人教版九年级数学下册创新教学设计（50套打包）.zip

应用应用举例举例第第 1 课时课时一、一、教学目标教学目标1.能够把解直角三角形相关知识应用到实际问题中；2.能从实际问题中构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题；3.经历从实际问题到数学问题的思考，培养学生数学建模思想和分析问题、解决问题的能力；4.体会数学在解决实际问题中的应用，使学生感受数学在测量方面和建筑方面应用，使学生感受到数学的广泛作用.二、教学重难点教学重难点重点：能够把解直角三角形相关知识应用到实际问题中.难点：灵活选择三角函数解决问题.三、教学用具三、教学用具多媒体等.四、教学过程设计教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情景【回顾】【回顾】教师活动：教师活动：教师带领学生回顾前面所学知识，为下面做基础.如图，在 RtABC 中，共有六个元素（三条边，三个角），其中C=90.(1)三边之间的关系:a2+b2=_c2_；(2)锐角之间的关系：A+B=_90_；(3)边角之间的关系：sinA=_ac_，cosA=_bc_，tanA=_ab_.思考并配合老师回答问题通过前面所学知识的复习，为后面解题做基础.环节二探究新知【探究】【探究】2012 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343km 的圆形轨道上运行.如图，当组合体运行到地球表面 P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少（地球半径约为 6 400km，取 3.142，结果取整数）？问题问题 1：这个实际问题可以抽象成数学图形吗？可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的O 的有关问题.问题问题 2：当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点是视线与地球相切时的切点，即点 Q.问题问题 3：在图中，最远点与 P 点的距离可以用什么表示？PQ的长.学生跟随教师写过程经历从实际问题到数学问题的思考，培养学生数学建模思想和分析问题、解决问题的能力.环环节节三三应应用用【典型例题】【典型例题】例例 1：2012 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离通过例题，规范学新新知知地球表面 343km 的圆形轨道上运行.如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少（地球半径约为 6 400km，取3.142，结果取整数）？解：设FOQ=，FQ 是O 切线，FOQ 是直角三角形6400cos0.94916400343OQOF，18.36.PQ的长为18.3618.36 3.142640064002051(km).180180当组合体在 P 点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离 P 点约 2051km.【归纳】【归纳】一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题解直角三角形的应用：解直角三角形的应用：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；(3)得到数学问题答案；(4)得到实际问题答案.例例 2：热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30，看这栋楼底部的俯角为 60，热气球与楼的水平距离为 120m，这栋楼集体回答生对解题步骤的书写，让学生感受数学的严谨性.有多高（结果取整数）？【回顾】【回顾】在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角仰角，视线在水平线下方的叫做俯角俯角.分析分析：在图中，=30，=60.在 RtABD 中，=30，AD120，所以利用解直角三角形的知识求出 BD；类似地可以求出 CD，进而求出 BC解：如图，=30，=60，AD120tan,tan.BDCDaADADtan120 tan30BDADa312040 33.tan120 tan601203120 3.CDAD40 3120 3160 32 mBCBDCD答：这栋楼高约为 277m.【归纳】【归纳】解决与仰角、俯角有关的实际问题的方法：根据仰角、俯角的定义画出水平线、视线，找准仰角、俯角，结合题意，从实际问题情境中抽象出含仰角或俯角的直角三角形，然后利用解直角三角形使问题获解.环节四巩固新知【随堂练习】【随堂练习】教师活动教师活动：通过 Pk 作答的形式，让学生独立思考，再由老师带领整理思路过程.练习练习 1如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一条隧道（点 A、B在同一水平面上）为了测量 A、B 两地之间的距离，一架直升飞机从 A 地出发，垂直上升 800 米到达 C 处，在 C 处观察 B 地的俯角为，则 A、B 两地之间的距离为()A.800sin米B.800tan米C800sina米D800tana米答案答案：D练习练习 2如图，要测量 B 点到河岸 AD 的距离，在 A 点测得BAD=30，在C 点测得BCD=60，又测得 AC=100 米，则 B 点到河岸 AD 的距离为()A.100 米B.50 3米C.200 33米D.50 米答案答案：BPk 作答进一步巩固本节课的内容.了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.环节以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.回顾本节课所讲的内容通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.五课堂小结环节六布置作业巩固例题练习教科书第 76 页练习 1、2.课后完成练习通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.应用举例应用举例第第 2 课时课时一、一、教学目标教学目标1.能够把解直角三角形相关知识应用到实际问题中；2.能从实际问题中构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题；3.经历从实际问题到数学问题的思考，培养学生数学建模思想和分析问题、解决问题的能力；4.体会数学在解决实际问题中的应用，使学生感受数学在航海方面的应用，使学生感受到数学的广泛作用.二、教学重难点教学重难点重点：能够把解直角三角形相关知识应用到实际问题中.难点：灵活选择三角函数解决问题.三、教学用具三、教学用具多媒体等.四、教学过程设计教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情景【回顾】【回顾】教师活动：教师活动：教师带领学生回顾前面所学知识，为下面做基础.如图，在 RtABC 中，共有六个元素（三条边，三个角），其中C=90.(1)三边之间的关系:a2+b2=_c2_；(2)锐角之间的关系：A+B=_90_；(3)边角之间的关系：sinA=_ac_，cosA=_bc_，tanA=_ab_.思考并配合老师回答问题通过前面所学知识的复习，为后面解题做基础.解直角三角形的应用：解直角三角形的应用：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；(3)得到数学问题答案；(4)得到实际问题答案.环节二探究新知【探究】【探究】如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65方向，距离灯塔 80 n mile的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东34 方向上的 B 处.这时，B 处距离灯塔 P 有多远(结果取整数)？【归纳】【归纳】方位角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90的角叫做方位角.在下图中依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东 65、南偏东34方向的射线.解：如图，在 RtAPC 中，PCPAcos(9065)80cos25学生跟随教师写过程经历从实际问题到数学问题的思考，培养学生数学建模思想和分析问题、解决问题的能力.72.505在 RtBPC 中，B=34，sinPCBPB72 505130 n milesinsin34PC.PBB当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向时，它距离灯塔 P 大约 130海里环环节节三三应应用用新新知知【典型例题】【典型例题】例例 1：铁路的路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为 i32，顶宽是3m，路基高是 1.5m，求路基的下底宽是多少？【归纳】【归纳】坡度（坡比）：坡面的铅直高度 h 和水平距离 l 的比叫做坡度，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成tanhil的形式.坡度越大坡度越大坡角越大坡角越大坡面越陡坡面越陡解：如图，AD=3m，作 AEBC，DFBC.i=32，AE=DF=1.5m.BE=CF=1m.集体回答通过例题，规范学生对解题步骤的书写，让学生感受数学的严谨性.BC=1+1+3=5m.环节四巩固新知【随堂练习】【随堂练习】教师活动教师活动：通过 Pk 作答的形式，让学生独立思考，再由老师带领整理思路过程.练习练习 1如图，水库的横断面是梯形 ABCD，迎水坡 AB 的坡度 i=11，坝高BE=20m，迎水坡 AB=_m，坡角=_.答案：答案：20 2；45练习练习 2如图，海中有一个小岛 A，它的周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60方向上，航行12 海里到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？答案答案：(方法 1）解：如图，过 A 作 ACBD，交 BD 的延长线于点 C，则AC 的长是 A 到 BD 的最短距离，由题意，得CAD=30，CAB=60，ABD=90 60=30，又BAD=CABCAD=60 30=30，ABD=BAD，BD=AD=12 海里，在 RtCAD 中，分组讨论进一步巩固本节课的内容.了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.cosCAD=3cos12 cos30126 32ACADCAD6 310 4 8.渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险教师活动：小组讨论，其它解题方法.（方法 2）解：设 AC=x 海里在 RtADC 中，DAC=303tantan303DCACDACxx在 RtABC 中，ABC=90 60=3033033ACxxBCxtanABCtanBC DC=BD33123xx6 310 4x.解得渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险环节五课堂小结以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.回顾本节课所讲的内容通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.环巩固例题练习课后完成练通过课后作业，教节六布置作业教科书第 77 页练习 1、2.习师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.应用举例应用举例应用举例 是在学习了锐角三角函数和解直角三角形的基础上继续研究利用解直角三角形等有关知识解决实际问题。本节内容，一方面，可以让学生看到解直角三角形知识在解决实际问题中所起的作用；另一方面，通过解决实际问题的过程，让学生学以致用，学会将所学知识运用到实际生活中去，使学生进一步体会数学建模思想和数学建模过程，培养应用意识，发展学生的抽象能力，以及分析问题、解决问题的能力。本节教材安排了三个实际问题介绍解直角三角形的理论在实际中的应用，其解决过程均为先将实际问题抽象成数学问题，即构转化成直角三角形中的度量问题，再利用解直角三角形知识得出实际问题的答案。在此基础上，教材最后给出了利用解直角三角形知识解决实际问题的一般过程和方法。【知识与能力目标】能用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题。【过程与方法目标】在运用解直角三角形等知识解决实际问题的过程中，体会“数学建模”和“数形结合”的思想。【情感态度价值观目标】利用解直角三角形知识解决实际问题的过程中，渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。【教学重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系来解决。【教学难点】实际问题转化成数学模型。教材分析教材分析 教学目标教学目标 教学重难点教学重难点 课前准备课前准备多媒体课件、教具等。一、创设情境，引入新课一、创设情境，引入新课问题问题 1解直角三角形是指什么？归纳：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。解直角三角形主要依据什么？归纳：勾股定理：a2+b2=c2；锐角之间的关系：A+B=90；边角之间的关系：sinAA的对边斜边，AcosA的邻边斜边，tanAA的对边邻边。问题问题 2热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30，看这栋高楼底部的俯 角为 60，热气球与高楼的水平距离为 120m，这栋高楼有多高（结果取整数）？二、探索发现，形成新知二、探索发现，形成新知问题问题 3当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做什么角？在水平线下方的角叫做什么角？教学过程教学过程仰角、俯角的概念：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。追问 1：我们抬头观察教室里的日光灯，视线与水平线构成的角是什么角？我们低头看课桌上的数学课本，视线与水平线构成的角是什么角？追问 2：现在可以解决问题 2 中楼房的高度了吗？解：由题意可知，30，60，AD=120。ADBDtan，ADCDtan，3403312030tan120tanADBD，3120312060tan120tanADCD。27731603120340CDBDBC（m）。因此，这栋楼高约 277m。三、运用新知，深化理解三、运用新知，深化理解例 1：2012 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接。“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343km 的圆形轨道上运行。如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少？（地球半径约为 6 400km，取 3.142，结果取整数）解：设POQ，在图中，FQ 是的切线，是直角三角形。9491.034364006400cosOFOQ，18.36。PQ的长为20516400180142.336.18640018036.18（km）。由此可知，当组合体在点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离点约2051km。例 2：如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向上的 B 处。这时，B 处距离灯塔有多远（结果取整数）？解：如图，在 RtABC 中，505.7225cos80)6590cos(PAPC。在 RtBPC 中，sinPCBPB，72.505130sinsin34PCPBB（n mile）。因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向时，它距离灯塔 P 大约 130 n mile。四、学生练习，巩固新知四、学生练习，巩固新知练习练习 1建筑物 BC 上有一旗杆 AB，从与 BC 相距 40m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角50，观测旗杆底部 B 的仰角为 45，求旗杆的高度（结果保留小数点后一位）.练习练习 2如图，海中有一个小岛 A，它周围 8 n mile 内有暗礁。鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得小岛 A 位于北偏东 60方向上，航行 12 n mile 到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30方向上，。如果鱼船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？练习练习 3如图，沿 AC 方向开山修路。为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工。从 AC 上的一点 B 取ABD=140，BD=520m，D=50，那么另一边开挖点 E 离D 多远正好能使 A，C，E 三点子一直线上（结果保留小数点后一位）？五、课堂小结，梳理新知五、课堂小结，梳理新知利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；(3)获得数学问题的答案；(4)检验答案是否符合实际问题。六、布置作业，优化新知六、布置作业，优化新知1、教科书习题 28.2 第 3 题，第 4 题，第 5 题；（必做题）2、教科书习题 28.2 第 9 题，第 10 题，第 11 题。（选做题）略 教学反思教学反思应用举例应用举例第第 1 课时课时一、一、教学目标教学目标1.能将直角三角形的知识与圆的知识结合解决问题2.进一步理解仰角、俯角和方位角的概念，会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成数学问题二、教学重点及难点二、教学重点及难点重点：利用解直角三角形来解决一些实际问题难点：利用数形结合的思想解决实际问题三、教学用具三、教学用具电脑、多媒体、课件四、相关资源四、相关资源五、教学过程五、教学过程（一）复习导入在解直角三角形的过程中，一般要用到哪些关系？如图：（1）三边之间的关系222abc（勾股定理）（2）两锐角之间的关系AB=90（3）边角之间的关系：sinAaAc的对边斜边；sinBbBc的对边斜边；cosAbAc的邻边斜边；cosBaBc的邻边斜边；tan AaAAb的对边的邻边；tan BbBBa的对边的邻边设计意图：通过复习在解直角三角形过程中用到的三种关系，为完成本节课应用举例设计意图：通过复习在解直角三角形过程中用到的三种关系，为完成本节课应用举例打下基础打下基础此知识卡片普及解直角三角形中常用的概念,便于学生理解概念,认识概念.此微课精选关于锐角三角函数的实际应用实例,做到全面讲解.（二）例题解析例 1.2012 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨道上运行如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少（地球半径约为 6 400 km，取 3.142，结果取整数）？分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远的点，是视线与地球相切时的切点教师引导学生画出示意图，将实际问题中的数量关系在图形中反映出来如图，O 表示地球，点 F 是组合体的位置，FQ 是O 的切线，切点 Q 是从组合体中观测地球时的最远点，PQ的长就是地球表面上 P，Q 两点间的距离为计算PQ的长需先求出POQ（即）的度数解：设POQ=，在图中，FQ 是O 的切线，FOQ 是直角三角形6400cos0.949 16400343OQOF，18.36PQ的长为18.3618.36 3.1426 4006 4002 051 180180(km)由此可知，当组合体在 P 点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离 P 点约 2 051km设计意图：通过分析题意，画示意图，将实际问题中的数量关系在图形中反映出来，设计意图：通过分析题意，画示意图，将实际问题中的数量关系在图形中反映出来，把数形结合起来，提高学生分析问题和解决问题的能力把数形结合起来，提高学生分析问题和解决问题的能力例 2.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30，看这栋楼底部的俯角为 60，热气球与楼的水平距离为 120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角因此，在图中，=30，=60在 Rt ABD 中，=30，AD=120 m，所以可以利用解直角三角形的知识求出 BD；类似地可以求出 CD，进而求出 BC解：如图，=30，=60，AD=120tanBDAD，tanCDAD，tan120 tan30BDAD312040 33，tan120tan60CDAD1203120 340 3120 3BCBDCD160 3277（m）因此，这栋楼高约为 277 m设计意图：理解仰角、俯角的概念，利用已有知识，把实际问题抽象成数学问题，画设计意图：理解仰角、俯角的概念，利用已有知识，把实际问题抽象成数学问题，画出相应的示意图，通过解直角三角形解决实际问题，进一步培养学生分析问题和解决问题出相应的示意图，通过解直角三角形解决实际问题，进一步培养学生分析问题和解决问题的能力的能力（三）课堂练习1要测池塘 A、B 两端的距离，可以在平地上与 AB 垂直的直线 BF 上取一点 C，使FCA=120，并测量得 BC=20 m，求 A，B 两端之间的距离（结果保留根号）设计意图：考查学生利用解直角三角形的知识解决实际问题的能力设计意图：考查学生利用解直角三角形的知识解决实际问题的能力解：根据题意，得ABC=90在 Rt ABC 中，ACB=180-FCA=180-120=60，Tan ACB=BCAB，AB=BCtan ACB=20tan60=320(m)答：A、B 两端之间的距离为320m2如图，建筑物 BC 上有一旗杆 AB，从与 BC 相距 40 m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为 50，观测旗杆底部 B 的仰角为 45，求旗杆的高度（tan 501.192，结果保留小数点后一位）解：在等腰三角形 BCD 中，ACD=90BC=DC=40(m)在 Rt ACD 中tanACADCDC，tanACADC DCtan5040 1.192 4047.68AB=AC-BC=47.68-407.7(m)答：旗杆的高度约为 7.7 m3如图，沿 AC 方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工从AC 上的一点 B 取ABD=140，BD=520 m，D=50那么另一边开挖点 E 离 D 多远正好使 A，C，E 三点在一条直线上（cos 500.643，sin 500.767，结果保留小数点后一位）？解：要使 A，C，E 在同一直线上，则ABD 是BDE 的一个外角BED=ABD-D=90cosDEBDEBD，cosDEBDE BDcos50520334.2(m)答：开挖点 E 离 D 点 334.2 m 正好能使 A，C，E 三点在一条直线上设计意图：是对例题的补充练习，检测学生的学习情况，进一步培养学生利用解直角设计意图：是对例题的补充练习，检测学生的学习情况，进一步培养学生利用解直角三角形的知识解决实际问题的能力三角形的知识解决实际问题的能力六、课堂小结六、课堂小结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）画出平面图形，转化为解直角三角形的问题；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案设计意图：通过小结，使学生梳理本节设计意图：通过小结，使学生梳理本节课课所学内容，对本节内容的思想方法进行归纳所学内容，对本节内容的思想方法进行归纳和提升，体会运用数学知识解决和提升，体会运用数学知识解决实际实际问题的一般过程问题的一般过程七、板书设计七、板书设计应用举例（1）一、运用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤二、例 1、例 2、练习应用举例应用举例第第 2 课时课时一、一、教学目标教学目标能利用解直角三角形的知识来解决非直角三角形的问题二、教学重点及难点二、教学重点及难点重点：利用解直角三角形来解决一些实际问题难点：利用数形结合的思想解决实际问题三、教学用具三、教学用具电脑、多媒体、课件四、相关资源四、相关资源五、教学过程五、教学过程（一）复习导入1.在解直角三角形的过程中，一般要用到哪些关系？如图：（1）三边之间的关系222abc（勾股定理）（2）两锐角之间的关系AB=90（3）边角之间的关系：sinAaAc的对边斜边；sinBbBc的对边斜边；cosAbAc的邻边斜边；cosBaBc的邻边斜边；tan AaAAb的对边的邻边；tan BbBBa的对边的邻边2.用直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：设计意图：通过复习在解直角三角形过程中用到的三种关系，为完成本节课设计意图：通过复习在解直角三角形过程中用到的三种关系，为完成本节课有关有关“航航行触礁问题行触礁问题”和与和与“坡度相关的问题坡度相关的问题”应用举例打下基础应用举例打下基础此知识卡片描述锐角三角函数的基本模型,通过构建辅助线,把非直角三角形转化为直角三角形的问题解决.（二）例题解析例 1.如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向上的 B 处这时，B 处距离灯塔 P 有多远（cos 250.906，结果取整数）？解：如图，在 Rt APC 中，PC=PAcos(90-65)=80cos2572.505在 Rt BPC 中，B=34，sinPCBPB，72.505130 n milesinsin34PCPBB（）因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向时，它距离灯塔 P 大约 130 n mile设计意图：进一步理解方位角的概念，根据实际问题画出相应的示意图，让学生进一设计意图：进一步理解方位角的概念，根据实际问题画出相应的示意图，让学生进一步感受从实际问题中抽象出数学问题的过程步感受从实际问题中抽象出数学问题的过程例 2如图，在旧城改造中，要拆除一建筑物 AB，在地面上事先划定以 B 为圆心，半径与 AB 等长的圆形危险区现在从离 B 点 24 m 远的建筑物 CD 的顶端 C 测得点 A 的仰角为 45，点 B 的俯角为 30，问离 B 点 35 m 处的一保护文物是否在危险区内？解：在 Rt BEC 中，CE=BD=24(m)，BCE=30，BE=CEtan30=38在 Rt AEC 中，ACE=45，CE=24，AE=24AB=24+3837.9(m)3537.9，离 B 点 35 m 处的一保护文物在危险区内设计意图：考查学生利用解直角三角形的知识解决实际问题的能力设计意图：考查学生利用解直角三角形的知识解决实际问题的能力例 3“村村通公路工程”拉近了城乡距离，加快了我区农村建设步伐，如图所示，C 村村民欲修建一条水泥公路，将 C 村与区级公路相连，在公路 A 处测得 C 村在北偏东 60方向，前进 500m，在 B 处测得 C 村在北偏东 30方向，为节约资源，要求所修公路的长度最短，画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度.（结果保留整数）30CA60B区级公路区级公路D解：过点 C 作 CDAB,垂足落在 AB 的延长线上，CD 即所修公路，CD 的长度即为公路长度。在 RtACD 中，根据题意得CAD=30.tanCAD=CDADAD=3tan30CDCD在 RtCBD 中，根据题意得CBD=60.tanCBD=CDBDBD=3tan603CDCD又AD-BD=500335003CDCD,解得 CD=433答：公路的长度约为 433m.（三）课堂练习1如图，海中有一个小岛 A，它周围 8 n mile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60方向上，航行 12 n mile 到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30方向上如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？解：由点 A 作 BD 的垂线交 BD 的延长线于点 F，垂足为 F，AFD=90由题意图示可知DAF=30设 DF=x，AD=2x，则在 RtADF 中，根据勾股定理得2222(2)3AFADDFxxx在 RtABF 中，由tanAFABFBF得3tan3012xx 解得 x=666 310.4AFx8因此，没有触礁的危险设计意图：考查学生利用解直角三角形的知识解决实际问题的能力设计意图：考查学生利用解直角三角形的知识解决实际问题的能力2如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，斜面坡度 i=11.5 是指坡面的铅直高度 AF与水平宽度 BF 的比，斜面坡度 i=13 是指 DE 与 CE 的比根据图中数据，求：（1）坡角和的度数；（2）斜坡 AB 的长（结果保留小数点后一位）2解：（1）在 Rt AFB 中，AFB=90，tan1 1.5 AFiBF ，=334124；在 Rt CDE 中，CED=90，tan3 1 DEiCE ，=18266（2）在 RtAFB 中，AFB=90，由 sin=sin334124=AFAB，AF=6 可求出 AB10.8 m设计意图：考查学生利用解直角三角形的知识解决实际问题的能力设计意图：考查学生利用解直角三角形的知识解决实际问题的能力六、六、课堂小结课堂小结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案设计意图：通过小结，使学生梳理本节设计意图：通过小结，使学生梳理本节课课所学内容，对本节内容的思想方法进行归纳所学内容，对本节内容的思想方法进行归纳和提升，体会运用数学知识解决和提升，体会运用数学知识解决实际实际问题的一般过程问题的一般过程七、板书设计七、板书设计28.2.2 应用举例一、用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：二、例题练习相似三角形的判定-基本事实及其应用一、教学目标一、教学目标1.掌握相似三角形的定义和性质，明确定义是第一种判定方法；2.掌握基本事实，并能够迁移到三角形中，得到对应结论；3.利用基本事实证明平行于三角形一边的直线截取的两个三角形相似；4.探究经历“试验、猜想、证明”的过程，感受几何命题的合理性，并通过证明确认命题正确，培养学生发现问题、解决问题的能力.二、教学重难点二、教学重难点重点：重点：掌握基本事实，并能够迁移到三角形中，得到对应结论难点：难点：利用基本事实证明平行于三角形一边的直线截取的两个三角形相似三、教学用具三、教学用具教学课件.四、教学过程设计四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环环节节一一创设情境【复习回顾复习回顾】我们已经学过了相似图形、相似多边形的定义，你能得到相似三角形的定义吗？相似图形：形状相同的图形相似图形：形状相同的图形相似多边形：边数相同，角分别相等，并且边也成比相似多边形：边数相同，角分别相等，并且边也成比例的两个多边形例的两个多边形相似三角形：对应角分别相等，并且边也成比例的两相似三角形：对应角分别相等，并且边也成比例的两个三角形个三角形【教学建议】通过设问，引起学生的认知冲突，为新】通过设问，引起学生的认知冲突，为新课的学习进行铺垫课的学习进行铺垫.【做一做做一做】下图中，你能利用定义判定每组中的两个三角形相似下图中，你能利用定义判定每组中的两个三角形相似吗？吗？思考并分析问题通过情景引入，引发学生的思考，为学习新课做铺垫，培养学生善于思考的习惯，激发学生的学习兴趣分析：分析：分析三角板各角的度数，并测量各边，再依据定义判断.解解：图(1)中，三组对应角分别是 45、45、90，并且对应边的比都是 2图(2)中，三组对应角分别是 30、60、90，并且对应边的比都是3:2.所以每组中的两个三角形是相似的.【教学建议】通过做一做环节，引导学生根据定义尝】通过做一做环节，引导学生根据定义尝试独自说明利用定义来验证三角形相似试独自说明利用定义来验证三角形相似环环节节二二探究新知【做一做做一做】如图，已知直线如图，已知直线 BC 平行平行 DE，ABC 与与ADE 相似相似吗？吗？解：解：直线 BC 平行 DEABC=ADE,ACB=AED,A=A,又AB=4,AC=4,BC=3,AD=4+4=8,AE=4+4=8,DE=6,12ABACBCADAEDE所以，根据相似三角形的定义可得，ABC 与ADE相似注意：相似用符号注意：相似用符号“”表示，如表示，如ABC 与与ADE 相相似记为：似记为：ABCADE【教学建议】通过】通过“做一做做一做”环节，引导学生根据定环节，引导学生根据定义可以判定两个三角形相似义可以判定两个三角形相似独立思考并尝试写出解答过程通过这个环节的教学，让学生进一步理解知识点【归纳归纳】定义：对应角分别相等，且边也成比例的两个三角形定义：对应角分别相等，且边也成比例的两个三角形相似相似.分组讨论，合作经历知识的探究过程，使学生符号语言：符号语言：在在ABC 和和ABC中，中，A=A，B=B，C=CABBCACA BB CA C ABCABC当边的比值等于当边的比值等于 1 时，相似三角形是全等三角形时，相似三角形是全等三角形.即相似不一定全等，但全等一定相似即相似不一定全等，但全等一定相似【教学建议】教师引导学生再一次梳理重难点知识【教学建议】教师引导学生再一次梳理重难点知识【思考思考】除了根据定义判定两个三角形相似，还有其他方法吗？类比三角形全等的判定方法来研究相似三角形的判定类比三角形全等的判定方法来研究相似三角形的判定研究相似三角形的判定之前，先来学习基本定理研究相似三角形的判定之前，先来学习基本定理【探究探究】如图，任意两条直线 l1，l2，与三条平行线 l3，l4，l5分别相交，在 l1上截得的两条线段 AB，BC；在 l2上截得的两条线段 DE，EF，探究完成学习任务通过全程参与，掌握知识，培养数学核心素养和能力(1)测量各线段的长度，ABBC与DEEF相等吗？(2)任意平移 l5的位置，ABBC与DEEF还相等吗？（1）解：经过测量，可得AB=2cm，BC=5cmED=2cm，FE=5cm25ABDEBCEF（2）解：仍然相等符号语言：符号语言：l3l4l5ABDEBCEF根据比例性质与等式的性质，可以得到【形成结论形成结论】基本事实基本事实两条直线被一组平行线一组平行线所截，所得的对应线段对应线段（共三组）成比例符号语言：符号语言：l3l4l5ACDFBCABDEACDFEFBCEFABDE，总结总结：对应线段分为三组对应线段分为三组，可得可得，最长线段最长线段：AC、DF；上边的线段：上边的线段：AB、DE；下边的线段：；下边的线段：BC、EF；【教学建议】通过探究环节的设计，引导学生逐步完成本节课重难点的学习任务【基本事实延伸基本事实延伸】l3l4l5ACDFBCABDEACDFEFBCEFABDE，根据等比性质，上述比例也可以写成：ACDFAABDEBCEFBCACEBEFDDF，技巧总结：在基本事实中，只要有一个比例式成立，技巧总结：在基本事实中，只要有一个比例式成立，其余其余 5 个比例式都成立个比例式都成立.【基本事实应用基本事实应用】右图中，当直线 l1与 l2相交时，基本事实还成立吗？涂色的两个三角形相似吗？分 析：分 析：成 立.对 应 边 仍 然 成 比 例,即ADAEAADAEABACDBECDBEBACC，由基本事实，可得ACADABAE，由两直线平行，同位角相等，以及A 是公共角.如果能够说明 CF、BE 的比值也等于ACADABAE，即可说明三角形相似.【教学建议】通过延伸环节的设计，引导学生完成深层次的理解和认识【证明证明】如图如图，在在ABC 中中，DE/BC，且且 DE 分别交分别交 AB，AC于点于点 D，E，ADE 与与ABC 相似吗？说明理由相似吗？说明理由分析：分析：ADE 与与ABC 相似相似借助基本事实来证明，借助基本事实来证明，依据三角形相似的定义来说明相似依据三角形相似的定义来说明相似证明：证明：在ADE 与ABC 中，AADEBC，ADEB，AEDC过点 E 作 EFAB，交 BC 于点 FDEBC，ADAEABAC又EFAB，BFAEBCAC，又四边形 DEFB 是平行四边形，BF=DEDEAEBCACADAEDEABACBCADEABC（相似三角形的定义）注意：在相似比中，对应边的位置要正确注意：在相似比中，对应边的位置要正确