1、2022学年第一学期高三第一次模拟考试 数 学 考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中16题每题4分，712题每题5分)【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】1.已知集合,则|04.1,2,3,4,5AxxB AB2.不等式 的解集为 2102xx3.已知复数若是纯虚数,则实数 .2,3,zai ziz
2、 z a 4.已知对数函数的图像经过点,则实数 .(0,1)aylog x aa4,2a 5.设等比数列满足,则 .na12131,3aaaa 4a 6.已知方程组无解,则实数的值等于 .2168xmymxym7.已知角的终边与单位圆 交于点 则 221xy1,2Pysin28.将半径为2的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥筒的高为 .9.已知函数,则曲线在点处的切线方程是 .2f xx yf x1,1P10.设函数 若 对任意的实数都成立，则 sin(0),6f xxk 3f xfx的最小取值等于 .11.在边长为2的正六边形中,点为其内部或边界上一点，则 的取值范ABCDEFPAD
3、BP 围为 .12.已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数,且它们有共同的焦点是与1212,FF P、12在第一象限的交点，当时,双曲线的离心率等于 .126FPF1二、选择题(本大题共有4题，满分18分，其中13、14题每题4分，15、16题每题5分)【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.】13.下列函数中，既是奇函数又在区间上是严格增函数的是()0,1 B.D.A yx3yx.lgC yx ysinx14.设,则是“”的()xR1“2xx”1x A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4、 15.设函数若对于任意 在区间上总存在唯一 sin,6f xx5,62 0,m确定的,使得,则的最小值为()0ffm D.6A.2B7.6C16.已知曲线C:,命题：曲线仅过一个横坐标与纵坐标都是整数3222216xyx ypC的点；命题：曲线C上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是()qA.都是真命题 B.是真命题，是假命题 pq、pqC.是假命题，是真命题 D.都是假命题 pqpq、三、解答题(本大题共有5题，满分78分)【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】17.(本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分)如图，长方
5、体中，与底面所成的角为45 1111ABCDABC D12,ABBCACABCD(1)求四棱锥的体积;1AABCD(2)求异面直线与所成角的大小.1AB11B D 18.(本期满分15分，本题具有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分8分)已知函数 21,2f xsinx cosxsin x(1)求的单调递增区间:f x(2)在中,为 角的 对 边,且 满 足,且ABCAabc、ABC、2bcos AbcosAasinB求 的取值范围.0,2A f B 19、(本题满分15分，本题共有3个小题，第(1)小题满分3分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分)某公园有一块如图所示的区
6、域，该场地由线段及曲线段OACBOAOBAC、BC围成.经测量，,米,曲线是以为对称轴的抛物线的一90AOB100OAOBBCOB部分,点到 的距离都是50米，现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其COAOB、OEDF中点D在线段AC或曲线段BC上，点E、F分别在线段OA、OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为平方米.DFxS(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；BC(2)求面积关于的函数解析式;Sx Sf x(3)试确定点的位置，使得游乐场的面积最大.(结果精确到0.1米)DS 20、(本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(
7、3)小题满分7分)已知椭圆 的右焦点为，左右顶点分别为，直线 过点2221(1)xyaaFAB、lB且与轴垂直，点是椭圆上异于的点，直线交直线 于点D.xPAB、APl(1)若是椭圆的上顶点，且是直角三角形，求椭圆的标准方程；EAEFA(2)若求的面积;2,45,aPABPAFA(3)判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明.BDPF 21.(本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分)已知数列满足 na1121,2,2.iiiiaaaain(1)若数列的前4项分别为求的取值范围;na34,2,1,a3a(2)已知数列中各项互不相同.
8、令 na 11,2,1,mmmbaamn求证：数列 是等差数列的充要条件是数列是常数列；namb(3)已知数列是且个连续正整数的一个排列.na(m mN3)m 1,2,m 若求1112,mkkkaam的所有取值.m崇明区2022学年第一学期高三第一次模拟考试参考答案及评分标准 一、填空题 1.;3.;4.;5.;6.2,3,412.,226284;9.;10.;11 17.;28.3;21yx2.4,12;12.23二、选择题 13.D;14.A;15.B;16.A.三、解答题 17.解(1)因为平面,所以是与底面所成的角 AAABCDACA ACABCD所以2分 45ACA所以4分 2AA
9、所以7分 1433A ABCDVSh(2)联结,则 BD1/,BDB D所以就是异面直线与所成的角3分 ABD ABB D 中,ABDA 116,2ABADBD所以6分 2221116cos26ABBDADABDAB BD所以异面直线与所成角的大小为7分 ABB D 6arccos618.解(1)由题意 111sin21 cos2222f xxx 5分 112sin2cos2sin 2,2224xxx由 222,242kxkkZ解得 3,88kxk所以单调递增区间为7分 f x3,88kkkZ(2)由正弦定理，得,2sinBcos AsinBcosAsinAsinB因为在三角形中,所以,0si
10、nB 2cos AcosAsinA即,2分 10cosAsinAcosAsinA当时,cosAsin A,4A当时,1cosAsinA21,0cos Asin AsinAcosAsinA cos0,2AA由于 所以 5分 0,2A,4A故 30,4B又 72,444B所以由 1sin 21,4B 2sin 2,24f BB所以的取值范围是 8分 f B22,2219.解(1)以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如OOAOB、xy图所示,则 100,0,50,50,0,60,ACB设曲线段所在抛物线的方程为 BC(0),yaxb a由题意可知,点和在此抛物线上,0,100B50
11、,50C故 0.02,100ab 所以曲线段的方程为：4分 BC0.02 100 050yxx(2)由题意，线段AC的方程为：100 50100yxx 当点D在曲线段BC上时，0.02 1003050Sxxx当点D在线段AC上时，10050 70Sxxx 所以 4分 20.02100,3050,100,5070.xxxf xxxx(3)当时,令,得3050 x 0.06 100,fxx 0.06 1000 x (舍去)150 6,3x 250 63x 当 时,当 时,50 630,3x 0;fx50 6,503x 0.fx因此当 时,是极大值,也是最大50 63x 50 61000 639Sf
12、值4分 当时 5070 x 2,502500f xx 当时,是最大值6分 50 x 502500Sf因为 10000 625009所以时,取得最大值，此时 50 63x S50 6 200,33D所以当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积最大7分 S20.解(1)由题意,0,0(0),0,1AaF ccE由题意，,故 所以 90AEF0,EA EF 1ac 又,所以 1ac215,2a所以椭圆的标准方程为 4分 221152xy(2)当时,椭圆方程为 2a 221,4xy由对称性，不妨设点在轴上方，则直线AP的方程为，代入椭圆方程，得Px2yx,解得 (舍去),所以
13、32516120 xx2x 26,5x 6 4,5 5P分 所以5分 142 325PAFpSAFy(3)设则 00,P xy220021xya直线的方程为所以 BD 中点 AP00,yyxaxa002,ayD axa00,ayM axa直线PF方程为 3分 000.yxcxc y 点到直线的距离 MPF 00002200ayyacxcxadyxc 2000000002200002|1acxaxcaacxxaxaayyyMBcxaxxaxcaa所以以为直径的圆与直线相切7分 BDPF21.解(1)由题意,解得4分 33221aa 34a(2)必要性：若数列是等差数列，设公差为，nad则 所以数
14、列是常数列.2分 1,mmmbaadmb充分性：若数列 是常数列，mb则 即 11,2,2,mmbbmn1121,2,2.mmmmaaaamn所以 或 112mmmmaaaa112.mmmmaaaa 因为数列 的各项互不相同，所以 na112.mmmmaaaa所以数列 是等差数列.6分 na(3)当时,因为 所以,不符合题意；3m 121,2,iiaai12235aaaa当时,数列为.此时,符合题意；4m 3,2,4,11223346aaaaaa当时,数列为.此时,符合题5m 2,3,4,5,1122334457aaaaaaaa意;3分 下证当时，不存在满足题意.6m m令 11,2,1,kk
15、kbaakm则 且 1211,mbbb112,mkkbm所以 有以下三种可能：kb 1,1,2,24,1kkmbkm 1,1,2,32,2,3,1kkmbkmkm 1,1,2,4.2,3,2,1kkmbkmmm当 时，因为 1,1,2,24,1kkmbkm122,mbbb由(2)知:是公差为1(或)的等差数列。121,ma aa1当公差为1时，由 得 或 14mb14mmaa14mmaa所以 或，与已知矛盾.1142mmaaamm154mmmaaa当公差为时，同理得出与已知矛盾 1所以当 时，不存在满足题意.1,1,2,24,1kkmbkmm其它情况同理可得.综上可知,的所有取值为 4 或 58 分m
