1、 2.3.2双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 一、知识再现一、知识再现 前面我们学习了椭圆前面我们学习了椭圆 的简单的几何性质：的简单的几何性质： 范围、对称性、顶点、离心率范围、对称性、顶点、离心率. 我们来共同回顾一下椭圆我们来共同回顾一下椭圆 x2/a2+y2/b2=1(ab0) 几何性质的具体内容及其研究方法几何性质的具体内容及其研究方法. 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b y a x 椭 圆 标准方程 x2/a2+y2/b2=1(ab0) 几何 图形 范围 对称性 顶点 a、b、c的 含义 离心率e定 义 B2 B1 y x A2 A1 0 F1 F
2、2 x |x |a 、|y | b x2/ a2 1 、y 2/ b2 1 中心对称，轴对称 -x代x、-y代y A1(-a,0 ) , A2(a,0) B1(0-b ) , B2(0,b) 分别令x=0，y=0 a (长半轴长) c（半焦距长） b（短半轴长) a2=b2+c2 焦距与长轴长的比 e=c/a 0 0) x2/a2-y2/b2=1(a0、 b0) 几何 图形 范围 对称性 顶点 a,b,c的含义 离心率e 的定义 x2 /a2 1 、y 2/ b2 1 -x代x、-y代y 分别令x=0，y=0 x a 或 x -a 中心对称，轴对称 A1(-a,0 ) 、A2(a,0) a （
3、实半轴长）（实半轴长）c （半焦距长）（半焦距长） b （虚半轴长）（虚半轴长） a2=c2-b2 焦距与实轴长的比 e=c/a e1 a (长半轴长长半轴长) c（半焦距长）（半焦距长） b（短半轴长（短半轴长) a2=b2+c2 焦距与长轴长的比 e=c/a 00) y2/a2-x2/b2=1(a0、 b0) 几何 图形 范围 x a 或 x -a 对称性 中心对称，轴对称 顶 点 a、b、c 的含义 离心率 e 焦距与实轴长的比 e=c/a e1 y a 或 y -a 中心对称，轴对称 A1(0,-a ) , A2(0,a) A1(- a, 0) , A2(a, 0) a（实半轴长） c
4、（半焦距长） b（虚半轴长） a2=c2-b2 a （实半轴长） c（半焦距长） b （虚半轴长） a2=c2-b2 焦距与实轴长的比 e=c/a e1 y x o A2 A1 B1 B2 F1 F2 y F2 A2 A1 B2 0 x F1 x=a x=-a y=a y=-a B1 四、四、让我们来讨论让我们来讨论 双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的 交点，你认为对吗？讨论并给出答案交点，你认为对吗？讨论并给出答案. y F2 B1 A2 A1 B2 0 x F1 五、让我们共同分析五、让我们共同分析 例例1、求双曲线、求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴
5、长和的实半轴长和 虚半轴长、焦点坐标、离心率虚半轴长、焦点坐标、离心率. 分析：分析： 化为标准方程：化为标准方程： y2/16-x2/9=1 确定焦点位置：在确定焦点位置：在y轴上轴上 找出找出a、b的值：的值：a=4,b=3 代入关系式代入关系式c2=a2+b2=25 、e=c/a=5/4 写出结果：写出结果：a=4,b=3,F1(0, 5),F2(0,-5),e=5/4. 六、练六、练一练一练 求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长及顶点坐标求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长及顶点坐标. (1)x2-4y2=16 (2) x2/49-y2/25=-1 解答：（解答：（1）a=4,b=2,A1(-
6、4,0),A2(4,0) （2）a=5,b=7,A1(0,-5),A2(0,5) 请思考：请思考：如若求半焦距长和离心率呢？如若求半焦距长和离心率呢？ 小结：关键在于求小结：关键在于求实半轴实半轴a的长和虚半轴的长和虚半轴b的长，的长， 然后代入关系式然后代入关系式c2=a2+b2、e=c/a求半焦距求半焦距c的长的长 及离心率及离心率. 七、让我们继续研究七、让我们继续研究 请观察双曲线的图象和矩形对角线请观察双曲线的图象和矩形对角线,有何特征？有何特征？ 双曲线双曲线 x2/a2-y2/b2=1(a0、b0)的各支向外延伸的各支向外延伸 时，与矩形的两条对角线所在的直线逐渐接近时，与矩形的
7、两条对角线所在的直线逐渐接近. 请思考：结论正确吗请思考：结论正确吗? F2 y B1 A2 A1 B2 0 x F1 （一）、我们共同来设计一个方案：（一）、我们共同来设计一个方案： 八、我们一起来证明八、我们一起来证明 1、由双曲线的对称性我们只需研究第一象限的情形；、由双曲线的对称性我们只需研究第一象限的情形； 2、如何说明如何说明双曲线双曲线 x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩形的对角线所在第一象限内与矩形的对角线所 在的直线逐渐接近且不相交呢？在的直线逐渐接近且不相交呢？ M(x,y) Q Q （2）如何）如何说明说明|MQ|逐渐减小且不等于逐渐减小且不等于0呢？呢？ 0 x
8、 y b b a a L N(x,Y)N(x,Y) （3）如何证明）如何证明|MN|逐渐减小且不等于逐渐减小且不等于0呢？呢？ 我们可用方程的思想解决：我们可用方程的思想解决： |MN|=Y- y，求出，求出M、N点坐标即可点坐标即可. 为此我们过点为此我们过点M作一条直线作一条直线L与与y轴平行，交轴平行，交 矩形对角线与矩形对角线与N点，坐标记为点，坐标记为N（ x ，Y）.我我 们需证明们需证明N点在点在M点上方，即证点上方，即证y Y.又又 |MQ| |MN| ，所只需证明，所只需证明|MN|逐渐减小且逐渐减小且 不等于不等于0即可即可. （1）我们在第一象限内双曲线图象上任取一点）我
9、们在第一象限内双曲线图象上任取一点M（x, y ），过），过 M点向矩形的对角线点向矩形的对角线y=bx/a引垂线，垂足为引垂线，垂足为Q点。我们只需说点。我们只需说 明明|MQ|逐渐减小且不等于逐渐减小且不等于0即可即可. a)a)(x(xa ax x a a b b y y 2 22 2 x x a a b b Y Y 2 22 2 a ax x a a b b y y 2 2 x x a a 1 1x x a a b b x x a a b b Y Y （二）、我们来证明二）、我们来证明 先取双曲线在第一象限内的部分进行证明这一部先取双曲线在第一象限内的部分进行证明这一部 分的方程可写为
10、分的方程可写为 0 x y N(x,Y)N(x,Y) Q Q M(x,y) y yY YMNMN) )a ax x(x(x a a b b 2 22 2 ) )a ax x(x(x ) )a ax x)(x)(xa ax x(x(x a a b b 2 22 2 2 22 22 22 2 ) )a ax x(x(x abab 2 22 2 在该式子中在该式子中x (xa)逐渐增大时，逐渐增大时， |MN|逐渐减小且不等于逐渐减小且不等于0. 又又|MQ| |MN|，所以，所以|MQ|逐渐减小且不等逐渐减小且不等 于于0.即双曲线即双曲线 x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩在第一象限内与
11、矩 形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交.在在 其它象限内，我们可类似证明其它象限内，我们可类似证明. y N(x,Y)N(x,Y) M(x,y) 0 x Q Q （三）、请注意：（三）、请注意： 1、当焦点在、当焦点在y轴上时也可类似证明具有同样性质；轴上时也可类似证明具有同样性质； 2、我们把两条直线、我们把两条直线 y =bx /a 叫做双曲线的叫做双曲线的渐近线渐近线. 3、当焦点在、当焦点在x轴上时，方程为轴上时，方程为 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，渐，渐 近线方程为近线方程为y =bx /a ； 当焦点在当焦点在y轴上时，方程为轴上
12、时，方程为y2/a2- x2/b2=1(a0,b0)，渐近，渐近 线方程为线方程为y =ax /b . 九、动脑筋九、动脑筋 1 1、如何求双曲线的渐近线？、如何求双曲线的渐近线？ 例：例：求下列双曲线求下列双曲线 的渐近线的渐近线 （1 1） 9y2-16x2=144； （2 2） 9y2-16x2= -144 . 规律总结：规律总结： （1）求矩形对角线所在的直线方程；）求矩形对角线所在的直线方程； 解答：解答：（1）y=4x/3 ， （2）y=4x/3 0 y b b a a （2）化成标准式后再将）化成标准式后再将1换成换成0或直接将常数项换为或直接将常数项换为0. 2、双曲线与其渐近
13、线之间是否是一对一关系？、双曲线与其渐近线之间是否是一对一关系？ 例：当渐近线方程为例：当渐近线方程为y=bx/a时，双曲线的标准方时，双曲线的标准方 程一定是程一定是x2/a2-y2/b2=1吗？为什么？吗？为什么？ x y=bx/a y=-bx/a 3、类比作椭圆的简图、类比作椭圆的简图,如何较规范地作出如何较规范地作出 双曲线的图形？双曲线的图形？ 例：画出下列双曲线的图形例：画出下列双曲线的图形 （1） 9y2-16x2=144； （2） x2 -y2= 4 . 注注:实轴和虚轴等长的双曲线实轴和虚轴等长的双曲线 叫做等轴双曲线叫做等轴双曲线. 0 y x M - 3 3 4 - 4
14、十、让我们来共同回顾十、让我们来共同回顾 本节课我们共同学习了那些内容：本节课我们共同学习了那些内容： 椭圆 双曲线 标准方程 x2/a2+y2/b2=1(ab 0) x2/a2-y2/b2=1(a0、 b0) 几何 图形 范围 |x |a 、|y | b x a 或 x -a 对称性 中心对称，轴对称 中心对称，轴对称 顶点 A1(-a,0 ) , A2(a,0) B1(0-b ) , B2(0,b) A1(-a,0 ) 、 A2(a,0) a,b,c的含义 a (长半轴长) c（半焦距长） b（短半轴长） a2=b2+c2 a （实半轴长）c （半焦距长） b （虚半轴长） a2=c2-b
15、2 离心率e定义 焦距与长轴长的比 e=c/a 00,b0) y2/a2-x2/b2=1(a0、b0) 几何 图形 范围 x a 或 x -a y a 或 y -a 对称性 中心对称，轴对称 中心对称，轴对称 顶 点 A1(-a,0 ) , A2(a,0) A1(0,-a ) , A2(0,a) a、b、c的含 义 a （实半轴长） c（半焦距） b （虚半轴长） a2=c2-b2 a（实半轴长） c（半焦距长） b（虚半轴长） a2=c2-b2 离心率e 焦距与实轴长的比 e=c/a e1 焦距与实轴长的比 e=c/a e1 y F2 B1 A2 A 1 B2 0 x F1 X=a X=-a
16、 y x o A2 A1 B1 B2 F1 F2 双曲线的渐近线双曲线的渐近线 y F2 y x o A2 A1 B1 B2 F1 F2 当焦点在当焦点在x轴上时，方程为轴上时，方程为 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，渐，渐 近线方程为近线方程为y =bx /a ； 当焦点在当焦点在y轴上时，方程为轴上时，方程为 y2/a2-x2/b2=1(a0,b0)，渐近，渐近 线方程为线方程为y =ax /b . B1 A2 A1 B2 0 x F1 X=a X=-a 1 1、离心率、离心率e e的变化对双曲线图形有何影响？的变化对双曲线图形有何影响？ 如何解释？如何解释？ 十一、课后请你思考题十一、课后请你思考题 0 y b b a a F1 C F2 x 0 y e1 e2 e3 e4 2、 如图，双曲线和椭圆的离心率分别为如图，双曲线和椭圆的离心率分别为e1、 e2、e3、e4, 试比较试比较e1、e2、e3、e4 的大小的大小.
