1), 返回目录返回目录 1.中心对称中心对称 （1）若点）若点M(x1,y1)及及N(x,y)关于关于P(a,b)对称，则由中点对称，则由中点 x=2a-x1 y=2b-y1. （2）直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上）直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上 取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的 两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对 称点，再利用称点，再利用l1l2，由点斜式得到所求直线的方程，由点斜式得到所
20、求直线的方程. 坐标公式得坐标公式得 2.轴对称轴对称 （1）点关于直线的对称）点关于直线的对称 若两点若两点P1(x1,y1)与与P2(x2,y2)关于直线关于直线l:Ax+By+C=0 对称，则线段对称，则线段P1P2的中点在对称轴的中点在对称轴l上，而且连接上，而且连接P1P2 的直线垂直于对称轴的直线垂直于对称轴l，由方程组，由方程组 A +B +C=0 =-1, 可得到点可得到点P1关于关于l对称的点对称的点P2的坐标的坐标(x2,y2)(其中其中B 0,x1x2). 返回目录返回目录 2 xx 21 2 yy 21 B A xx yy 12 12 (2)直线关于直线的对称直线关于直
21、线的对称 此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决，此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决， 若已知直线若已知直线l1与对称轴与对称轴l相交，则交点必在与相交，则交点必在与l1对称的直对称的直 线线l2上，然后再求出上，然后再求出l1上任一个已知点上任一个已知点P1关于对称轴关于对称轴l对对 称的点称的点P2，那么经过交点及点，那么经过交点及点P2的直线就是的直线就是l2;若已知若已知 直线直线l1与对称轴与对称轴l平行，则与平行，则与l1对称的直线和对称的直线和l1到直线到直线l的的 距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即 可求出可求出
22、l1的对称直线的对称直线. 返回目录返回目录 返回目录返回目录 已知直线已知直线l:2x-3y+1=0，点，点A(-1,-2)，求：，求： （1）点）点A关于直线关于直线l的对称点的对称点A的坐标；的坐标； （2）直线）直线m:3x-2y-6=0关于直线关于直线l的对称直线的对称直线m的方程的方程. 【解析】【解析】 （1）设）设A(x,y)，再由已知，再由已知 解得解得 返回目录返回目录 13 4 , 13 33 A 01 2 2y 3 2 1x 2 1 3 2 1x 2y 13 4 y 13 33 x (2)在直线在直线m上取一点如上取一点如M（2，0），则），则M（2，0）关）关 于直线
23、于直线l的对称点必在的对称点必在m上，设对称点为上，设对称点为M(a,b)， 2x-3y+1=0 3x-2y-6=0, 得得N（4，3）. 又又m经过点经过点N（4，3），）， 方程为方程为9x-46y+102=0. 返回目录返回目录 13 30 , 13 6 M 1 3 2 2a 0b 01 2 0b 3 2 2a 2 则则 设设m与与l的交点为的交点为N，由，由 考点考点4 直线中的最值问题直线中的最值问题 在直线在直线l:3x-y-1=0上求一点上求一点P,使得使得: (1)P到到A(4,1)和和B(0,4)的距离之差最大的距离之差最大; (2)P到到A(4,1)和和C(3,4)的距离之
24、和最小的距离之和最小. 返回目录返回目录 【分析分析】设设B关于关于l的对称点为的对称点为B,AB与与l的交点的交点P满满 足（足（1）;C关于关于l的对称点为的对称点为C,AC与与l 的交点的交点Q满足满足(2).事事 实上实上,对于对于(1),若若P是是l上异于上异于P的点的点,则则 |PA|-|PB|=|PA|-|PB|AC|=|QA|+|QC|. 返回目录返回目录 【解析解析】 (1)如图所示如图所示,设点设点B关于关于l的对称点的对称点B的坐标的坐标 为为(a,b),则则kBB kl=-1,即即3 =-1.a+3b-12=0 又由于线段又由于线段BB的中点坐标为的中点坐标为( , )
25、,且在直线且在直线l上上, 3 - -1=0.即即3a-b-6=0 解得解得a=3,b=3,B(3,3). 于是于是AB的方程为的方程为 , 即即2x+y-9=0. 3x-y-1=0 x=2 2x+y-9=0, y=5, 即即l与与AB的交点坐标为的交点坐标为P（2，5）. 返回目录返回目录 a 4-b a 4-b 2 2 a 4-b 4-3 4-x 1-3 1-y = 解解 得得 (2)如图所示如图所示,设设C关于关于l的对称点为的对称点为C,求出求出C的坐标为的坐标为 ( ). AC所在直线的方程为所在直线的方程为19x+17y-93=0, AC和和l交点坐标为交点坐标为( ), 则则P点
26、坐标为点坐标为( ) . 返回目录返回目录 5 24 , 5 3 7 26 , 7 11 7 26 , 7 11 两点两点A,B在直线在直线l的异侧，可在的异侧，可在l上找一点上找一点M使使|MA|- |MB|为最大为最大.方法是可先求出点方法是可先求出点A（或（或B）关于直线）关于直线l的对的对 称点称点A(或或B），连接），连接AB（或（或AB），设它与），设它与l的交点为的交点为M， 则则M为所求为所求. 在直线在直线l上找一点上找一点P到两定点到两定点A,B距离之和最小，则距离之和最小，则P 必在线段必在线段AB上，故将上，故将l同侧的点利用对称转化为异侧的点；同侧的点利用对称转化为异
27、侧的点； 若到两定点若到两定点A,B的距离之差最大，则的距离之差最大，则P必定在必定在AB的延长的延长 线上，或线上，或BA的延长线上，故将的延长线上，故将l异侧的点利用对称性变为异侧的点利用对称性变为 同侧的点同侧的点. 对称是数学学科的一个重要专题，巧用对称思想解对称是数学学科的一个重要专题，巧用对称思想解 题往往使问题能得到快速、简捷的解答题往往使问题能得到快速、简捷的解答. 返回目录返回目录 设点设点A(-3,5)和和B(2,15),在直线在直线l:3x-4y+4=0上上,找一点找一点P, 使使|PA|+|PB|为最小为最小,并求这个最小值并求这个最小值. 返回目录返回目录 设点设点A
28、关于直线关于直线l的对称点的对称点A的坐标为（的坐标为（a，b），）， 则由则由AAl和和AA被被l平分，平分， , , 解之得解之得a=3，b=-3，点点A的坐标为（的坐标为（3，-3）, (|PA|+|PB|)min=|AB|= . kAB= =-18, 直线直线AB的方程为的方程为y+3=-18（x-3）. 3x-4y+4=0， y+3=-18（x-3），）， 返回目录返回目录 -1 4 3 3a 5-b = + 04 2 5b 4- 2 3-a 3=+ + 得得 13515)-(-32)-(3 22 =+ 3-2 315+ 解方程组解方程组 解之得解之得P( ，3). 3 8 返回目录
29、返回目录 （1）对称思想）对称思想 在解答解析几何问题时，常常需要对图形的几何性质在解答解析几何问题时，常常需要对图形的几何性质 进行深入探讨，对具有对称性质的图形或能构造对称进行深入探讨，对具有对称性质的图形或能构造对称 图形的，均可利用其性质作转化图形的，均可利用其性质作转化. （2）数形结合的思想）数形结合的思想 在平面解析几何中，几何图形的性质可通过对应的方在平面解析几何中，几何图形的性质可通过对应的方 程采用代数的方法来研究，而已知的方程或某些函数程采用代数的方法来研究，而已知的方程或某些函数 解析式也体现了形的性质，通过图形直观地确定解题解析式也体现了形的性质，通过图形直观地确定解题 思路思路.
