1、山东海南 2020 年新高考数学试卷 4 月 数学 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A D D A A A B BCD AC ABC BCD 13 2 e 146 1215 158 16 1 12 17 （本小题满分 10 分） 【解析】若选，m cos A 2，sin A 2 ，n cos A 2，sin A 2 ，且 1 2 m n 22 11 cossin,cos0, 222223 AA AAA .（3 分） 2 4,4sin4sin2 3 sin3 ABC a lBB A 4 3sin2 3 6 ABC lB .（6 分） = 36 2 ABCAB
2、锐角且， 2 ,62 3,6 3 633 ABC Bl .（10 分） cos A(2b-c)acos C 1 2 coscoscos2 coscos 2 bAaCcAbAbA 0, 23 AA .（3 分） 2 4,4sin4sin2 3 sin3 ABC a lBB A 4 3sin2 3 6 ABC lB = 36 2 ABCAB 锐角且， 2 ,62 3,6 3 633 ABC Bl .（10 分） f(x)cos x 1 2cos x 3 2sin x 1 4 1 2cos 2x 3 2cos xsin x 1 4 1 2 1cos 2x 2 3 2 sin 2x 2 1 4 1 2
3、 1 2cos 2x 3 2sin 2x 1 2sin 2x 6 ， 11 sin 2 462 fAA 0, 23 AA .（5 分） 2 4,4sin4sin2 3 sin3 ABC a lBB A 4 3sin2 3 6 ABC lB = 36 2 ABCAB 锐角且， 2 ,62 3,6 3 633 ABC Bl .（10 分） 18 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）当 n1 时， 1 2a 当2n时 a1a2a3 1n a 1 2n -得 1 2n n a 经检验 1 a不符合上式 1 2,1 2,2 n n n a n .（6 分） （2）由（1）得当 n1 时 1 2b
4、当2n时 n2n bn 1log a11nn（）, n 11111 2 b11211 n nnnn . n 12n 111521 . bbb421 n S n n .（12 分） 19 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）取 BC 的中点 F，连接 EF，HF. H，F 分别为 AC，BC 的中点， HFAB，且 AB2HF. 又 DEAB，AB2DE， HFDE 且 HFDE， 四边形 DEFH 为平行四边形 EFDH， 又 D 点在平面 ABC 内的正投影为 AC 的中点 H， DH平面 ABC， EF平面 ABC，EFBCE 面ECBABC面面.（5 分） （2）DH平面 ABC，
5、ACBC， 以 C 为原点，建立空间直角坐标系, 则 B(0,2,0)，D 1 2，0，1 ， 0,1,1E 设平面 CDE 的法向量n(x，y，z)， CD 1 2，0，1 ，CE 0,1,1， 则 1 0 2 0 xz yz 取 y1，则 x2，z-1. n(2,1,1)， 1 , 2,1 2 BD 2 14 sincos, 21 BD n BD n BD n BD 与面 CDE 夹角的余弦值为 385 21 .（12 分） 20 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）由题意 22 22 222 ( 2)1 1 22 ab ac abc ，解得 2 2 2 a b c ， 故椭圆C的方
6、程为 22 1 42 xy .（4 分） （2）设 11 ( ,)P x y、 22 (,)Q xy. 将直线与椭圆的方程联立得： 22 3 1 42 yk x xy ， 消去y，整理得 2222 (21)121840kxk xk. 由根与系数之间的关系可得： 2 12 2 12 21 k xx k ， 2 12 2 184 21 k x x k . 点P关于y轴的对称点为 P ，则 11 ( ,)P xy 直线P Q 的斜率 21 21 yy k xx 方程为： 21 11 21 () yy yyxx xx ，即 2121 11 2121 () yyxx yxxy xxyy 21211211
7、 2121 ()() () yyyy xxx y x xxyy 211221 2121 () yyx yx y x xxyy 211221 2121 (3)(3) () (3)(3) yyx k xx k x x xxk xk x 211212 2112 23() () 6 yyx xxx x xxxx 22 22 21 2 21 2 18412 23 2121 () 12 6 21 kk yy kk x kxx k 21 21 4 () 3 yy x xx . 直线P Q 过x轴上定点 4 ( ,0) 3 （12 分） 21 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1） 46565666667
8、6 0.010 100.020 100.045 10 222 x 76868696 0.020 100.005 10 22 70.（3 分） （2）由题意样本方差 2 100s ，故 2 10s . 所以 2 (70,10 )XN， 由题意，该厂生产的产品为正品的概率(6090)(6070)(7090)PPXPXPX 1 (0.68270.9545)0.8186 2 .（6 分） （3）X 所有可能为 0,1,2,3. 03 35 3 8 5 0 28 C C P X C 12 35 3 8 15 1 28 C C P X C 21 35 3 8 15 2 56 C C P X C 30 35
9、 3 8 1 3 56 C C P X C .（10 分） X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 5 28 15 28 15 56 1 56 9 8 E X .（12 分） 22 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1） 21 x fxeax，记( )( )21 x g xfxeax，则( )2 x g xea. 由( )0g x ，即20 x ea ，解得ln2xa. 当ln2xa时， ( )0g x ，函数 ( )g x单调递减； 当ln2xa时， ( )0g x，函数( )g x单调递增.（4 分） （2）由题意，函数 ( )f x有两个极值点 12 ,x x，记函数( )g x有两
10、个零点 12 ,x x，不妨设 12 xx， 则 1 (,ln2 )xa ， 2 (ln2 ,)xa. 所以 12 ln2xax 记 ( )( )(2ln2)p xg xgax 2ln2 22 (2ln2) xa x eaxeaax 2 (2 )44 ln2 xx ea eaxaa 2 ( )(2 )4 xx p xea ea 由均值不等式可得 2 ( )2(2 )4440 xx p xea eaaa （当且仅当 2 (2 ) xx ea e，即ln2xa 时，等号成立）. 所以函数( )p x在R上单调递增. 由 2 ln2xa，可得 2 ()(ln2 )0p xpa，即 22 ()(2ln2)0g xgax， 又因为 12 ,x x为函数( )g x的两个零点，所以 12 ( )()g xg x， 所以 12 ( )(2ln2)g xgax， 又 2 ln2xa，所以 2 2ln2ln2axa， 又函数( )g x在(,ln2 )a上单调递减， 所以 12 2ln2xax，即 12 2ln2xxa.（12 分）
