1、第第十十章章 统计与概率统计与概率 第第十十章章 第第九九节节 随机变量的数字特征与正态分布随机变量的数字特征与正态分布(理理) 基础梳理导学基础梳理导学 思想方法技巧思想方法技巧 课堂巩固训练课堂巩固训练 4 考点典例讲练考点典例讲练 3 课后强化作业课后强化作业 5 基础梳理导学基础梳理导学 重点难点 引领方向 重点：掌握随机变量的期望、方差和正态分布的概念 难点：随机变量的期望与方差的意义、正态曲线的性质 夯实基础 稳固根基 1离散型随机变量的均值、方差 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称 E(X)x1p1x2p2xip
2、ixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望，它刻画了离散型随机变量取值的平均水 平 1.图片对齐 在我们插入PPT图片或是输入文字的时候，为了整齐都需要将插入的文本框对齐 ，但是又不想一个一个的进行操作，这时按住Ctrl键将需要进行对齐的文本选中 ，点击开始排列对齐垂直居中即可； 2.巧用格式刷 在制作PPT的时候为了保证PPT风格的统一，很多任通常会使用复制粘贴来确保 每一页PPT格式相同，这样对于少页数来说可以进行操作，但是碎玉多页面的话 就有点麻烦了，其实我们可以巧用格式刷：首先，在开始菜单栏下方有一个格式 刷，点击格式刷，很快就能看到效果； 3.去除所有动画效果 很多人在制作PPT的时
3、候都是直接在模板库里下载模板进行使用的，但是下载的 模板大多数都是有幻灯片的，这样在演讲的时候很不方便，怎样将其进行去除呢 ？单击幻灯片放映选择设置幻灯片放映，放映类型选择演讲者放映；换片方式 选择手动即可； 4.PPT快键 PPT逼格提升技巧逼格提升技巧 称 D(X) i1 n (xiE(X)2pi为随机变量 X 的方差，其算术 平方根 DX为随机变量 X 的标准差 方差和标准差刻画了随 机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度 (1)若 YaXb，其中 a、b 为常数，则 Y 也是随机变量 P(Y)P(aXb)P(Xxi)，i1,2，n， E(Y)E(aXb)aE(X)b. D(Y)D(a
4、Xb)a2D(X) (2)D(X)E(XE(X)2. 2两点分布、二项分布、超几何分布的均值、方差 (1)若 X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X) (2)若 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X) (3)若 X 服从参数为 N、M、n 的超几何分布，则 E(X) nM N . p(1p) np(1p) 3正态分布 (1)正态曲线 函数 f(x)，(x) 1 2e （x）2 22 ， xR.其中实数 和 为参数，我们称 f(x)的图象为正态曲线服从正态分布的随机 变量叫做正态变量 正态随机变量 X 落在区间a，b内的概率为： P(a2)1 212P(20) 1 2120.40.1. 答
5、案：0.1 例 5 某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据： 日销售量(件) 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 实际应用问题 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)， 设 某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货， 若发现存量少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货， 将频率视为概率 (1)求当天商店不进货的概率； (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布 列和数学期望 解析：(1)P(“当天商店不进货”)P(“当天商品销售量 为 0 件”)P(“当天商品销售量为 1 件”) 1 20 5 20 3 10. (2)由题意知，X 的可
6、能取值为 2,3. P(X2)P(“当天商品销售量为 1 件”) 5 20 1 4； P(X3)P(“当天商品销售量为0件”)P(“当天商品 的销售量为 2 件”)P(“当天商品销售量为 3件”) 1 20 9 20 5 20 3 4. 故 X 的分布列为 X 2 3 P 1 4 3 4 X 的数学期望为 E(X)21 43 3 4 11 4 . (2012 山西省联合模拟)某班级举行一次知识竞赛活动， 活 动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩(得分均为整 数，满分为 100 分)进行统计，制成如下频率分布表. 分数(分数段) 频数(人数) 频率 60,70) 0.16 70,80) 2
7、2 80,90) 14 0.28 90,100 合计 50 1 (1)填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空 格序号的答案)； (2)决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答 4 道小 题，答对 2 道题就终止答题，并获得一等奖如果前三道题 都答错，就不再答第四题某同学进入决赛，每道题答对的 概率 P 的值恰好与频率分布表中不少于 80 分的频率的值相 同 求该同学恰好答满 4 道题而获得一等奖的概率； 记该同学决赛中答题个数为 X，求 X 的分布列及数学 期望 解析 (1)8 0.44 6 0.12 (2)由(1)得 p0.4. 该同学恰好答满 4 题而获一等奖，即前 3 道题中刚好
8、 答对 1 道，第 4 道题也能够答对才获得一等奖，则有 C1 30.40.6 20.40.1728. 答对 2 题就终止答题，并获得一等奖，所以该同学答 题个数为 2、3、4.即 X2、3、4. X3 有两种情形，第一种是前两题有一题答对，第三题 答对；第二种情形是三道题全错X4 是指前 3 题中有一题 答对，两题答错，这时他一定回答第 4 题 P(X2)0.420.16； P(X3)C1 20.40.60.40.6 30.408； P(X4)C1 30.40.6 20.432， 分布列为： X 2 3 4 P 0.16 0.408 0.432 E(X)20.1630.40840.4323.
9、272. 例 6 从 5 名女生和 2 名男生中任选 3 人参加英语演讲 比赛，设随机变量 表示所选 3 人中男生的人数 (1)求 的分布列； (2)求 的数学期望； (3)求“所选 3 人中男生人数 1”的概率 超几何分布 解析： 可能取的值为 0、1、2，P(k)C k 2 C 3k 5 C3 7 ，k 0,1,2，所以 的分布列为 0 1 2 P 2 7 4 7 1 7 (2)由(1)得 的数学期望为 E()02 71 4 72 1 7 6 7. (3)由(1)知“所选 3 人中男生人数1”的概率为P(1) P(0)P(1)2 7 4 7 6 7. 厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家
10、将一批产品 发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品 做检验，以决定是否接收这批产品 (1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8， 从中任意 取出 4 件进行检验，求至少有 1 件是合格品的概率； (2)若厂家发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格按合 同规定该商家从中任取 2 件进行检验，只有 2 件都合格时才 接收这批产品，否则拒收求该商家可能检验出不合格产品 数 的分布列及数学期望 E()， 并求该商家拒收这批产品的概 率 解析：(1)记“厂家任取 4 件产品检验，其中至少有 1 件 是合格品”为事件 A，有 P(A)1P(A)10.240.9984. (2) 可
11、能的取值为 0、1、2. P(0)C 2 17 C2 20 68 95； P(1)C 1 3C 1 17 C2 20 51 190； P(2) C2 3 C2 20 3 190. 0 1 2 P 68 95 51 190 3 190 E()068 951 51 1902 3 190 3 10. 记“商家任取 2 件产品检验都合格”为事件 B， 则商家拒 收这批产品的概率 P1P(B)1P(0)27 95. 所以商家拒收这批产品的概率为27 95. 课堂巩固训练课堂巩固训练 一、选择题 1 已知随机变量服从正态分布N(2， 2)， P(4)0.84， 则 P(0)等于( ) A0.16 B0.3
12、2 C0.68 D0.84 答案 A 解析 P(4)0.84，2， P(4)10.840.16， P(0)0.16. 2(2011 潍坊模拟)设 X 为随机变量，XB(n， 1 3)，若随 机变量 X 的数学期望 E(X)2，则 P(X2)等于( ) A.13 16 B. 4 243 C. 13 243 D. 80 243 答案 D 解析 XB(n，1 3)，E(X)2， n 32，n6， P(X2)C2 6(1 3) 2 (2 3) 4 80 243. 二、解答题 3(2013 浙江金华一中 12 月月考试卷)某种鲜花进价每 束 2.5 元，售价每束 5 元，若卖不出，则以每束 1.6 元的
13、价格 处理掉某节日这种鲜花的需求量 X(单位：束)的分布列为 X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 (1)若进鲜花 400 束，求利润 Y 的均值 (2)试问：进多少束花可使利润 Y 的均值最大？ 解析 (1)销售量 S(单位：束)的分布列为 S 200 300 400 P 0.20 0.35 0.45 所以 E(S)2000.203000.354000.45325， 而 Y(52.5)S(400S)(1.62.5)3.4S360，所 以 E(Y)3.4E(S)3603.4325360745. (2)设进 n(n500)束花，当 400n500 时，销售量 S(单 位：束)的分布列为 S 200 300 400 n P 0.20 0.35 0.30 0.15 可得 E(S)0.15n265. Y3.4S0.9n，E(Y)3.4E(S)0.9n0.39n901； 同理可对其它区间讨论后得， E(Y) 2.5nn200， 1.82n136200n300， 0.63n493300n400， 0.39n901400n500. 易知，n400 时，E(Y)取最大值 745. 因此进 400 束花可使利润 y 的均值最大 课后强化作业课后强化作业（点此链接）（点此链接）
