1、1 十年（20102019）数学高考真题分类汇编 导数与定积分 1.(2019全国 2T 文 T10)曲线 y=2sin x+cos x 在点(,-1)处的切线方程为( ) A.x-y-1=0 B.2x-y-2-1=0 C.2x+y-2+1=0 D.x+y-+1=0 2.(2019全国 3T 理 T6 文 T7)已知曲线 y=ae x+xln x 在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则 ( ) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e -1,b=1 D.a=e-1,b=-1 3.(2018全国 1理 T5 文 T6)设函数 f(x)=x 3+(a-1)x2+ax,若 f(
2、x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的 切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 4.(2017全国 2理 T11)若 x=-2 是函数 f(x)=(x 2+ax-1)ex-1的极值点,则 f(x)的极小值为( ) A.-1 B.-2e -3 C.5e-3 D.1 5.(2017浙江T7)函数 y=f(x)的导函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是 ( ) 6.(2016山东理 T10)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则 称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性
3、质的是( ) A.y=sin xB.y=ln x C.y=e x D.y=x3 7.(2016全国 1文 T12)若函数 f(x)=x-1 3sin 2x+asin x 在(-,+)单调递增,则 a 的取值范围是( ) A.-1,1 B.*-1, 1 3+ C.*- 1 3, 1 3+ D.*-1,- 1 3+ 8.(2016四川理T9)设直线l1,l2分别是函数f(x)=-lnx,0 0 时,xf(x)-f(x)0 成立的 x 的取值范围是( ) A.(-,-1)(0,1) B.(-1,0)(1,+) C.(-,-1)(-1,0) D.(0,1)(1,+) 10.(2015全国 1理 T12
4、)设函数 f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中 a0.若曲线 y=x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a 2,则 a=. 46.(2019全国 3文 T20)已知函数 f(x)=2x 3-ax2+2. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 02. 56.(2018全国 2理 T21)已知函数 f(x)=e x-ax2. (1)若 a=1,证明:当 x0 时,f(x)1; (2)若 f(x)在(0,+)只有一个零点,求 a. 57.(2018全国 2文 T21 度)已知函数 f(x)=1 3x 3-a(x2+x+1). (1)若 a=3,求 f(x)的单调区间; (2)
5、证明:f(x)只有一个零点. 58.(2018天津理 T20)已知函数 f(x)=a x,g(x)=log ax,其中 a1. (1)求函数 h(x)=f(x)-xln a 的单调区间; (2)若曲线 y=f(x)在点(x1,f(x1)处的切线与曲线 y=g(x)在点(x2,g(x2) 处的切线平行,证明 x1+g(x2)=-2lnlna lna ; (3)证明当 ae 1 e时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=g(x)的切线. 59.(2018天津文 T20)设函数 f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中 t1,t2,t3R,且 t1,t2,t3
6、是公差为 d 的等差 数列. (1)若 t2=0,d=1,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程; (2)若 d=3,求 f(x)的极值; 7 (3)若曲线 y=f(x)与直线 y=-(x-t2)-6 3有三个互异的公共点,求 d 的取值范围. 60.(2018北京理 T18 文 T19)设函数 f(x)=ax 2-(4a+1)x+4a+3ex. (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与 x 轴平行,求 a; (2)若 f(x)在 x=2 处取得极小值,求 a 的取值范围. 61.(2018江苏T19)记 f(x),g(x)分别为函数 f(x),g(x)的导函数.若存
7、在 x0R,满足 f(x0)=g(x0),且 f(x0)=g(x0),则称 x0为函数 f(x)与 g(x)的一个“S 点”. (1)证明:函数 f(x)=x 与 g(x)=x 2+2x-2 不存在“S 点”; (2)若函数 f(x)=ax 2-1 与 g(x)=ln x 存在“S 点”,求实数 a 的值; (3)已知函数f(x)=-x 2+a,g(x)=bex x .对任意a0,判断是否存在b0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+)内存在 “S 点”,并说明理由. 62.(2018全国 1理 T21)已知函数 f(x)=1 x-x+aln x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若
8、f(x)存在两个极值点 x1,x2,证明:f(x1)-f(x2) x1-x2 0; (2)若 x=0 是 f(x)的极大值点,求 a. 65.(2018全国 3,文 21,12 分,难度)已知函数 f(x)=ax 2+x-1 ex . (1)求曲线 y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程; (2)证明:当 a1 时,f(x)+e0. 66.(2018浙江T22)已知函数 f(x)=-ln x. (1)若 f(x)在 x=x1,x2(x1x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)8-8ln 2; (2)若 a3-4ln 2,证明:对于任意 k0,直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯
9、一公共点. 67.(2018江苏T17)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P 为此圆弧的中点)和 线段 MN 构成.已知圆 O 的半径为 40 米,点 P 到 MN 的距离为 50 米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大 棚内的地块形状为矩形 ABCD,大棚内的地块形状为CDP,要求 A,B 均在线段 MN 上,C,D 均在圆弧上.设 OC 与 MN 所成的角为. 8 (1)用分别表示矩形 ABCD 和CDP 的面积,并确定 sin的取值范围; (2)若大棚内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43.求 当为何值时,能使甲
10、、乙两种蔬菜的年总产值最大. 68.(2017全国 3理 T21)已知函数 f(x)=x-1-aln x. (1)若 f(x)0,求 a 的值; (2)设 m 为整数,且对于任意正整数 n,(1 + 1 2)(1 + 1 22)(1 + 1 2n)3a; (3)若 f(x),f(x)这两个函数的所有极值之和不小于-7 2,求 a 的取值范围. 78.(2017北京理 T19)已知函数 f(x)=e xcos x-x. (1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程; (2)求函数 f(x)在区间*0, 2+上的最大值和最小值. 79.(2017浙江T20)已知函数 f(x)=(x-2
11、x-1)e -x(x 1 2). (1)求 f(x)的导函数; (2)求 f(x)在区间*1 2, + )上的取值范围. 80.(2016全国 2理 T21)(1)讨论函数 f(x)=x-2 x+2e x的单调性,并证明当 x0 时,(x-2)ex+x+20; (2)证明:当 a0,1)时,函数 g(x)=e x-ax-a x2 (x0)有最小值.设 g(x)的最小值为 h(a),求函数 h(a)的值域. 81.(2016天津,理 20,12 分,难度)设函数 f(x)=(x-1) 3-ax-b,xR,其中 a,bR. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)存在极值点 x0,且 f
12、(x1)=f(x0),其中 x1x0,求证:x1+2x0=3; (3)设 a0,函数 g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间0,2上的最大值不小于 1 4. 10 82.(2016全国 2文 T20)已知函数 f(x)=(x+1)ln x-a(x-1). (1)当 a=4 时,求曲线 y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程; (2)若当 x(1,+)时,f(x)0,求 a 的取值范围. 83.(2016四川文 T21)设函数 f(x)=ax 2-a-ln x,g(x)=1 x e ex其中 aR,e=2.718为自然对数的底数. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)证明:当 x1 时
13、,g(x)0; (3)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)g(x)在区间(1,+)内恒成立. 84.(2016全国 3理 T21)设函数 f(x)=cos 2x+(-1)(cos x+1),其中 0,记|f(x)|的最大值为 A. (1)求 f(x); (2)求 A; (3)证明|f(x)|2A. 85.(2016全国 3文 T21)设函数 f(x)=ln x-x+1. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)证明当 x(1,+)时,1c x. 86.(2016全国 1,理 21,12 分,难度)已知函数 f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2有两个零点. (1)求 a 的取值范围; (
14、2)设 x1,x2是 f(x)的两个零点,证明:x1+x20,f(x)0 成立,求 a 的取值范围. 91.(2015全国 2文 T21)已知函数 f(x)=ln x+a(1-x). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围. 92.(2015全国 2理 T21)设函数 f(x)=e mx+x2-mx. (1)证明:f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增; (2)若对于任意 x1,x2-1,1,都有|f(x1)-f(x2)|e-1,求 m 的取值范围. 93.(2015全国 1文 T21)设函数 f(x)=e 2x-
15、aln x. (1)讨论 f(x)的导函数 f(x)零点的个数; (2)证明:当 a0 时,f(x)2a+aln 2 a. 94.(2015天津理 T20)已知函数 f(x)=nx-x n,xR,其中 nN*,且 n2. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y=g(x),求证:对于任意的正实数 x, 都有 f(x)g(x); (3)若关于 x 的方程 f(x)=a(a 为实数)有两个正实数根 x1,x2,求证:|x2-x1|0),讨论 h(x)零点的个数. 96.(2015江苏理 T19)已知函数 f(x)=x
16、3+ax2+b(a,bR). (1)试讨论 f(x)的单调性; (2)若 b=c-a(实数 c 是与 a 无关的常数),当函数 f(x)有三个不同的零 点时,a 的取值范围恰好是(-,-3)(1, 3 2) ( 3 2, + ),求 c 的值. 97.(2015北京文 T19)设函数 f(x)= 2 2 -kln x,k0. (1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1,上仅有一个零点. 98.(2015浙江文 T20)设函数 f(x)=x 2+ax+b(a,bR). (1)当 b= 2 4 +1 时,求函数 f(x)在-1,1上的最小值 g(
17、a)的表达式; (2)已知函数 f(x)在-1,1上存在零点,0b-2a1.求 b 的取值范围. 12 99.(2014全国 2文 T21)已知函数 f(x)=x 3-3x2+ax+2,曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐 标为-2. (1)求 a; (2)证明:当 k0 时,g(x)0,求 b 的最大值; (3)已知 1.414 20. 104.(2013全国 2文 T21)已知函数 f(x)=x 2e-x. (1)求 f(x)的极小值和极大值; (2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围. 105.(2013重庆文 T2
18、0)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100 元/平方米,底面的建 造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000 元( 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. 106.(2013全国1 理T21)设函数f(x)=x 2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2), 且在点 P 处
19、有相同的切线 y=4x+2. 13 (1)求 a,b,c,d 的值; (2)若 x-2 时,f(x)kg(x),求 k 的取值范围. 107.(2013全国 1文 T20)已知函数 f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值. 108.(2012全国理 T21)已知函数 f(x)满足 f(x)=f(1)e x-1-f(0)x+1 2x 2. (1)求 f(x)的解析式及单调区间; (2)若 f(x)1 2x 2+ax+b,求(a+1)b 的最大值.
20、109.(2012全国文 T21)设函数 f(x)=e x-ax-2. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 a=1,k 为整数,且当 x0 时,(x-k)f(x)+x+10,求 k 的最大值. 110.(2012全国文 T21)设函数 f(x)=e x-ax-2. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 a=1,k 为整数,且当 x0 时,(x-k)f(x)+x+10,求 k 的最大值. 111.(2011山东理 T21)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱 形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为80 3 立方米,且 l2r.假设该容器的
21、建造费用仅与其表 面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元.设该容 器的建造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r. 112.(2011全国理 T21)已知函数 f(x)=alnx x+1 + b x,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 x+2y-3=0. (1)求 a,b 的值; (2)如果当 x0,且 x1 时,f(x)lnx x-1 + k x,求 k 的取值范围. 14 113.(2011全国文 T21)已知函数 f(x)=alnx x+1
22、 + b x,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 x+2y-3=0. (1)求 a,b 的值; (2)证明:当 x0,且 x1 时,f(x)lnx x-1. 114.(2010全国理 T21)设函数 f(x)=e x-1-x-ax2. (1)若 a=0,求 f(x)的单调区间; (2)若当 x0 时 f(x)0,求 a 的取值范围. 115.(2010全国文 T21)设函数 f(x)=x(e x-1)-ax2. (1)若 a=1 2,求 f(x)的单调区间; (2)若当 x0 时 f(x)0,求 a 的取值范围. 15 十年（20102019）数学高考真题分类汇编 导数与定积分
23、 1.(2019全国 2T 文 T10)曲线 y=2sin x+cos x 在点(,-1)处的切线方程为( ) A.x-y-1=0 B.2x-y-2-1=0 C.2x+y-2+1=0 D.x+y-+1=0 【答案】C 【解析】当 x= 时,y=2sin +cos =-1,即点(,-1)在曲线 y=2sin x+cos x 上. y=2cos x-sin x, y|x=2cos -sin =-2. 曲线 y=2sin x+cos x 在点(,-1)处的切线方程为 y-(-1)=-2(x-),即 2x+y-2+1=0.故选 C. 2.(2019全国 3T 理 T6 文 T7)已知曲线 y=ae x
24、+xln x 在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则 ( ) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e -1,b=1 D.a=e-1,b=-1 【答案】D 【解析】y=ae x+ln x+1, k=y|x=1=ae+1=2, ae=1,a=e -1. 将点(1,1)代入 y=2x+b,得 2+b=1, b=-1. 3.(2018全国 1理 T5 文 T6)设函数 f(x)=x 3+(a-1)x2+ax,若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的 切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 【答案】D 【解析】因为 f(x)为
25、奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即-x 3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得 a=1,则 f(x)=x3+x. 由 f(x)=3x 2+1,得曲线 y=f(x)在(0,0)处的切线斜率 k=f(0)=1.故切线方程为 y=x. 4.(2017全国 2理 T11)若 x=-2 是函数 f(x)=(x 2+ax-1)ex-1的极值点,则 f(x)的极小值为( ) A.-1 B.-2e -3 C.5e-3 D.1 【答案】A 【解析】由题意可得, f(x)=(2x+a)e x-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1. 16 因为 x=-2 是
26、函数 f(x)的极值点, 所以 f(-2)=0.所以 a=-1. 所以 f(x)=(x 2-x-1)ex-1. 所以 f(x)=(x 2+x-2)ex-1. 令 f(x)=0,解得 x1=-2,x2=1. 当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x (-,-2) -2 (-2,1) 1 (1,+) f(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 选 A. 5.(2017浙江T7)函数 y=f(x)的导函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是 ( ) 【答案】D 【解析】设导函数 y=f(x)的三个零点分别为 x1,x2,x3,且 x11,00 时
27、,令 F(x)=f(x) x ,则 F(x)=xf(x)-f(x) x2 0 时,F(x)=f(x) x 为减函数. f(x)为奇函数,且由 f(-1)=0,得 f(1)=0,故 F(1)=0. 在区间(0,1)上,F(x)0; 在(1,+)上,F(x)1 时,f(x)0;当 x(-1,0)时,f(x)0 的解集为(-,-1)(0,1).故选 A. 10.(2015全国 1理 T12)设函数 f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中 a0 时,f(x)=3ax 2-6x=3x(ax-2),易知函数 f(x)在(-,0)上单调递增. 又 f(0)=1,当 x-时,f(x)=x 2(ax-3)
28、+1-,故不适合题意;当 a0 就满足题意. 由 f(2 a)0,得 8 a2 12 a2+10,解得 a2(舍去).故 a 1 4,解得 m2.故选 C. 16.(2014湖北理 T6)若函数 f(x),g(x)满足 1 -1 f(x)g(x)dx=0,则称 f(x),g(x)为区间-1,1上的一组 正交函数.给出三组函数: f(x)=sin 1 2x,g(x)=cos 1 2x; f(x)=x+1,g(x)=x-1; f(x)=x,g(x)=x 2. 其中为区间-1,1上的正交函数的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】对于, 1 -1 (sin 1 2xcos
29、 1 2x)dx= 1 -1 1 2 sin xdx= 1 2 1 -1 sin xdx= 1 2 (-cos x)|-1 1 = 1 2 -cos 1-cos(-1)=1 2(-cos 1+cos 1)=0. 故为一组正交函数; 21 对于, 1 -1 (x+1)(x-1)dx= 1 -1 (x 2-1)dx=(1 3x 3-x)| -1 1 = 1 3-1-(- 1 3 + 1) = 2 3-2=- 4 30, 故不是一组正交函数; 对于, 1 -1 xx 2dx=1 -1 x 3dx=(1 4x 4)| -1 1 =0. 故为一组正交函数,故选 C. 17.(2014山东,理 6)直线
30、y=4x 与曲线 y=x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.22 B.42 C.2 D.4 【答案】D 【解析】由y = 4x, y = x3,解得 x=-2 或 x=0 或 x=2, 所以直线 y=4x 与曲线 y=x 3 在第一象限内围成的封闭图形面积应为 S= 2 0 (4x-x 3)dx=(2x2-1 4x 4)| 0 2 = (2 22- 1 4 24)-0=4. 18.(2013北京,理 7)直线 l 过抛物线 C:x 2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 ( ) A.4 3 B.2 C.8 3 D.162 3 【答案】C 【解析】
31、由题意可知,l 的方程为 y=1. 如图,B 点坐标为(2,1), 所求面积 S=4-2 2 0 x2 4dx=4-2( x3 12)|0 2 = 8 3,故选 C. 19.(2013全国 2理 T10 文 T11)已知函数 f(x)=x 3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ) A.x0R,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图象是中心对称图形 C.若 x0是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-,x0)单调递减 D.若 x0是 f(x)的极值点,则 f(x0)=0 【答案】C 【解析】x0是 f(x)的极小值点,则 y=f(x)的图象大致如下图所示,则在(-,x0)上不单调
32、,故 C 不正确. 22 20.(2013湖北,理7)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7-3t+ 25 1+t(t 的单 位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( ) A.1+25ln 5 B.8+25ln 11 3 C.4+25ln 5 D.4+50ln 2 【答案】C 【解析】由于 v(t)=7-3t+ 25 1+t,且汽车停止时速度为 0, 因此由 v(t)=0 可解得 t=4,即汽车从刹车到停止共用 4 s.该汽车在此期间所行驶的距离 s= 4 0 (7-3t + 25 1+t)dt=7t- 3t2 2 +
33、25ln(t + 1)|0 4 =4+25ln 5(m). 21.(2012湖北理 T3)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为( ) A.2 5 B.4 3 C.3 2 D. 2 【答案】B 【解析】 由图象可得二次函数的 【解析】 式为 f(x)=-x 2+1,则与 x 轴所围图形的面积 S=1 -1 (-x 2+1)dx=(-x3 3 + x)|-1 1 = 4 3. 22.(2011全国,理 9)由曲线 y=x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为( ) A.10 3 B.4 C.16 3 D.6 【答案】C 【解析】由题意知,所围成的面积
34、 4 0 x-(x-2)dx=(2 3x 3 2- 1 2x 2 + 2x)| 0 4 = 2 3 4 3 2 1 24 2+24=16 3 . 23.(2010全国,理 3)曲线 y= x x+2在点(-1,-1)处的切线方程为( ) A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=-2x-3 D.y=-2x-2 【答案】A 【解析】y= x+2-x (x+2)2 = 2 (x+2)2, 在点(-1,-1)处的切线方程的斜率为 2 (-1+2)2=2. 切线方程为 y+1=2(x+1),即 y=2x+1. 23 24.(2010全国文 T4)曲线 y=x 3-2x+1 在点(1,0)处的切线方程
35、为( ) A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2 D.y=-2x+2 【答案】A 【解析】y|x=1=(3x 2-2)| x=1=1,因此曲线在(1,0)处的切线方程为 y=x-1. 25.(2019全国 1T13)曲线 y=3(x 2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 . 【答案】y=3x 【解析】由题意可知 y=3(2x+1)e x+3(x2+x)ex =3(x 2+3x+1)ex, k=y|x=0=3. 曲线 y=3(x 2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 y=3x. 26.(2019天津文 T11)曲线 y=cos x-x 2在点(0,1)处的切线方程为 . 【答
36、案】x+2y-2=0 【解析】y=-sin x-1 2,y|x=0=k=- 1 2. 切线方程为 y-1=-1 2x,即 x+2y-2=0. 27.(2019江苏,11)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在曲线 y=ln x 上,且该曲线在点 A 处的切线经过点 (-e,-1)(e 为自然对数的底数),则点 A 的坐标是 . 【答案】(e,1) 【解析】设点 A(x0,y0),则 y0=ln x0, 又 y=1 x,当 x=x0时,y= 1 x0,点 A 在曲线 y=ln x 上的切线为 y-y0= 1 x0(x-x0),即 y-ln x0= x x0-1,代入点(-e,-1), 得-1-
37、ln x0=-e x0-1, 即 x0ln x0=e,得 x0=e,y0=1,故点 A(e,1). 28.(2018天津文 T10)已知函数 f(x)=e xln x,f(x)为 f(x)的导函数,则 f(1)的值为 . 【答案】e 【解析】f(x)=e xln x+ex x ,f(1)=eln 1+e 1=e. 29.(2018全国 2理 T13 )曲线 y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 . 【答案】y=2x 24 【解析】y= 2 x+1,当 x=0 时,y=2, 曲线在(0,0)处的切线方程为 y=2x. 30.(2018全国 2文 T13)曲线 y=2ln x 在点(1
38、,0)处的切线方程为 . 【答案】y=2x-2 【解析】y=(2ln x)=2 x,当 x=1 时,y=2.切线方程为 y=2(x-1),即 y=2x-2. 31.(2018全国 3,理 14)直线 y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则 a= . 【答案】-3 【解析】设 f(x)=(ax+1)e x, f(x)=ae x+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex, f(x)=(ax+1)e x在(0,1)处的切线斜率 k=f(0)=a+1=-2,a=-3. 32.(2018江苏T11)若函数 f(x)=2x 3-ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则 f(
39、x)在-1,1上的 最大值与最小值的和为 . 【答案】-3 【解析】由 f(x)=6x 2-2ax=0,得 x=0 或 x=a 3.因为函数 f(x)在(0,+)内有且只有一个零点,且 f(0)=1,所以 a 30,f( a 3)=0,因此 2( a 3) 3-a(a 3) 2+1=0,解得 a=3.从而函数 f(x)在-1,0上单调递增,在0,1上单调递减,所以 f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(-1)=-4.故 f(x)max+f(x)min=1-4=-3. 33.(2017全国 1,文 14)曲线 y=x 2+ 在点(1,2)处的切线方程为 . 【答案】y=x+1 【解析
40、】设 y=f(x),则 f(x)=2x- 1 x2,所以 f(1)=2-1=1.所以曲线 y=x 2+1 x在点(1,2)处的切线方程为 y-2=1(x-1),即 y=x+1. 34.(2017天津,文 10)已知 aR,设函数 f(x)=ax-ln x 的图象在点(1,f(1)处的切线为 l,则 l 在 y 轴上的 截距为 . 【答案】1 【解析】 f(x)=ax-ln x,f(x)=a-1 x,f(1)=a-1,f(1)=a,则切线l方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1, 则 l 在 y 轴上的截距为 1. 35.(2017山东理 T15)若函数 e xf(x)(e=
41、2.718 28是自然对数的底数)在 f(x)的定义域上单调递增,则 称函数 f(x)具有 M 性质.下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为 . f(x)=2 -x f(x)=3-x f(x)=x3 f(x)=x2+2 25 【答案】 【解析】对,设 g(x)=e x2-x, 则 g(x)=e x(2-x + 2-xln 1 2) =e x2-x(1 + ln1 2)0, g(x)在 R 上单调递增,具有 M 性质; 对,设 g(x)=e x3-x, 则 g(x)=e x(3-x + 3-xln 1 3) =e x3-x(1 + ln1 3)0, g(x)0,g(x)在 R 上单调递增,具
42、有 M 性质.故填. 36.(2017江苏 T11)已知函数 f(x)=x 3-2x+ex-1 ex,其中 e 是自然对数的底数.若 f(a-1)+f(2a 2)0,则实数 a 的取值范围是 . 【答案】*-1, 1 2+ 【 解 析 】 因 为f(-x)=(-x) 3-2(-x)+e-x-1 e-x =-f(x), 所 以f(x) 为 奇 函 数 . 因 为 f(x)=3x 2-2+ex+e-x3x2-2+2exe-x0(当且仅当 x=0 时等号成立),所以 f(x)在 R 上单调递增,因为 f(a-1)+f(2a 2)0 可化为 f(2a2)-f(a-1),即 f(2a2)f(1-a),所
43、以 2a21-a,2a2+a-10,解得-1a1 2, 故实数 a 的取值范围是*-1, 1 2+. 37.(2016全国 2 理 T16)若直线 y=kx+b是曲线 y=ln x+2 的切线,也是曲线 y=ln(x+1)的切线,则 b= . 【答案】1-ln 2 【解析】设直线 y=kx+b 与曲线 y=ln x+2 和 y=ln(x+1)的切点分别为(x1,kx1+b),(x2,kx2+b),由导数的几何意 义,可得 k= 1 x1 = 1 x2+1,得 x1=x2+1. 又切点也在各自曲线上,所以 26 kx1 + b = lnx1+ 2, kx2+ b = ln(x2+ 1),所以 k
44、 = 2, x1= 1 2, x2= - 1 2. 从而由 kx1+b=ln x1+2,代入解得 b=1-ln 2. 38.(2015全国 1文 T14)已知函数 f(x)=ax 3+x+1 的图象在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则 a= . 【答案】1 【解析】f(x)=3ax 2+1,f(1)=3a+1, 即切线斜率 k=3a+1. 又 f(1)=a+2,已知点为(1,a+2). 而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为a+2-7 1-2 =5-a,5-a=3a+1,解得 a=1. 39.(2015全国 2 文 T16)已知曲线 y=x+ln x在点(1,1)处的切线与
45、曲线 y=ax 2+(a+2)x+1 相切,则 a= . 【答案】8 【解析】y=1+1 x,k=y|x=1=2, 切线方程为 y=2x-1. 由 y=2x-1 与 y=ax 2+(a+2)x+1 联立,得 ax2+ax+2=0,再由相切知 =a2-8a=0,解得 a=0 或 a=8. 当 a=0 时,y=ax 2+(a+2)x+1 并非曲线而是直线,a=0 舍去,故 a=8. 40.(2015陕西理 T15)设曲线 y=e x在点(0,1)处的切线与曲线 y=1 x (x0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐 标为 . 【答案】(1,1) 【解析】 曲线y=e x在点(0,1)处的切线斜率
46、k=y=ex| x=0=1;由y=1 x,可得y=- 1 x2, 因为曲线 y=1 x(x0)在点 P 处的切线与曲线 y=e x在点(0,1)处的切线垂直,故 - 1 xP 2=-1,解得 xP=1,由 y= 1 x,得 yP=1,故所求点 P 的坐标为(1,1). 41.(2015天津,理 11)曲线 y=x 2 与直线 y=x 所围成的封闭图形的面积为 _. 【答案】 1 6 【解析】函数 y=x 2与 y=x 的图象所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为 S. 由y = x 2, y = x, 得x = 0, y = 0 或x = 1, y = 1. 27 故所求面积 S= 1 0
47、 (x-x 2)dx=(1 2x 2-1 3x 3)| 0 1 = 1 6. 42.(2015陕西理 T16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图 中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 . 【答案】1.2 【解析】 43.(2012上海理 T13)已知函数 y=f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A(0,0),B(1 2,5),C(1,0).函数 y=xf(x)(0x1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为_. 【答案】5 4 【解析】由题意 f(x)= 10x,0 x 1 2, -10x + 10, 1 2 0; 当 x(0, a 3)时,f(x)0. 29 f(x)=- 3 4x + 1 21+x =(1+x-2)(21+x+1) 4x1+x , 所以,函数 f(x)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+). (2)由 f(1) 1 2a,得 00,f(x)单调递增. 因此,f(x)存在唯一的极值点. (2)由(1)知 f(x0)0, 所以 f(x)=0 在区间(x0,+)内存在唯一根 x=. 由 x01 得1 0; 当 x(0, a 3)时,f(x)0. 从而,f(x)在区间(0, 2+
