1、 【冲刺十套】【冲刺十套】 2020 年高考名校考前仿真模拟年高考名校考前仿真模拟 卷卷 理理 科科 数数 学（五）学（五） 注意事项：注意事项： 1、本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务 必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2、回答第卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3、回答第卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出
2、的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1设集合 (1)(2)0Axxx，12Bxx ，则（ ） A 12ABxx B04ABxx C 02ABxx D12ABxx 2复数 2i 1i 在复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3函数2sin(2 ) 2 yx是（ ） A周期为的奇函数 B周期为的偶函数 C周期为2的奇函数 D周期为2的偶函数 4函数 2 3 ln(1) ( ) x f x x 的大致图象是（ ） A B C D 5已知双曲线 22 22 :10,0a xy C ab b的左、右焦点分
3、别为 12 ,F F，实轴端点分别为 12 ,A A， 点P是双曲线C上不同于 12 ,A A的任意一点， 12 PFF与 12 PA A的面积比为2:1， 则双曲线C的渐近线方程为（ ） A 3yx B2yx C 3yx Dy x 6对任意 2 kkZ，若 2222 sintansintan，则实数 （ ） A2 B0 C1 D2 7 德国数学家莱布尼兹 （1646年1716年） 于1674年得到了第一个关于的级数展开式， 该公式于明朝初年传入我国在我国科技水平业已落后的情况下，我国数学家、天文学家明 安图（1692年1765年）为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历 时
4、近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数 的6个新级数公式，著有割圆密率捷法一书，为我国用级数计算开创了先河如图所 示的程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开式”计算的近似值（其中P表示的近 似值） ，若输入10n ，则输出的结果是（ ） A 1111 4(1) 35717 P B 1111 4(1) 35719 P C 1111 4(1) 35721 P D 1111 4(1) 35721 P 8 6 31 1xx x 的展开式中的常数项等于（ ） A65 B45 C20 D25 9在正方体 1111 ABCDABC D中，P是 1 BC的中点，则异面直
5、线 1 AB与DP所成角的余 弦值 为（ ） A0 B 3 12 C 3 6 D 33 6 10在ABC中，22ABAC ，,P Q为线段BC上的点，且BPPQQC 若 5 9 AP AQ，则BAC（ ） A150 B120 C60 D30 11 在ABC中， 内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c， 已知3 cos 3 sin0aBbA ，7b， 5c ，则ABC的面积为（ ） A15 3 4 B15 3 2 C15 3 D20 3 12若函数 2x exf xa恰有两个零点，则实数a的值为（ ） A 4 16 e B 3 9 e C 2 4 e De 第第卷卷 二、填空题：本大
6、题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13甲、乙两支足球队进行一场比赛，, ,A B C三位球迷赛前在一起聊天A说：“甲队一 定获胜”B说：“甲队不可能输”C说：“乙队一定获胜”比赛结束后，发现三人中只有 一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是_ （填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个） 14公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究“完全数”的人完全数是一种特殊的自然数，它 所有的真因子 （即除了自身以外的约数） 的和恰好等于它本身 若从集合1,6,24,28,36中 随机抽取两个数，则这两个数中有完全数的概率是_ 15往一球型容器注入 3 13 cm 6 的水，测得水面
7、圆的直径为4 cm，水深为1cm，若以 3 cm / 6 s 的速度往该容器继续注水， 当再次测得水面圆的直径为4 cm时， 则需经过_ s 16 已知斜率存在的直线l交抛物线 2 :4C yx于 ,A B两点， 点1,0D ， 若0 A DB D kk ， 则直线l恒过的定点是_ 三、解答题：本三、解答题：本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤 17 （12 分）已知数列 n a满足 44442 123 1 (41) 3 n aaaann （1）证明：数列 2 n a为等差数列； （2）设 2 (1
8、3 ) n nn ba，求数列 n b的前n项和 n T 18 （12 分）如图，在三棱锥ABCD中，BDBC，2BDBC，5ABAD， 二面角A BD C的大小为 120 ，点E在棱AC上，且2CEEA，点G为BCD的重 心 （1）证明：/GE平面ABD； （2）求二面角BACD的正弦值 19 （12 分）甲市有2万名高三学生参加了大联考，根据学生数学成绩（满分：150分）的 大数据分析可知，本次数学成绩X服从正态分布，即 2 ,XN ，且 1350.00135P X ，950.15865P X （1）求，的值； （2）现从甲市参加此次联考的高三学生中，随机抽取300名学生进行问卷调查，其中
9、数学 成绩高于125分的人数为Y，求 E Y； （3）与甲市相邻的乙市也有2万名高三学生参加了此次联考，且其数学成绩Z服从正态分 布108,36N某高校规定此次联考数学成绩高于120分的学生可参加自主招生考试，则 甲和乙哪个城市能够参加自主招生考试的学生更多？ 附：若随机变量 2 ,N ，则0.6827P， 220.9545P，330.9973P 20 （12 分）椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 将圆 22 8 : 5 O xy的圆周分为四等份，且椭 圆C的离心率为 3 2 （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l与椭圆C交于不同的两点,M N，且MN的中点为 0 1 , 4 P
10、x ，线段MN的 垂直平分线为 l ，直线 l 与x轴交于点,0Q m，求m的取值范围 21 （12 分）已知函数 sin 1ln 2 b f xaxxx （1）设函数 sin 1h xf xax，讨论 h x的单调性； （2）当 1 2 a 时，若存在 1 x， 2 0,1x ， 12 xx，使 12 f xf x，证明： 12 12 lnln xx b xx 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
11、3cos 3sin x y ， （为参数） 以坐标原点 为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l经过点2, 3 A ，且与极轴所成的角为 （1）求曲线C的普通方程及直线l的参数方程； （2）设直线l与曲线C交于,D E两点，若2 6ADAE，求直线l的普通方程 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知存在 0 x R，使得 00 4xaxb， , a b R （1）求a b的取值范围； （2）证明： 44 32ab 【冲刺十套】【冲刺十套】 2020 年高考名校考前仿真模拟年高考名校考前仿真模拟 卷卷 理科数学答案（五）理科数学答案（五） 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、
12、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 【答案】C 【解析】因为 |04Axx， | 12Bxx ， 所以 |02ABxx， | 14ABxx ，故选 C 2 【答案】B 【解析】由题意 2i 1 i2i 1 i 1 i1 i1 i ，该复数对应的点1,1位于第二象限，故选 B 3 【答案】B 【解析】根据周期公式可得 2 2 T ， 又 2sin(2)2cos2 2 yxx，所以该函数是偶函数，故选 B 4 【答案】A 【解析】首先，( )f x为奇函数，则可排除
13、 B； 当0x 时，( )0f x ，则可排除 D； 因为(1)ln2f， 1 (2)ln5 8 f，所以(1)(2)ff，则可排除 C 5 【答案】C 【解析】由于 1 21 2 1212 :|:| 2 :22:1 F FPAPA SSFFA Aca ，故2ca， 由题意双曲线的焦点在 x 轴上， 因此渐近线方程为 b yx a ， 22 3 3 bcaa aaa ， 故渐近线方程为3yx ， 故选 C 6 【答案】D 【解析】由于 2 kkZ，故 2 sin1， 2 cos0， 2222 sintansintan， 2 22 sin coscos ， 222 cossin1 cos ， 2
14、 (1)cos1 对任意 2 kkZ成立， 1，1，2 ， 故选 D 7 【答案】B 【解析】 1 1 2 S i ， 2 1 1 221 3 S i ， 3 11 1 323 1 4 S i ， 9 111 1 35291 10 S i ， 10 1111 1 3572 101 11 S i ， 此时11 10i ，输出4PS，即为的近似值 8 【答案】A 【解析】由于 3 00112233 3333 1C ()C ()C ()C ()xxxxx， 6 0615242333424515660 6666666 1111111 CC( )C( )C( )C( )C( )C( )xxxxxxxx
15、xxxxxxx ， 故 6 31 1xx x 的展开式中的常数项为 0033322424 3636 11 C ()C( )C ()C( )203 1565xxxx xx ，故选 A 9 【答案】C 【解析】如图建立空间直角坐标系， 则 1(1,0,1) A，(1,1,0)B，(0,0,0)D， 11 ( ,1,) 22 P， 1 (0,1, 1)AB ， 11 ( ,1, ) 22 DP ， 设异面直线 1 AB与DP所成角为， 1 1 1 1 3 2 cos|cos,| | 6|3 2 2 AB DP AB DP ABDP ，故选 C 10 【答案】B 【解析】不妨设| | |BPPQQCx
16、，3BCx， () ()AP AQABBPACCQAB ACBP ACAB CQBP CQ AB ACBP ACAB BPBP BPAB ACBP BCBP BP 22 5 2cos3 9 BACxx， 2 5 cos 18 BACx ， 由余弦定理 2 4 1 9 cos 4 x BAC ，联立得到 7 3 x ， 1 cos 2 BAC ，120BAC， 故选 B 11 【答案】A 【解析】由正弦定理可得3sincos3sinsin0ABBA， 又0A，sin0A，3cossin0BB，tan3B ，120B， 由正弦定理可得 535 3 sinsin 7214 c CB b ， 又cb，
17、CB，故 C 为锐角， 11 cos 14 C， sinsin()sin()sincoscossinABCBCBCBC 15 33113 3 21421414 ， 故 113 315 3 sin7 5 22144 ABC SbcA ，故选 A 12 【答案】C 【解析】由于 0 010ef ，0x 不为零点， 2 2 0 x x e faeaxx x ，即 2 ( ) x e g x x 与y a 有两个交点， 22 44 2(2 ) ( ) xxx e xxeexx g x xx 与 2 ( )2 (0)h xxx x同正负， 令( )0g x，(,0)(2,)x ，故( )g x在(,0)
18、,(2,)单调递增； 令( )0g x，(0,2)x，故( )g x在(0,2)单调递减， 结合图像可知当 2 (2) 4 e ag时， 2 ( ) x e g x x 与y a 有两个交点， 函数 2x exf xa恰有两个零点 故选 C 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】甲胜 【解析】若甲队获胜，则 A，B 判断都正确，与三人中只有一人的判断是正确的矛盾， 故甲不可能获胜 故答案为：甲胜 14 【答案】 7 10 【解析】1 没有除自身外的约数，因此 1 不为完全数； 6 的真因子为 1，2，3，1+2+3=6，故 6
19、 为完全数； 24 的真因子为 1，2，3，4，6，8，12，1+2+3+4+6+8+12=36，故 24 不为完全数； 28 的真因子为 1，2，4，7，14，1+2+4+7+14=28，故 28 为完全数； 36 的真因子为 1，2，3，4，6，9，12，18，1+2+3+4+6+9+12+18=54，故 36 不为完全数； 因此集合1,6,24,28,36中6,28为完全数，1,24,36不为完全数 在集合1,6,24,28,36中任取两个数有 2 5 C10种情况； 在集合1,24,36中任取两个数有 2 3 C3种情况； 这两个数中有完全数的对立事件为取到的两个数都不是完全数，因此
20、2 3 2 5 C7 1 C10 p ， 故答案为 7 10 15 【答案】99 【解析】 设球半径为R， 如图假设水面在C所在位置， 则1CA，OBR， 4 2 2 BC ， 由球截面性质： 222 4 ( )(1) 2 RR， 5 2 R， 球体积： 3 4125 36 VR 球 ， 当再次测得水面圆的直径为4 cm时，水面到达C关于球心对称的位置 C 所在平面， 此时注入水的体积 1399 2= 66 VV 球 ， 故经过的时间 99 6 99 6 t ，故答案为99 16 【答案】1,0 【解析】设直线: l ykxb， 2 4yx ykxb ， 222 (24)0k xkbxb， 设
21、 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 12 2 42kb xx k ， 2 12 2 b x x k ， 12121221 121212 ()(1)()(1) 0 1111(1)(1) ADBD yykxbkxbkxb xkxb x kk xxxxxx ， 12211212 ()(1)()(1)2()()20kxb xkxb xkx xkb xxb， 2 22 42 2()()20 bkb kkbb kk ， 0kb ，bk ，即ykxk，过定点(1,0)， 故答案为(1,0) 三、解答题：本三、解答题：本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分解答应写出文字说明、证明
22、过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤 17 【答案】 （1）证明见解析； （2） 21 3(1) 3n n nnT 【解析】 （1）证明：数列 n a满足 44442 123 1 (41) 3 n aaaann， 当1n 时， 4 1 1 1 31 3 a ，即 2 1 1a ， 2n时， 44442 1231 1 (1)(4(1)1) 3 n aaaann ， 又 44442 123 1 (41) 3 n aaaann， 两式相减可得 4222 11 (41)(1)(4(1)1)(21) 33 n annnnn， 2 0 n a ，即有 2 21 n an，对1n 也成立
23、， 则数列 2 n a为首项为 1，公差为 2 的等差数列 （2） 2 (1 3 )(21)(21) 3 nn nn bann， 设(21) 3 n n的前n项和为 n S，则 23 1 33 35 3(21) 3n n Sn ， 2341 31 33 35 3(21) 3n n Sn ， 相减可得 1 2311 9(1 3) 232(333 )(21) 332(21) 3 1 3 n nnn n Snn ， 化简可得 1 3(1) 3n n Sn ， 则前n项和 121 1 (121)3(1) 33(1) 3 2 nn n Tnnnnn 18 【答案】 （1）证明见解析； （2） 390 2
24、0 【解析】 （1）证明：连接CG，并延长CG与BD相交于点O，连接OA， 因为点G为BCD的重心，所以2CGGO， 在CAO中，有2 CECG EAGO ，所以EGAO， 则AO 平面ABD，GE平面ABD，所以/GE平面ABD （2）过点O在BCD中作OFBD，与DC相交于点F， 因为DBBC，ABAD， 则F O A为二面角A BD C的平面角， 则120FOA， 以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OF所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角 坐标系Oxyz， 因为BDBC，2BDBC，5ABAD，120FOA， 则0, 1, 3A，1,0,0B，1,2,0C，1,0,0D ， 所以
25、1,1,3AB ，0,2,0BC ， 1,1,3AD ，2,2,0DC ， 记平面ABC的法向量, ,x y zm，则 30 20 ABxyz BCy m m ， 令1z ，得到平面ABC的一个法向量3,0,1m， 设平面ACD的一个法向量为 111 ,x y zn，则 111 11 30 220 ADxyz DCxy n n ， 令 1 3x ，得到平面ABC的一个法向量3, 3,2 n， 3210 cos, 20410 m n， 设二面角BACD的平面角为，则 2 10390 sin1 2020 ， 即二面角BACD的正弦值为 390 20 19 【答案】 （1） 105 10 ； （2）
26、 6.825E Y ； （3）甲市能够参加自主招生考试的学生 更多 【解析】 （1）因为 1 0.9973 30.00135 2 P X ， 1 0.6827 0.15865 2 P X ， 所以 3135 95 ，解得 105 10 （2） 1 0.9545 1250.02275 2 P X 由题意知300,0.02275YB，所以 300 0.022756.825E Y （3）因为108,36ZN， 所以 1 0.9545 1201082 60.02275 2 P ZP Z 由（2）可知125120P XP Z， 即甲市数学成绩高于125分的学生人数与乙市数学成绩高于120分的学生人数相等
27、， 根据正态分布的特点可知，甲市数学成绩高于120分的学生人数比乙市多， 即甲市能够参加自主招生考试的学生更多 20 【答案】 （1） 2 2 1 4 x y； （2） 3 15 3 15 , 88 【解析】 （1）不妨取第一象限的交点为A， 由椭圆C将圆O的圆周分为四等份，知45xOA，所以 2 5 2 5 , 55 A ， 因为点A在椭圆C上，所以 22 44 1 55ab 因为 3 2 e ，所以 22 4ab 联立，解得 2 4a ， 2 1b ，所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （2）设 11 ,M x y， 22 ,N x y，则 22 11 22 22 44 44 xy
28、 xy ， 两式相减，得 1212 1212 1 4 yyxx xxyy ， 又因MN的中点为 0 1 , 4 P x ，所以 120 2xxx， 12 1 2 yy， 所以直线l的斜率 1212 0 1212 1 4 l yyxx kx xxyy 当 0 0x 时，直线l的方程 1 4 y ，直线 l 即y轴，此时0m； 当 0 0x 时，直线 l 的斜率 0 1 l k x ， 所以直线 l 的方程为 0 0 11 4 yxx x ，即 0 13 4 yx x ， 令0y ，则 0 3 4 xx 因为点 0 1 , 4 P x 在椭圆内部，所以 2 2 0 1 1 44 x ， 所以 0
29、1515 ,00, 22 x ，所以 0 33 153 15 ,00, 488 x ， 综上所述，m的取值范围为 3 15 3 15 , 88 21 【答案】 （1）见解析； （2）证明见解析 【解析】 （1） ln 2 b h xxx的定义域为0,， 2 1 22 bbx h x xx ， 当0b时， 0h x 恒成立，所以 h x在0,上单调递减； 当0b时，令 0h x ，得 2 b x ，则 h x单调递减； 令 0h x ，得0 2 b x，则 h x单调递增， 综上，当0b时， h x在0,单调递减； 当0b时， h x在0, 2 b 上单调递增，在, 2 b 上单调递减 （2）证
30、明：不妨设 21 01xx，由 12 f xf x， 得 111222 11 lnsin 1lnsin 1 2222 bb xxxxxx， 所以 121221 1 lnlnsin 1sin 1 22 b xxxxxx 设 sing xxx，则 1 cos0g xx ，故 g x在0,1上单调递增 因为 21 01xx，所以 12 0111xx ，所以 12 11gxgx， 即 1122 1sin 11sin 1xxxx，故 2121 11sin 1sin 1xxxx， 所以 1221 sin 1sin 1xxxx， 于是 12122112 11 lnlnsin 1sin 1 222 b xxx
31、xxxxx ， 则 12 12 lnln xx b xx 22 【答案】 （1） 22 :9C xy， 1cos : 3sin x yt l t （t为参数） ； （2）3y 或 32 30xy 【解析】 （1）由参数方程得 2222 9cos9sin9xy， 所以曲线C的普通方程为 22 9xy 设点A的直角坐标为, x y，则 2cos1 3 x ， 2sin3 3 y ， 即1, 3A，故直线l的参数方程为 1cos 3sin xt yt （t为参数） （2）将 1cos 3sin xt yt ，代入 22 9xy，得 2 2 3sin2cos50tt， 2 2 3sin2cos200，
32、 设 12 ,t t是方程的两个根，则 12 2 3sin2costt ， 1 2 5t t 所以 2 2 12121 2 42 3sin2cos202 6ADAEttttt t ， 所以 2 2 3sin2cos2024， 整理得tan0或tan3 ， 所以直线l的方程为3y 或32 30xy 23 【答案】 （1）4,； （2）证明见解析 【解析】 （1）因为 xaxbxxaaabbb， 因为存在 0 x R，使得 00 4xaxb，所以4ab， 即ab的取值范围是4, （2）由（1）知4ab， 因为 2 22 22 4422 2 ab abab ， 又 2 2 22 4 8 22 ab ab ，所以 2 44 8 32 2 ab， 当且仅当 2ab 时等号成立
