1、第 1 页 2022 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学高三数学 试卷试卷 2022.12 一、填空题一、填空题 1.已知全集 U=R，集合|0Ax x=，则A=_ 2.在复平面内，复数 z 所对应的点的坐标为()11，则z z=_ 3.不等式25123xxx+的解集为_ 4.函数tanyx=在区间3,22上的零点是_ 5.已知()f x是定义域在 R 的奇函数，且0 x 时，()1xf xe=，则()f x的值域是_ 6.在92xx的二项展开式中，3x项的系数是_ 7.已知圆锥的侧面积为2，且侧面展开图为半圆，则该圆锥底面半径为_ 8.在数列 na中，
2、12a=，且()1lg21nnnaann=+，则100a=_ 9.某中学从甲、乙两个班中各选出 15 名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分 100 分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图，设成绩在 88 分以上（含 88 分）的学生中各取 1 人，记甲班选取的学生成绩不低于乙班取得学生成绩记为事件 A，则事件 A 发生的概率 P(A)=_ 10.在ABC中，AC=4，且AC在AB方向上的数量投影是2，则()BCBAR的最小值为_ 11.设kR，函数243yxx=+的图像与直线1ykx=+有四个交点，且这些交点的横坐标分别为()12341234,x x x xxxxx，则22221234xx
3、xxk+的取值范围为_ 12.已知正实数,a b满足326ab+=，则2221babb+的最小值为_ 第 2 页 二、选择题二、选择题 13.设0ab，则“ab”是“11ab”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 14.已知圆1C的半径为 3，圆2C的半径为 7，若两圆相交，则两圆的圆心距可能是（）A.0 B.4 C.8 D.12 15.已知平面,两两垂直，直线,a b c满足：,abc，则直线,a b c位置关系不可能是（）A.两两垂直 B.两两平行 C.两两相交 D.两两异面 16.设数列 na为：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4、1 1 1 11,2 2 4 4 4 4 8 8 8 8 8 8 8 8，其中第 1 项为11，接下来 2 项均为12，再接下来 4 项均为14，再接下来 8 项均为1,8，以此类推，记1nniiSa=，现有如下命题：存在正整数 k，使得1kak；数列nSn是严格减数列，下列判断正确的是（）A.和均为真命题 B.和均为假命题 C.为真命题，为假命题 D.为假命题，为真命题 三三、解答题解答题 17.如图，在直三棱柱111ABCABC中，AB=AC=2，114,AAABAC BEAB=交1AA于点 E，D 为1CC的中点.（1）求证：BE 平面1ABC；（2）求直线1B D与平面1ABC所成角的
5、大小.第 3 页 18.已知()()()21ln12f xxaxaxaR=+.（1）当0a=时，求函数()yf x=在点()()1,1f处的切线方程；（2）当(0,1a时，求函数()yf x=的单调区间.19.近年来，为“加大城市公园绿地建设力度，形成布局合理的公园体系”，许多城市陆续建起众多“口袋公园”，现计划在一块边长为 200 米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”。如图所示，以 EF中点 A 为圆心，FG 为半径的扇形草坪区 ABC，点 P 在弧 BC 上（不与端点重合），AB、弧 BC、CA、PQ、PR、RQ 为步行道，其中 PQ 与 AB 垂直，PR 与 AC 垂直，设PAB
6、=.（1）如果点 P 位于弧 BC 的中点，求三条步行道 PQ、PR、RQ 的总长度；（2）“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用，为此街道允许在步行道 PQ、PR、RQ 开辟临时摊点，积极推进“地摊经济”发展，预计每年能产生的经济效益分别为每米 5 万元、5 万元及 5.9 万元，则这三条步行道每年能产生的经济效益最高为多少?（精确到 1 万元）20.已知曲线1C的方程为()221,1,2,3iixyR i+=，直线():1,l yk xkR=+.（1）若曲线1C是焦点在x轴上且离心率为22的椭圆，求1的值；（2）若21,1k=时，直线 l 与曲线2C相交
7、于两点 M，N，且2MN=，求曲线2C的方程；（3）若直线 l 与曲线iC在第一象限交于点(),iiiP x y，是否存在不全相等123,满足1322+=，且使得221 3xx x=成立，若存在，求出2x的值；若不存在，请说明理由.第 4 页 21.对于数列 ,nnxy，其中nyZ，对任意正整数 n 都有12nnxy，则称数列 ny为数列 nx的“接近数列”，已知 nb为数列 na的“接近数列”，且11,nnniniiiAa Bb=.（1）若14nan=+（n 是正整数），求1234,b b b b的值；（2）若139210nna+=+（n 是正整数），是否存在 k（k 是正整数），使得kkA
8、B，如果存在，请求出k 的最小值，如果不存在，请说明理由；（3）若 na为无穷等差数列，公差为 d，求证：数列 nb为等差数列的充要条件是dZ.第 5 页 参考答案参考答案 一一、填空题填空题 1.0 2.2 3.2,1 4.5.()1,1 6.672 7.1 8.4 9.29 10.2 3 11.182,3 12.2913 二二、选择题选择题 13.C 14.C 15.B 16.D 三三、解答题解答题 17.（1）证明略 （2）15arcsin15 18.（1）10y+=（2）当01a时，函数()yf x=的单调增区间为（0,1）及1,a+，单调减区间为11,a；当1a=时，函数()yf x=的单调增区间为()0,+19.（1）200 100 3+（米）（2）约 2022 万元 20.（1）2 （2）221xy+=或2231xy=（3）存在，1 21.（1）12341,2,3,4bbbb=（2）存在，17（3）证明略
